Les cadrans solaires inclinés

Jean Pakhomoff

Chapitre 3

Les cadrans inclinés inclinants

Nous avons étudié dans les parties précédentes les inclinés déclinants c’est- à - dire ceux qui, inclinés vers le sud,

regardent vers le ciel.
Nous allons ici étudier ceux qui regardant vers le ciel sont inclinés au nord. Nous nous servirons des mêmes conventions.
Nous étudierons l’incliné inclinant Ouest sachant que l’on retrouve les mêmes équations pour l’inclinant Est selon :
iIWLW <=> iIELE et iIWLE <=> iIELW.

Nous pouvons remarquer ici que quelle que soit la valeur de l’inclinaison i l’axe du monde reste du même côté du cadran.

i varie de 0 à 90°. i = 90° correspond au cadran horizontal et si i > 90° on retombe sur les iDW et iDE que nous avons

étudiés précédemment.

Etude du style.

fig 38

On va retrouver les mêmes éléments géométriques que dans les cas précédents.

Ainsi O’SL = V, ASO’ = j, AO’L = O’’KT’ = i. OO’ = l = longueur du style.
Le cas de figure choisi est celui d’un incliné inclinant à l’ouest d’un angle dg.

On part du vertical origine O’DD’ que l’on fait basculer de i sur l’horizontale passant par O’ et parallèle à DD'

de telle façon que DD’ vienne en QQ’ dans le plan horizontal DD’Q’Q :

DD’ balaie OA et le prolongement de OA coupe
Q’ en S. On retrouve les dièdres AO’L et O’’KT’ d’angle i.

O’S trace du plan méridien sur l’incliné est la ligne de XII heures.

O’OA est égal à la latitude f.

A est la projection de O sur DD’ dans le plan méridien et O’’ la projection orthogonale de O sur DD’.
ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos dg et le dièdre O’AL rectangle en A donne

AL / O’A = tg i d’où AL = l sin f tg i = AS cos dg et
AS = l sin f tg i / cos dg

O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos i

a) Calcul des angles O’SA = j et O’SL = V.

O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos dg / tg i

ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent

LS = AS sin dg = l sin f tg i tg dg
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) /( l sin f tg i tg dg )= 1 / sin i tg dg

On aura de même O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale OS et un angle V

avec l’horizontale passant par S dans le plan de
l’incliné QO’Q’.

Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné

que nous allons maintenant calculer. Projetons O en O’’ sur le vertical DO’D’ ;
KO’’ est la verticale passant par O’’, K étant pris sur l’horizontale passant par O’ et parallèle à DD'.
Le plan OT’T’’ est le prolongement du dièdre O’’KT’ et T’T’’ est la coupe de ce plan sur l’incliné.

Menons dans ce plan OT perpendiculaire à l’incliné donc à toutes ses droites et en particulier à T’T’’ et à O’T.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T.

On a O’’T’ / O’’K = tg i et O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i

OT’ = OO’’ + O’’T’ = l cos f cos dg + l sin f tg i
KT’O = pi/2 –i = OT’T d’où TOT’ = i

OT = OT’ cos i = l cos f cos dg cos i + l sin f sin i TT’ = OT’ sin i =

l cos f cos dg sin i + l sin f tg i sin i = l sin i (cos f cos dg + sin f tg i)

KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i et KT = KT’ - TT’

= l ((sin f / cos i) - sin i (cos f cos dg + sin f tg i))

Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance

O’K = AO’’ = l cos f sin dg
Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T pour construire notre style secondaire O’TO.

OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )
Coordonnées x et y de P'.

Nous avons choisi comme cas de figure l’iIW (incliné inclinant ouest).

Lignes ouest du matin.

C’est ce que nous nommons les iIWLW.

T > pi/2+dg H > pi/2+dg cadran éclairé sans condition

fig 39

Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.

On peut voir sur la figure 16 un rayon de soleil d’angle horaire t donnant sur l’horizon f l’angle tabulaire H

dont il nous faudra utiliser le supplément car vu du côté nord..
Le vertical azimutal coupe l’horizon selon un angle T dont nous utiliserons le supplément pour la même raison.
Le soleil dans ce plan azimutal fait avec l’horizon un angle de hauteur h.

