Géométrie des cadrans solaires inclinés

Jean Pakhomoff


Préambule.

Nous étudions les cadrans inclinés face tournée vers le ciel.

Ils s’inclinent d’un angle i déterminé s’ouvrant par le bas vers le sud (déclinant) ou le nord (inclinant).

Nous n’envisagerons pas le cas des cadrans inclinés face vers le sol car leur intérêt paraît moindre du moins

sur le plan purement pratique. On pourrait cependant aborder leur étude par le même type de raisonnement

présenté ci-dessous. Comme pour les déclinants ou inclinants non inclinés (verticaux) nous envisageons 2 zones

par rapport au plan méridien :

la zone Est contenant les lignes horaires d’après-midi et la zone Ouest contenant les lignes horaires du matin.

Nous calculerons l’iDW (incliné déclinant ouest) et l’iIW (incliné inclinant ouest) sachant que, par analogie,

comme vu dans l'étude des cadrans verticaux, on obtient l’iDE (incliné déclinant est) et l’iIE (incliné inclinant est)

à l'aide des mêmes relations:

l’iDELE (lignes est) répondant aux mêmes équations que l’iDWLW (lignes ouest) et l’iDELW répondant aux

équations que l’iDWLE etc…

Les différents types de cadrans inclinés que nous allons étudier sont présentés ci-dessous:

fig1

En bleu l'axe du monde, style du cadran, f la latitude.

1 – cadran vertical

2 – cadran incliné d'un angle i vers le sud, style sortant vers le bas.

Ce sera le cas des cadrans iDW et iDE angle j supérieur à la latitude f.

L'angle j sera évalué plus loin.

3 – cadran équatorial où le style est parallèle à l'axe du monde.

4 - cadran incliné vers le sud, style sortant vers le haut: cas des iDw et iDE angle j < f. L'angle j sera défini plus loin.

5 – cadran horizontal classique où le plan du cadran est parallèle à l'horizon (i = 90°)

6 et 7 – cadrans inclinés vers le nord. i varie de 0 à 90° et il n'y a qu'une sortie du style vers le haut.

8 – Cadran incliné vers le nord dit cadran polaire, l'axe du monde étant perpendiculaire au cadran.

Conventions :

On appelle déclinaison gnomonique du cadran l’angle dg correspondant au pivotement du cadran vers l‘est ou vers l’ouest

depuis le premier vertical.

On dira que le cadran décline ou incline à l'est si le cadran est tourné vers l'est.

Sqr (…) signifiera racine carrée de (…). Le rouge sera associé généralement aux cercles horaires et aux plans dièdres ;

le vert aux cercles azimutaux.

Les angles horaires t comme les azimuts T sont comptés depuis le méridien jusqu’à l’anti-méridien de 0 à 180°

côté est comme côté ouest.

Ainsi 19 h correspond à un angle horaire de 105°/15 vers l’ouest en partant du méridien (12 + 7) et 5h du matin

correspond à un même angle de 105° vers l’est (12 - 7).

La droite O'S représentera la ligne de coupe entre le plan méridien et le plan du cadran incliné

fig 2

ligne de XII heures

Soit le plan O'WE dans le premier vertical (perpendiculaire au plan méridien contenant le style OO'A).

On fait pivoter ce plan d'un angle dg autour de O'A.
On obtient le plan O'W'E'. En inclinant celui-ci d'un angle i on obtient le plan O'W''E'' avec W''E'' parallèle à W'E'.
W''E'' coupe OA en S donnant la ligne de coupe O'S sur l'incliné dans le plan méridien. O'S est alors appelée la ligne de XII heures.
On considérera notre cadran solaire comme un grand cercle de la sphère céleste.

fig 3

Soit un premier vertical WZE (fig 1)
On fait pivoter de dg vers l'ouest ce premier vertical (fig 2). W se retrouve en U et E en U'. Puis on l'incline d'un angle i vers le nord (fig 3).

On prend comme cas de figure un horizon de latitude f.
Le point Z se retrouve en Z' et ce plan incliné coupe le plan méridien en M et M' .où MM' est la ligne de XII heures.

Chapitre 1

Les cadrans iDW et iDE angle J supérieur à la latitude f

Cas de figure de l’iDWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest du matin).

Etude du style.

Sur la figure 4 est représenté un cadran incliné d'un angle i et déclinant d’un angle dg (déclinaison gnomonique

du cadran) vers l’ouest.

fig 4
OO’ axe du monde et style du cadran.

