Le Gnomon Astroïde de Freeman (suite)
par Jean Pakhomoff
II - LASTROÏDE EN TANT QUE GNOMON DE CADRAN SOLAIRE.
La figure 2 représente la sphère céleste vue par sa partie occidentale. Dans le triangle parallactique ZPS, Z est le zénith, P le pôle et S le soleil.
PZ est le complément de la latitude f, PS le complément de la déclinaison d , ZS le complément de la hauteur h du soleil.
Langle PZS est le supplément de lazimut a de lastre. Enfin langle ZPS est langle horaire t du soleil.
fig2
Les relations établies en trigonométrie sphérique permettent décrire:
cos z = cos(90-f) cos(90-d) + sin(90-f) sin(90-d) cos t z = 90-h doù
sin h = sin f sin d + cos f cos d cos t (1)
sin (pi-a) / sin (pi/2 - d) = sin t / sin ( pi/2 - h). soit sin a cos h = sin t cos d (2)
sin z cos (pi - a) = cos (pi/2 - d) sin (pi/2 - f) - sin (pi/2 - d) cos (pi/2 - f) cos t
- sin z cos a = sin d cos f - cos d sin f cos t
sin z cos a = cos d sin f cos t - sin d cos f (3)
En divisant membre à membre (2) par (3) on obtient
tg a = sin t / ( sin f cos t - cos f tg d) (4)
Si a = pi/2 ou 3 pi/2 : tg a = +- linfini .ce qui est le cas quand
cos t sin f = cos f tg d doù cos t = tg d / tg f (5) : cest linstant de passage au premier vertical.
Enfin cos (pi/2 - d) = cos(pi/2 - f) cos z + sin (pi/2 - f) sin z cos (pi - a) ou
sin d = sin f sin h - cos f cos h cos a (6)
La figure 3 montre les triangles parallactiques occidental et oriental de lhémisphère nord et leurs angles respectifs.
fig 3
Les formules classiques de la trigonométrie sphérique reliant déclinaison, azimut, latitude, angle horaire et hauteur restent identiques quel que soit le cas de figure.
La figure 4 montre lhémisphère sud de la sphère céleste.
fig 4
Adoptons pour sens positifs les directions Sud Z P Nord Z P, P P, et Z Z.
Les latitudes se comptant négativement dans lhémisphère sud on a POS = - f et
ZOP = p/2- POS = p/2 + f.
SZ = p - z doù ZS = -(p - z) = z - p. De même PS = - p/2 - d (d avec son signe).
La figure 5 montre les triangles parallactiques occidental et oriental de lhémisphère sud.
fig 5
Toutes démonstrations effectuées on obtient les mêmes relations reliant hauteurs, azimuts... quel
que soit lendroit où lon se situe sur la planète. Il suffit dentrer dans ces relations le signe + pour les latitudes et déclinaisons nord, et le signe - pour les latitudes et déclinaisons sud.
Ces préambules trigonométriques étant effectués, découpons maintenant dans un morceau de carton où de tout autre matière un carré tel que OQMP de côté a montré
sur la figure 6 et découpons une astroïde QP que nous aurons tracée en nous servant de la relation x 2/3 + y 2/3 = a 2/3.
fig 6
Posons cette astroïde sur un plan horizontal, le point O sur une droite UV orientée nord-sud.
Le plan de lastroïde est vertical. Orientons celle-ci dans le plan vertical contenant lastre solaire.
Le rayon solaire ET tangent à lastroïde va percer le plan horizontal en T. Langle ETO représente la hauteur h du soleil , son azimut étant â.
ET étant, comme nous lavons vu plus haut, constamment égal à a on a OT = ET cos h et
OT = OT sin a = a cos h sin a. Daprès (2) on peut écrire OT = a cos d sin t.
Lextrémité de lombre de lastroïde indiquera donc langle horaire t pour la déclinaison d.
Cest dans ce sens que lastroïde peut servir de gnomon. La latitude f ne figurant pas dans la formule nintervient donc pas dans la détermination de lheure.