Le plan du cercle horaire coupe l’incliné selon OGO’ et le plan azimutal coupe l’incliné selon OBK’

(le cadran vertical correspondant est coupé selon OB’K’). Il nous faut calculer l’angle horaire tabulaire GO’S = Hi.
O’AS permet d’écrire O’S sin j = O’A = l sin f et O’S = l sin f / sin j

O’GS permet d’écrire GS / sin Hi = O’S / sin (pi – (pi-V+Hi) = O’S / sin (V-Hi) Et

GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OO’S permet d’écrire OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (j+f) Et OS = l sin (j+f) / sin j
OGS permet d’écrire GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi/2+dg+pi-H)) = OS / - cos (H-dg)

Et GS = l sin(j+f) sin H / - cos (H-dg) sin j = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) d’où

- Sin f sin Hi cos (H-dg) = sin (j+f) sin H sin (V-Hi)
Posons -sin f cos (H-dg) = A et sin (j+f) sin H = B on peut écrire

A sin Hi = B sin (V-Hi) = B sin V cos Hi - B sin Hi cos V.
Divisons par cos Hi. Il vient
A tg Hi = B sin V - B cos V tg Hi
tg Hi ( A + B cos V) = B sin V et tg Hi = B sin V / (A + B cos V) ou
tg Hi = sin (j+f) sin H sin V / (- sin f cos (H-dg) + sin (j+f) sin H cos V)

coordonnées x et y de P'.

Le vertical azimutal coupe l’horizon et l’incliné selon OBK’ et le cadran vertical PO’P’ selon B’K’.

Le rayon solaire passant par O arrive en P' sur l’incliné à l’intersection des 3 plans (azimut, cercle horaire, cadran incliné).
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec BQ un angle U.

-Calcul de j’.

SBO = B’BB’’ = pi – (pi-T+pi/2+dg) = T-dg-pi/2

B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / - cos (T-dg)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K / B’B = l sin f / (l sin f tg i / - cos (T-dg)) et tg j’ = - cos (T-dg) / tg i
-Calcul de U.

K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’

BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' (O’G – GP').

OBP' ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (j’+h) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi2+dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2+dg+pi-T))
= OS / - cos (T- dg)

OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = l sin (j+f) cos dg / - sin j cos (T-dg)

BP' = OB sin h / sin (j’+h) = l sin (j+f) cos dg sin h / - sin (j’+h) sin j cos (T-dg)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi
En prenant la première valeur de GS on obtient

O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)) / sin Hi et O’G = l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)
BGP' ==> BGP' = SGO’ = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi

BP' / sin(V-Hi)) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin (V-Hi) d’où

GP' = l sin (j+f) cos dg sin h sin U / - sin (j’+h) sin j cos (T-dg) sin (V-Hi)
O’P' = O’G – GP'
Puis xP' = O’P' sin Hi

yP'(o’) = O’P' cos Hi en partant de O’ vers S.

yP'(s) = O’S- yP'(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)

Lorsque le soleil est dans le plan méridien le point P' est sur O'S ligne des XII heures (fig 39a).

fig 39 a

OO'P' ==> sin (f - h) / O'P' = sin pi - ((f - h) + pi – (f + j)) / OO'

et O'P' = l sin (f - h) . sin (j + h) position du point P' à midi sur la ligne de XII heures

T > pi/2 + dg, H = pi/2 + dg f


fig 40

On a vu que dans ce cas la ligne tabulaire est l’horizontale passant par O’

c’est-à-dire Hi = V et que le rayon solaire dans son cercle azimutal OBP' coupe
en P' cette horizontale;
P' étant commun au cercle horaire OO’P', au cercle azimutal OBP' et à l’incliné O’QQ’.
AOB’ ==>AB’/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2+d) = AO / - cos (T-dg)