A projection de O sur le cadran dans le plan méridien.

Le style principal est alors OAO’ et O’OA est l’angle de la latitude.

Soit PR l’horizontale passant par A et O’K l’horizontale passant par O’ dans le plan vertical O'KAR.
Soit O’’ la projection orthogonale de O sur PR.

Inclinons d’un angle i le cadran vertical PO’R autour de l'horizontale O’K. On obtient alors le plan QO’Q’

de notre cadran incliné, la droite QQ’ étant l’horizontale de QO’Q’ balayant la droite OA. QQ’ coupe OA en S.
O’S est alors la ligne de coupe du plan méridien sur QO’Q’, autrement dit la ligne de XII heures.
Remarquons que lorsque S arrive en O le style OO’ est contenu en entier dans le plan du cadran incliné QO’Q’.
Cela correspond à ce que nous pouvons appeler l’inclinaison maximum im au-delà de laquelle le style ne sort plus

vers le sud mais vers le nord et ce cas sera celui du deuxième chapitre de notre étude.

.QQ’ balaie AO de A en O passant par S et O’’O (projection de O sur le vertical d'origine) passant par T’.

OO’’ perpendiculaire à PO’P’ est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en particulier à la verticale KO’’

et à l’horizontale PR puis à QQ’ parallèle à PR dans le plan horizontal QPRQ contenant les horizontales PR et AS.

Le triangle KO’’T’ rectangle en O’’ est le dièdre d’angle i des plans PO’R et QO’Q’. PR et QQ’ lui sont perpendiculaires

comme elles le sont à tous les autres dièdres de ces plans.

On remarque que tg im = OO’’ / O’’K = OO’’ / O'A = l cos f cos dg/ l sin f = cos dg / tg f

ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos dg et le dièdre O’AL rectangle en A donne AL / O’A = tg i d’où

AL = l sin f tg i = AS cos dg et AS = l sin f tg i / cos d

O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos I = KT'

a) Calcul des angles O’SA = j et O’SL = V.

O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos dg / tg i

Cet angle est d'une grande importance. Lorsque j > f (latitude) le style du cadran (axe du monde)

sort du plan vers la terre et lorsque j < f le style sort vers le ciel comme on peut le voir sur la sphère

céleste:

fig 4a

ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent
LS = AS sin dg = l sin f tg i tg dg
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i tg dg = 1 / sin i tg dg On aura de même

O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale et un angle V avec l’horizontale

passant par S dans le plan de l’incliné QO’Q’.
Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné

que nous allons maintenant calculer. Projetons O en O’’ sur le vertical PO’R ; KO’’ est la verticale passant par O’’,

K étant pris sur l’horizontale K’O’.
OO’’K formé par l’horizontale OO’’ et la verticale O’’K est un plan vertical. QQ’ coupe perpendiculairement OO’’ en T’

(QQ’ et PR parallèles) et QT’ est perpendiculaire à toutes les droites du vertical OO’’K en particulier à T’K.

De même KO’ est perpendiculaire à toutes les droites de OO’’K et en particulier à O’’K et à KT’.
L’angle O’’KT’ égal à i est le dièdre des plans PO’R et QO’Q’. (O’’KT’ étant une partie du plan O’’KT).
Depuis O abaissons une perpendiculaire en T sur le prolongement de la ligne KT’ du dièdre O’’KT’.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T puisque OT est perpendiculaire à QO’Q’ et donc à toutes les

droites de ce plan passant par T et en particulier à O’T. On a O’’T’ / O’’K = tg i et O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i
OT’ = OO’’ - O’’T’ = l cos f cos dg - l sin f tg i KT’O'' = pi/2 - i = OT’T d’où TOT’ = i
OT = OT’ cos i = l cos f cos dg cos i - l sin f sin i TT’ = OT’ sin i = l cos f cos dg sin i - l sin f tg i sin i

KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i *** KT = KT’ + TT’
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance

O’K = AO’’ = l cos f sin dg de la ligne de plus grande pente O’L.
Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T pour construire notre style secondaire O’TO.

OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )
En appelant S' le point d'intersection de LS avec O'T on a en considérant les triangles semblables dans O'KT:
S'T / O'T = T'T / KT = S'T' / O'K et S'T' = T'T O'K / KT
Méthode à suivre:

Mener une horizontale K'K vers le haut du cadran et choisir un point O' sur celle-ci. Mener la perpendiculaire O'L à K'K.
O’L = l sin f / cos i Positionner K sachant que O’K = AO’’ = l cos f sin dg Par K mener une perpendiculaire à KK' et placer

sur celle-ci le point T à KT = KT’ + TT’
Joindre O' à T pour avoir la base de notre style.