Cette valeur OT dépendant cependant de la déclinaison qui varie de 23.45° à - 23.45° le cosinus variera de 1 à 0.91740.
Freeman construit alors une échelle de déclinaison sur laquelle glissera le plan horizontal porteur de lastroïde de façon à ce que la valeur de OT,
repérée par une ligne de référence parallèle à laxe nord-sud, corresponde à une ligne horaire sur léchelle de déclinaison.
Rappelons que la valeur e = 23.45° qui est celle de langle dinclinaison de léquateur céleste sur lécliptique est la valeur quavait cet angle au début du XXè siècle.
Elle varie selon un cycle denviron 50000 ans et est en lan 2000 égale à 23.438° . Cela na aucune importance pour le travail qui nous concerne car on ne recherche
nullement une grande précision. Seule la théorie est ici excessivement intéressante.
III- LA CONSTRUCTION DES LIGNES HORAIRES ET DE LECHELLE DE DECLINAISON.
fig 7
Remarquons tout dabord que sin t = sin ( pi - t). OT aura donc la même valeur que t = 15° ou 180 - 15 = 165°. Chaque ligne horaire correspondra ainsi à 2 heures différentes:
1h à 11h, 2h à 10h etc...La partie Ouest porte les heures du matin et la partie Est celle de laprès-midi (lastroïde étant orientée vers lest le matin et vers louest laprès-midi).
Prenons donc une planche (sur laquelle glissera la planche précédente comportant le gnomon astroïde et le tracé des lignes de références dont le nombre est laissé à
la discrétion de léventuel constructeur et qui ne sont en quelque sorte que des aides de "mise au point") et traçons la méridienne UV, U au sud, V au nord (fig. 7).
Prenons une droite CD perpendiculaire à UV située au sud et disons que cette droite correspond à la déclinaison d = 0. Portons sur celle-ci les différentes valeurs de OT dheure en heure ou
de ½ heure en ½ heure ou de ¼ dheure en ¼ dh... Pour lheure n on aura OTn = a sin t cos 0 = a sin t
Si t = pi/2 ou 3 pi/2 on aura OTn= a ou - a. On placera le point C en - a (6h du matin) et le point D en + a (6h du soir). Freeman désigne la valeur OTn par FoFn sur CD.
Nous avons pris le cas où n = 1 mais on peut prendre n quelconque.
Par un point arbitraire Fo de UV faisons passer CD perpendiculaire à UV. Sur CD on porte les valeurs de OT pour d = 23.45° (valeur absolue de la déclinaison le jour des solstices).
Pour lheure n on aura OT = a sin t cos 23.45 . On appellera sur CD la valeur correspondante
FoFn. Le résultat ne change pas que d soit >0 ou <0 car cos d = cos -d. Léchelle est donc valable
pour le printemps et lété comme pour lautomne et lhiver.
La valeur OT obtenue pour une déclinaison quelconque sera donc comprise entre FoFn et FoFn.
Supposons que la ligne de référence correspondant à OT pour lheure n vienne couper la ligne horaire n en Y. On fera passer IJ perpendiculaire à UV par Y. IYJ coupera UV en S et SY = OTn
= a sin t cos d. Abaissons les perpendiculaires FnY et YY sur CD. Les triangles semblables
YFnFn et YYFn permettent décrire: YY/YFn = FnY/YFn. YY = FoS et FnY = FoFo.
YFn = FoFn - FoFn = a sin t - a sin t cos 23.45 = a sin t (1 - cos 23.45)
YFn = FoFn - SY = FoFn - OT = a sin t - a sin t cos d = a sin t (1 - cos d)
doù FoS = [a sin t (1 - cos d) FoFo] / [a sin t (1 - cos 23.45) et FoS = FoFo (1- cos d) / (1- cos 23.45)
avec FoFo arbitraire.
On est alors à même de construire léchelle de déclinaison.
On placera la ligne IJ par glissement sur la déclinaison correspondante et la ligne de référence passant par T bout de lombre indiquera alors lheure.