AB’ = O’P' = xP'(o’) = l cos f sin T / - cos (T-d)
Ici yP'(o’) = 0 , yP'(s) = O’S et Hi = V


T > pi/2+dg, H < pi/2+dg


fig 41
1)- Calcul de tg Hi (Hi = SO’P')
Ici Hi est le supplément de GO’S. Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Le point P' se trouvera sous l’horizontale O’K’ car K’ étant à l’ouest de O’ , BK’ ne peut couper GP'

que par son prolongement K’P' sous O’K’.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + V) =
O’S / sin (Hi-V) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin(f+j) (AOO’ = f) et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2-dg)) = OS / sin (dg-H+pi/2) = OS / cos (dg-H) et

GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (dg-H) = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V) d’où
sin Hi sin f cos (dg-H) = sin H sin (Hi-V) sin (f+j)
Posons sin f cos (dg-H) = A et sin (f+j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (Hi-V) = B sin Hi cos V – B cos Hi sin V et en divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = - B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi (A - B cos V) = - B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = - sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (dg-H) - sin (f+j) sin H cos V) oui
tg Hi <0 ?Hi = Hi+pi
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’

et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi-(pi-T+pi/2+dg) = T-dg-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (T-dg)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (T-dg) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'-O’G).
OBP' ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (h+j’) où h est la hauteur du soleil.

OBS ==> OB / sin (pi/2+dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2+dg+pi-T)) =

OS / - cos (T-dg) OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = - l sin (f+j) cos dg / sin j cos (T-dg)
BV = OB sin h / sin (h+j’) = - l sin (f+j) cos dg sin h / sin (h+j’) sin j cos (T-dg) O’GS ==>

O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGP' ==> BGP' = SGO’ = pi-(V+pi-Hi) = Hi-V
BP' / sin (Hi-V) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (Hi-V) d’où
GP' = - l sin (f+j) cos dg sin h sin U / sin (h+j’) sin j cos (T-dg) sin (Hi-V) O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = O’P' sin (pi-Hi) = O’P' sin Hi
yP'(o’) = O’P' cos (pi-Hi) = en partant de O’
yP'(s) = O’ S - yP'(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)

T = pi/2 + dg , H < pi/2 + dg


fig 42

Soit donc le vertical azimutal passant par O et parallèle à PO’R.
Il est donc perpendiculaire au dièdre KO’’T’ et coupe l’incliné selon l’horizontale ZZ’
( ZZ’ est parallèle à KO’ par définition et de même direction car perpendiculaires toutes deux au dièdre KO’’T’).
La verticale abaissée depuis O coupe ZZ’ en T’’dans le plan méridien.
Dans OGS on a: sin H / GS = sin (pi – (pi/2 – dg + H) / OS = cos (dg - H) / OS et GS = sin H OS / cos (dg – H)
Dans GSO’ on a: sin (pi – Hi) / GS = sin (pi – (pi – Hi + V) / O’S = sin (Hi – V) / O’S sin Hi / GS = sin (Hi – V) / O’S et

GS = O’S sin Hi / sin (Hi – V)
GS = sin H OS / cos (dg – H) = O’S sin Hi / sin (Hi – V)
sin H (l sin (f + j) / sin j) / cos (dg – H) = (l sin f / sin j) sin Hi / sin (Hi – V) après simplification on a

sin Hi sin f cos (dg-H) = sin H sin (Hi-V) sin (f+j) même développement que pour le cas T > pi/2+dg, H < pi/2+dg
On aura donc

tg Hi = - sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (dg-H) - sin (f+j) sin H cos V)
AS / O’A = tg j et AS = l sin f / tg j OS = OA + AS = l cos f + l sin f / tg j
( de même dans OO’S on a: l / sin j = OS / sin (pi - (f + j) et OS = l sin (f + j) / sin j ) ST’’ cos j = OS et

ST’’ = (l cos f + l sin f / tg j) / cos j
O’T’’ = ST’’ – O’S (avec O’S= l sin f / sin j)
= (l cos f + l sin f / tg j) / cos j - l sin f / sin j
Dans O’T’’P’ on a O’T’’ / sin (pi -(pi – Hi + V) = O’T’’ / sin (Hi - V) = O’P’ / sin V
et O’P’ = O’T’’ sin V / sin (Hi – V)
puis xP’(o’) = O’P’ sin Hi
yP’O’ = O’P’ cos (pi – Hi) yP’S = O’S + yP’O’
Le point P' étant sur Z’ et ZZ’ sous O’K, P' est sous l’horizontale O’K.