On a mené KT à l'est de O' (à droite de ' en regardant le cadran).

Ces résultats restent valables dans le cas d'un incliné déclinant à l'est (iDE) mais K sera alors à l'ouest de O'

(à gauche en regardant le cadran).

Cas de figure de l'IDWLW - IDELE

Coordonnées x et y du point P' intersection d’un rayon solaire avec le plan de l’incliné déclinant.

Nous avons choisi comme cas de figure le déclinant ouest lorsque le style sort du cadran vers le bas (j > f).

I - Lignes du matin IDWLW, du soir IDELE. T<pi/2-dg

C'est ce que nous nommons l'iDWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest)

fig 5

a) Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.

On peut voir sur la figure 2 un rayon de soleil d’angle horaire t donnant sur l’horizon f l’angle tabulaire H.
Le vertical azimutal coupe l’horizon selon un angle T et le soleil dans ce plan azimutal fait avec l’horizon un angle de hauteur h.
Le plan du cercle horaire coupe l’incliné selon OGO’ et le plan azimutal coupe l’incliné selon OBK’

(le cadran vertical correspondant est coupé selon OB’K’). Il nous faut calculer l’angle horaire tabulaire GO’S = Hi.
O’AS permet d’écrire O’S sin j = O’A = l sin f et O’S = l sin f / sin j de même

O'S = l sin f / cos i sin V d'où sin j = cos i sin V

O’GS permet d’écrire GS / sin Hi = O’S / sin (pi – (V+Hi) = O’S / sin (V+Hi) Et GS =

l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)

OO’S permet d’écrire OO’ / sin j = OS / sin (pi-(pi-j+f))

= OS / sin (j-f) et OS = l sin (j-f) / sin j

OGS permet d’écrire GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2+dg+H)) = OS / cos (dg+H)

Et GS = l sin(j-f) sin H / cos (dg+H) sin j = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) d’où

Sin f sin Hi cos (dg+H) = sin (j-f) sin H sin (V+Hi)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (j-f) sin H = B on peut écrire

A sin Hi = B sin (V+Hi) = B sin V cos Hi + B sin Hi cos V. Divisons par cos Hi.

Il vient A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi ( A - B cos V) = B sin V et tg Hi = B sin V / (A – B cos V) ou
tg Hi = sin (j-f) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) - sin (j-f) sin H cos V) (1)

b) Coordonnées x et y de P'.

Le vertical azimutal coupe l’horizon et l’incliné selon OBK’ et le cadran vertical PO’P’ selon B’K’.
Le rayon solaire passant par O arrive en P sur l’incliné à l’intersection des 3 plans

(azimut, cercle horaire, cadran incliné).

BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec BQ un angle U.

-Calcul de j’.

SBO = B’BB’’ = pi – (pi/2+dg+T) = pi/2-(dg+T)

B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (dg+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K' / B’B = l sin f / (l sin f tg I / cos (dg + T)) et
tg j’ = cos (dg+T) / tg i
-Calcul de U.

K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’

BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i

-Calcul de O’P' (O’G + GP').

OBP' ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (j’+h)
où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg)) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2+dg+T))

= OS / cos (dg+T)= BS / sin T

OB = OS cos dg / cos (dg+T) = l sin (j-f) cos dg / sin j cos (dg+T)

BP' = OB sin h / sin (h + j') = l sin (j-f) cos dg sin h / sin (h + j') sin j cos (dg+T)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin Hi =
(l sin (j-f) sin H / cos (dg+H) sin j) / sin Hi et

O’G = l sin V sin(j-f) sin H / cos (dg+H) sin j sin Hi En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)) / sin Hi et

O’G = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi) (2)

BG P' ==> BG P' = pi-(V+Hi) et BPG = pi-(pi-(V+Hi)+U) = V+Hi-U

B P' / sin(pi-(V+Hi)) = G P' / sin U et G P' = B P' sin U / sin (V+Hi) d’où

G P' = l sin (j-f) cos dg sin h sin U / sin (j’+h) sin j cos (dg+T) sin (V+Hi) (3) O’ P' = O’G + G P' (4)
Puis xP’ = O’ P' sin Hi

y P' (o’) = O’ P' cos Hi en partant de O’

y P' (s) = y P' (o’) – O’ S en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)

Lorsque le soleil est dans le plan méridien (fig 5') le point P' se trouve alors sur la ligne de XII heures O'S.