T < pi/2 + d , H < pi/2 + d


fig 43


L’angle tabulaire horizontal est GOS et l’angle tabulaire azimutal correspondant est BOS. L’angle tabulaire Hi sur l’incliné est SO’V.

V est au-dessous de l’horizontale O’K’ car on a vu qu ’il l’était déjà dans le cas où T>pi/2+dg, H<pi/2+dg où la hauteur du soleil

était inférieure au cas présent. si h>j' le cadran est éclairé.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi+V)) et
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (f+j) et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2-dg) et GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (dg-H) et après développement on a
pour tg Hi: tg Hi = sin (f+j) sin H sin V / (- sin f cos (dg-H) + sin (f+j) sin H cos V)
b) – Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.

De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en P' à l’intersection du cercle
horaire OGO’ et de l’azimutal correspondant B’BK’. BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’’BB’ = AB’O = pi-(T+pi/2-dg) = dg-T+pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (dg-T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = cos (dg-T) / tg i

-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'-O’G).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2-dg+T)) = OS / cos (T-dg)

OB = OS cos dg / cos (T-dg) = l sin (f+j) cos dg / sin j cos (T-dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (f+j) cos d sin h / sin (h-j’) sin j cos (T-dg)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et

O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGP' ==> BGP' = pi-SGO’ = pi-(pi-(V+pi-Hi)) = pi-(Hi-V)
BP' / sin (pi-(Hi-V)) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (Hi-V) d’où

GP' = l sin (f+j) cos dg sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T-dg) sin (Hi-V) O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = O’P' sin (pi-Hi) = O’P' sin Hi yP'(o’) = O’P' cos (pi-Hi) = en partant de O’
yP'(s) = O’ S + yP'(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)


Heures utiles.


fig 44
Le triangle sphérique RTU' nous donne tg RT = (1/tg i) * cos (dg - T)
Lorsque h < RT le cadran n'est pas éclairé.



fig 45

Appelons dm la déclinaison du point M.
pour j < pi/2 – f _(j = NM = SS') (fig 44) on a PM = pi/2 - dm = PN + NM = f + j et dm = pi/2 – (f + j)
pour j > pi/2 – f (fig 45) on a PM = pi/2 - (-dm) = PN + NM = f + j d’où - dm = pi/2 – (f + j)
R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à dm = abs (pi/2 – (f + j))
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
On écrira que si abs (d) > dm alors d est incompatible avec des passages diurnes sur le plan du cadran.

Il faudra alors choisir une autre déclinaison. Cette condition sera valable que j soit > ou < que pi/2 - f.
La méthode générale de connaissance des angles horaires d'apparition et de disparition du soleil sur

le cadran aboutit ici à l'équation
-cos d - tg (j + f) sin d cos (t) + sin t tg (j + f) / tg R = 0
En posant A = -cos d, B = - tg (j + f) sin d et C = + tg (j + f) / tg R
on a A + B cos t + C sin t = 0 puis résolution de l'équation du second degré.


Voyons maintenant les iIWLE
Le calcul du style est identique. Pour les inclinants Est il conviendra de placer le point T' à l'ouest de S.
Lignes Est de l’aprés-midi. C’est ce que nous nommons iIWLE.
Ici Hi = GO’S ; GOS = pi-H ; BOS=pi-T
Cas où H et T > pi/2 - dg. Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.

fig 46
On peut voir sur la figure 46 un rayon de soleil d’angle horaire t donnant sur l’horizon f l’angle tabulaire H.
Le vertical azimutal coupe l’horizon selon un angle T et le soleil dans ce plan azimutal fait avec l’horizon

un angle de hauteur h.
Le plan du cercle horaire coupe l’incliné selon OGO’ et le plan azimutal coupe l’incliné selon OBK’

(le cadran vertical correspondant est coupé selon OB’K’). Il nous faut calculer l’angle horaire tabulaire GO’S = Hi.
O’AS permet d’écrire O’S sin j = O’A = l sin f et O’S = l sin f / sin j

O’GS permet d’écrire GS / sin Hi = O’S / sin (pi – (V+Hi) = O’S / sin (V+Hi) Et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
OO’S permet d’écrire OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (j+f) Et OS = l sin (j+f) / sin j
OGS permet d’écrire GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-H)) = OS / - cos (H+dg) Et

GS = l sin(j+f) sin H / - cos (H+dg) sin j = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) d’où
- sin f sin Hi cos (H+dg) = sin (j+f) sin H sin (V+Hi)

Posons -sin f cos (H+dg) = A et sin (j+f) sin H = B on peut écrire

A sin Hi = B sin (V+Hi) = B sin V cos Hi + B sin Hi cos V.

Divisons par cos Hi. Il vient A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi ( A - B cos V) = B sin V et tg Hi = B sin V / (A - B cos V) ou
tg Hi = sin (j+f) sin H sin V / (- sin f cos (H+dg) - sin (j+f) sin H cos V)
ou tg Hi = - sin (j+f) sin H sin V / (sin f cos (H+dg) + sin (j+f) sin H cos V) coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe l’horizon et l’incliné selon OBK’ et le cadran vertical PO’P’ selon B’K’.
Le rayon solaire passant par O arrive en P' sur l’incliné à l’intersection des 3 plans

(azimut, cercle horaire, cadran incliné).
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec BQ’ un angle SBK’ = U.

-Calcul de j’.

SBO = B’’BB’ = pi – (pi-T+pi/2-dg) = T+dg-pi/2

B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / - cos (T+dg)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K / B’B = l sin f / (l sin f tg i / - cos (T+dg)) et tg j’ = - cos (T+dg) / tg i
-Calcul de U.

K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’

BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' (O’G – GP').

OBP’ ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (j’+h) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi2-dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-T))

= OS / - cos (T+dg)

OB = OS cos dg / - cos (T+dg) = l sin (j+f) cos dg / - sin j cos (T+dg)

BP' = OB sin h / sin (j’+h) = l sin (j+f) cos dg sin h / - sin (j’+h) sin j cos (T+dg)

O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin Hi
En prenant la première valeur de GS on obtient

O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)) / sin Hi et O’G = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGP' ==> BGP' = SGO’ = pi-(V+Hi)

BP' / sin(V+Hi)) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin (V+Hi) d’où

GP'= - l sin (j+f) cos dg sin h sin U / sin (j’+h) sin j cos (T+dg) sin (V+Hi) O’P'
= O’G – GP'
Puis xP' = O’P' sin Hi

yP'(o’) = O’P' cos Hi en partant de O’ vers S.

yP'(s) = O’S- yP'(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j) Si Hi>pi/2

on aura yP'(o’) < 0 et yP'(s) > O’S

T > pi/2 - dg, H = pi/2 - dg

fig 47
On a vu que dans ce cas la ligne tabulaire est l’horizontale passant par O’ et que le rayon solaire dans

son cercle azimutal OBP' coupe en P' cette horizontale.
P' étant commun au cercle horaire OO’P', au cercle azimutal OBP' et à l’incliné O’QQ’.