Dans OP'O' on a O'P' / sin (f + h) = OO' / sin OP'O' = l / sin (pi - (pi/2 – f + (pi/2 – j) + f + h))

= l / sin (pi – (j + h) = l / sin (j + h) et O'P' = y = l sin (f + h) / sin (j + h)

On a là la valeur du point de midi pour chaque arc diurne.

fig 5'

iDWLW cas particuliers.

1) Le soleil est dans le plan du cadran vertical d’origine (l’angle azimutal T=pi/2-dg).

Examinons la figure 5a.



Fig 5a

T = pi/2– dg alors dg + T = pi/2 et j' = 0 = sin U

tg Hi indépendant de j' et U peut se calculer avec la relation (1). Par contre GP' (3) est indéfini (0/0)
Le soleil se trouve dans un vertical parallèle au plan du cadran.

Un rayon passant par O coupera le cadran en P' sur la ligne horaire Hi à son intersection avec la droite azimutale ZZ'.
T’T’’ = OT’ / sin i = (l cos f cos dg – l sin f tg i) / sin i
ST’T’’ rectangle en T’ donne ST’’ cos (pi/2-V) = T’T’’ ==> ST’’ = T’T’’ / sin V et

O’T’’ = O’S + ST’’ (avec O’S = l sin f / sin j)
O'P'T'' donne sin (Hi + V) / O'T'' = sin V / O'P' et O'P' = sin V O'T'' / sin (Hi + V) Projetons P' sur O'S en C:
x = O'P' sin Hi y = O'P' cos Hi y(s) = y – O'S


2) T> pi2-dg H < pi/2 – dg

(si H >ou = pi/2 - dg la construction montre que le soleil est derrière ou sous le plan du cadran. Le cadran n'est pas ensoleillé)
Dans le cas du cadran vertical origine le soleil est derrière celui-ci. Mais lorsque le cadran s’incline de i

le soleil peut alors être au-dessus du plan du cadran et l’éclairer. Ce, à condition que la hauteur du soleil
soit supérieure à un angle RT que nous définirons ci-dessous.
Ceci se comprend facilement en observant la figure 6.

Fig 6
L'incliné coupe l'horizon en C et D et le plan méridien en M et S'. Un vertical d'angle azimutal
> pi/2-dg est coupé en h1 par un arc semi-diurne solaire de déclinaison d1 et en h2 par un autre arc semi-diurne de déclinaison d2.
h1 se situant sous le plan incliné ne peut éclairer la face utile du cadran solaire alors que le soleil en h2

dans le même azimut éclairera celui-ci.
L'angle j est l'angle compris entre la méridienne et la ligne de 12 heures de l'incliné (ligne de coupe de celui-ci avec le plan méridien).

MNC donne tg MN / tg MCN = sin NC et
tg j = 1/tg i * sin (pi/2 + ou – dg) = cos dg / tg i
Observons la figure 7
.

fig 7

Les calculs de tg Hi sont identiques au cas T < pi/2-dg.

Dans SOB on a BSO = pi/2 – dg ; SOB = pi – T ; SBO = pi-(pi/2-dg+pi-T) = dg+T-pi/2 = B’BB’’.

BB’B’’ et BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i
sin (dg+T-pi/2) = - cos (dg+T) et BB’ = l sin f tg i / -cos (dg+T)
K’B’B ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / - cos (dg+T)) = - cos (dg+T) / tg i
D’où j’. Ensuite K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’ BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i
Et sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
Calcul de O’P = O’G + GP'
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin(pi-(pi-h+j’)) et BP' = OB sin h / sin (h-j’) OBS ==> OB / sin (pi/2 – dg) = OB / cos dg =
OS / sin(pi-(pi/2-dg+pi-T)) = OS / sin (dg+T-pi/2) et
OB = OS cos dg / -cos(dg+T) = - l sin (j-f) cos dg / sin j cos (dg+T)
D’où BP' = - l sin (j-f) cos dg sin h / sin j sin (h-j’) cos (dg+T)
O’G a la même valeur que dans le cas où T<pi/2-dg : on prend la valeur O’G = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGP' ==> BGP' = pi – (pi-(V+Hi) = V+Hi
BP' / sin(V+Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V+Hi) et
GP' = - l sin (j-f) cos dg sin h sin U / sin j sin (h-j’) cos (dg+T) sin (V+Hi) Pareillement

xP' = O’P' sin Hi yP'(o’) = O’P' cos Hi et yP'(s) = yP'(o’) – O’S
Si H> pi/2 – dg alors le soleil est «sous» le cadran.

Heure d'apparition du soleil sur le cadran

Lorsque l'azimut est > à pi/2 –dg le matin ou > à pi/2 + dg l'après-midi pour les IW et

inversement pour les IE le soleil peut être sous ou sur le cadran selon sa déclinaison.

On peur rechercher l'instant t où le soleil apparaîtra ou disparaîtra sur le cadran.

On retrouvera ceci pour les autres types de cadran.

Les relations sont quasi identiques aux signes prés.

voyons la figure 8


fig 8

Choisissons un arc semi-diurne R'R'' de déclinaison d. Celui-ci coupe l'incliné en R.

On fait passer par R un vertical qui sera l'azimut T de R.

On fait également passer par R un cercle horaire d'angle horaire t.

Le triangle sphérique RTU' rectangle en T permet d'écrire:

tg RT / tg (pi/2-i) = sin TU' TU' = ST-SU' = T – (pi/2-dg) et

tg RT = (1/tg i) * (- cos (T+dg)) d'où RT = arctg ((1/tg i) * (- cos (T+dg)))

Remarque: Lorsque l'azimut T du point de rencontre de l'arc semi-diurne de déclinaison d

est < pi/2 – dg (ou < pi/2 – dg pour les déclinants Est) le point R est sous l'horizon comme on peut le

voir sur la figure 9



fig 9

On a alors tg RT / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – (dg + T)) = cos (dg + T)

et tg RT = cos (dg + T) / tg I

On s'aperçoit, comme l'on pouvait s'en douter, que RT = j' dans tous les cas de figure que nous avons

envisagés et que nous découvrirons dans les autres cas puisque TOR représente l'angle de coupe de

l'azimut de R avec l'horizon.

Lorsque cet azimut en ce qui concerne les DW est < à pi/2 – dg pour les heures du matin ou < pi/2 + dg

pour les heures du soir (l'inverse pour les DE) les levers et couchers se font devant le plan du cadran

L'angle horaire le plus grand sera donc égal à la valeur de l'arc semi-diurne = atn (-cos d cos f).

Daans tous les autres cas le moment d'apparition ou de disparition du soleil sur le plan du cadran sera

déterminé par la valeur de j' (=RT). Lorsque la hauteur du soleil est égale à j' celui-ci apparaît sur le

cadran ou disparaît de celui-ci. Donc connaissant la latitude, la déclinaison solaire, la déclinaison

gnomonique et l'inclinaison du cadran on peut en entrant un angle horaire connaître la hauteur et

l'azimut du soleil. Ce qui nous permettra de calculer j' (angle de coupe pour cet azimut).

Si j' est < à la hauteur h du soleil pour cet angle horaire le cadran est éclairé. Si h < j' celui-ci ne l'est pas.

On peut alors déduire quel est l'angle horaire correspondant à l'égalité j' = h en remplaçant la hauteur

par j' dans la relation classique donnant la hauteur d'un astre sur l'horizon et de là trouver l'angle horaire

du lever ou coucher du soleil sur le cadran.

On aura sin j' =cos d cos f cos t + sin d sin f et cos t = (sin j' – sin d sin f) / (cos d cos f)

Pour les IDW et IDE j > f l'angle J' (fig 9a) prend naissance en B.

Mais, dans le même plan azimutal on retrouve J' à partir de O centre de la sphère en faisant

glisser B en O; B' venant en D, K' venant en E… (fig 9a)



fig 9a

Nous donnerons à la fin de chacun des 3 chapitres une méthode plus générale d'obtention des angles

horaires de passage du soleil sur le plan du cadran.

3) T> pi2-dg H = pi/2 – dg

La relation donnant tg Hi se simplifie pour donner Hi = V

Dans cette configuration IDWLW les lignes horaires du matin sont
l’ouest. Il ne peut en être autrement.

fig 10

Quand T > pi/2 - dg et H = ou > pi/2 -dg l’intersection entre le rayon solaire le cercle azimutal et le cercle horaire

se fait à l’est. Le cadran est alors «éclairé» sur sa face arrière et pourrait marquer l’heure mais avec un autre style.
Il ne peut y avoir d’ensoleillement sur l’IDWLW.