AOB’ ==>AB’/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2-dg) = AO / - cos (T+dg)
AB’ = O’P' = xP'(o’) = l cos f sin T / - cos (T+dg) Ici yP'(o’) = 0 , yP'(s) = O’S et Hi = V

T > pi/2-dg , H < pi/2-dg

fig 48

1)- Calcul de tg Hi (Hi = SO’P') Ici Hi est le supplément de GO’S.
Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Le point P' se trouvera sous l’horizontale O’K’ car K’ étant à l’est de O’ , BK’ ne peut couper GP' que par son

prolongement K’P' sous O’K’.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ;

O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + pi-V) = O’S / - sin (Hi+V) et GS = - l sin f sin Hi / sin j sin (Hi+V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin(f+j) (AOO’ = f) et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2+dg)) = OS / sin (pi/2-(dg+H)) = OS / cos (dg+H) et

GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (dg+H) = -l sin f sin Hi / sin j sin (Hi+V) d’où
-sin Hi sin f cos (dg+H) = sin H sin (Hi+V) sin (f+j)
Posons - sin f cos (dg+H) = A et sin (f+j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (Hi+V) = B sin Hi cos V + B sin V cos Hi
et en divisant par cos Hi on obtient A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi (A - B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = - sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f+j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.

De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en P' à l’intersection du cercle horaire

OGO’ et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle SBK’ = U.
-Calcul de j’.
SBO = B’’BB’ = pi-(pi-T+pi/2-dg) = T+dg-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (T+dg)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (T+dg) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'-O’G).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.

OBS ==> OB / sin (pi/2-d) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-T)) = OS / - cos (T+dg)

OB = OS cos dg / - cos (T+dg) = - l sin (f+j) cos dg / sin j cos (T+dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = - l sin (f+j) cos d sin h / sin (h-j’) sin j cos (T+dg)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin (pi-Hi) = (- l sin f sin Hi / sin j sin (Hi+V)) / sin Hi et

O’G = - l sin f sin V / sin j sin (Hi+V)
BGP' ==> BGP' = SGO’ = pi-(pi-V+pi-Hi) = Hi+V-pi
BP' / sin (Hi+V-pi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / - sin (Hi+V) d’où
GP' = - l sin (f+j) cos dg sin h sin U / - sin (h-j’) sin j cos (T+dg) sin (Hi+V)

GP' = l sin (f+j) cos dg sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T+dg) sin (Hi+V)
O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = O’P' sin (pi-Hi) = O’P' sin Hi yP'(o’) = O’P' cos (pi-Hi) = en partant de O’
yP'(s) = O’ S - yP'(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)

T= pi/2 - dg; H < pi/2 - dg

fig 49
En considérant les mêmes triangles O’GS et OGS on retrouve tout calcul fait la même relation donnant Hi:
tg Hi = - sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f+j) sin H cos V)
AS / O’A = tg j et AS = l sin f / tg j OS = OA + AS = l cos f + l sin f / tg j
( de même dans OO’S on a: l / sin j = OS / sin (pi - (f + j) et OS = l sin (f + j) / sin j )

ST’’ cos j = OS et ST’’ = (l cos f + l sin f / tg j) / cos j
O’T’’ = ST’’ – O’S (avec O’S= l sin f / sin j)
= (l cos f + l sin f / tg j) / cos j - l sin f / sin j
Dans O’T’’P’ on a O’T’’ / sin (pi -(pi – Hi + pi - V) = O’T’’ / - sin (Hi - V) = O’P’ / sin V
et O’P’ = - O’T’’ sin V / sin (Hi – V)
puis xP’(o’) = O’P’ sin Hi
yP’O’ = O’P’ cos (pi – Hi) yP’S = O’S + yP’O’
Le point P' étant sur Z’ et ZZ’ sous O’K, P' est sous l’horizontale O’K.

T < pi/2 - dg , H < pi/2 – dg ensoleillement quand h > RT


fig 50
L’angle tabulaire horizontal H est GOS et l’angle tabulaire azimutal correspondant est BOS.
L’angle tabulaire Hi sur l’incliné est SO’P'. P' est au-dessous de l’horizontale O’K’ car on a vu qu ’il l’était déjà dans

le cas où T>pi/2-d, H<pi/2-d la hauteur du soleil
étant inférieure au cas présent.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi+pi-V))
et GS = - l sin f sin Hi / sin j sin (Hi+V) rappel sin (A – pi) = - sin A
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (f+j) et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2+dg) et GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (dg+H) et après développement on a
tg Hi = - sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f+j) sin H cos V)
b) – Coordonnées x et y de P’.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et
l’ incliné selon BK’. De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’

et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle B’’BK’ = U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’= AB’O = pi-(T+pi/2+dg) = -dg-T+pi/2 = pi/2 - (dg+T) B’BB’’ rectangle en B’’ ==>

BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (dg+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = cos (dg+T) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'-O’G).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.

OBS ==> OB / sin (pi/2+dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2+dg+T)) = OS / cos (T+dg)
OB = OS cos dg / cos (T+dg) = l sin (f+j) cos dg / sin j cos (T+dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (f+j) cos dg sin h / sin (h-j’) sin j cos (T+dg)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin (pi-Hi) = (-l sin f sin Hi / sin j sin (Hi+V)) / sin Hi et

O’G = - l sin f sin V / sin j sin (Hi+V)
BGP' ==> BGP' = pi-SGO’ = pi-(pi-(pi-V+pi-Hi)) = 2pi-(Hi+V)
BP' / sin (2pi-(Hi+V)) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / - sin (Hi+V) d’où

GP' = - l sin (f+j) cos dg sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T+dg) sin (Hi+V) O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = P'C = O’P' sin (pi-Hi) = O’P' sin Hi yP'(o’) = O’P' cos (pi-Hi) = en partant de O’ vers C.
yP'(s) = O’ S + yP'(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et cos (pi-Hi) est >0: yP'(o’) doit être tracé vers le bas sur SO’en partant de O'.

Heures utiles. Le cadran est éclairé si h > RT



Fig 51

tg RT = (1/tg i) * cos (dg + T)

Appelons dm la déclinaison du point M.

pour j < pi/2 – f (fig 19) on a PM = pi/2 - dm = PN + NM = f + j et

dm = pi/2 – (f + j)

pour j > pi/2 – f (fig 19 a) on a PM = pi/2 - (-dm) = PN + NM = f + j d’où - dm = pi/2 – (f + j)
R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à dm = abs (pi/2 – (f + j))
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
On écrira que si abs (d) > dm alors d est incompatible avec des passages diurnes sur le plan du cadran.

Il faudra alors choisir une autre déclinaison. Cette condition sera valable que j soit > ou < pi/2 - f.
Nous arrivons par la méthode développée ci-dessus à la relation
-cos d - tg (j + f) sin d cos (t) + sin t tg (j + f) / tg R = 0 qui nous permettra de trouver rapidement les heures de

lever et de coucher du soleil sur le cadran solaire incliné

Ces divers résultats peuvent être groupés dans le tableau ci-dessous

que nous intégrerons dans un programme basic pour la construction des cadrans inclinés.


Conclusion :

Nous avons passé en revue au cours de cette étude les différents cas de cadrans inclinés « face orientée vers le ciel ».
Rappelons que les relations IDWLW sont identiques aux IDELE de même que les IDWLE et IDELW répondent également

aux mêmes relations respectives.
Pareillement pour les IIWLW <=> IIELE et IIWLE <=> IIELW.

En ce qui concerne le tracé éventuel pour l’hémisphère sud on se servira de ces formules en inversant le signe de la déclinaison

et en inversant le côté du tracé : dans l’hémisphère nord les Lignes EST (après-midi) du cadran sont à droite en regardant le nord et

les lignes OUEST (matin) sont à gauche.
Dans l’hémisphère sud les lignes EST (après-midi) sont à gauche en regardant le sud et les lignes OUEST (matin) sont à droite.

construction d'un cadran témoin pour vérification:

cas d'un déclinant incliné au hasard de 23.2661° et de déclinaison gnomonique égale à 21.83° sud-ouest pour un lieu de latitude égale

à 43°17'51'' nord
on constate que les indications d'heures et de dates fournies par le cadran sont rigoureusement exactes.

MAJ 16 7 2021

Les cadrans solaires inclinés: chapitre 1

Les cadrans solaires inclinés: chapitre 2

Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff

Travaux personnels en gnomonique