On notera que tous les levers se font sur le cadran pour les azimuts solaires inférieurs à pi/2 – dg

(les couchers se faisant tous devant le cadran pour un azimut solaire inférieur à pi/2 + dg).
Rappel: en gnomonique les azimuts sont comptés de 0 à 180° du sud au nord en est comme en ouest.

Déclinaisons compatibles avec des levers et couchers:

fig 11

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm

On remarque que cette condition est valable quand j > f.
Lorsque j < f il nous faut prendre dm = pi/2 – (f – j) comme le montre la figure 12.

fig 12

On pourra écrire: si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
Nous verrons plus loin une autre façon de calculer les heures d'apparition et de disparition du soleil sur le cadran.

Voyons maintenant le cas des iDWLE j > f

II- Lignes du soir.

C’est ce que nous nommons les iDWLE (incliné déclinant ouest lignes est) .

Le style est bien sûr celui des iDWLW. Son calcul a été exposé précédemment.

T < pi/2 + dg

fig 13

j et V répondent aux mêmes calculs de même que l’étude du style.

a) – Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.

O’S est également donné par l sin f / sin j

GSO’ ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(pi-V+Hi)) = O’S / sin (V-Hi) Et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2-dg+H)) = OS / sin (pi/2+(dg-H))

= OS / cos (dg-H).

OO’S ==> OO’ / sin (pi-j) = OS / sin (pi-(pi-j+f)) et OS = l sin (j-f) / sin j

La valeur de OS ne change pas du cas précédent et on a GS = l sin (j-f) sin H / sin j cos (dg-H)
En comparant les 2 valeurs de GS on a

l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) = l sin (j-f) sin H / sin j cos (dg-H)

qui donne après les mêmes simplifications que dans le cas précédent :

tg Hi = sin (j - f) sin H sin V / (sin f cos (dg - H) + sin (j - f) sin H cos V)

b)- Coordonnées x et y de P'

- Calcul de j’.

B’BB’’ = SBO = pi-(pi/2-dg+T) = pi/2 + (dg-T)

B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = BB’' = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (dg-T)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / cos (dg-T)) = cos (dg-T) / tg i

- Calcul de U.

K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’

BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’ K’ / BK’

Sin U = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i

- Calcul de O’P'.

OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-dg+T))

= OS / cos (d-T) = BS / sin T

OB = OS cos dg / cos (d-T) = l sin (j-f) cos dg / sin j cos (dg-T) OBP' ==>

BP' / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’) ==>
BP' = OB sin h / sin (h+j’) et BP' = l sin (j-f) cos dg sin h / sin (j’+h) sin j cos (dg-T)

O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi ==> O’G = GS sin V / sin Hi et on a vi ci-dessus que

GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
O’G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V-Hi) sin Hi = l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)

BGP' ==> BGP' = O’GS = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi

BP' / sin (V-Hi) = GP' / sin U ==> GP' = BP' sin U / sin (V-Hi) et

GP' = l sin (j-f) cos dg sin h sin U / sin (j’+h) sin j cos (dg-T) sin (V-Hi)

O’ P' = O’G + G P' xP' = P'C = O’ P' sin Hi y P' (o’) = O’ P' cos Hi y P' (s) = y P' (o’) – O’S

c)- Cas particuliers.

1) Le soleil est dans le plan du cadran vertical d’origine

Si T - dg = pi/2 ou T = dg + pi/2 alors cos pi/2 = 0 et j' = 0 = sin U Tg Hi reste identique

mais GP' est indéfini.
Le soleil se trouve dans un vertical parallèle au plan du cadran.

Fig 14

Un rayon passant par O coupera le cadran en P' sur la ligne horaire Hi à son intersection avec la droite azimutale ZZ'.
Le soleil se trouve dans un vertical parallèle au plan du cadran.
Un rayon passant par O coupera le cadran en P' sur la ligne horaire Hi à son intersection avec la droite azimutale ZZ'.
T’T’’ = OT’ / sin i = (l cos f cos dg – l sin f tg i) / sin i
ST’T’’ rectangle en T’ donne ST’’ cos (pi/2-V) = T’T’’ ==>

ST’’ = T’T’’ / sin V et O’T’’ = O’S + ST’’ (avec O’S = l sin f / sin j)
O'P'T'' donne sin (V - Hi) / O'T'' = sin (pi - V) / O'P' et O'P' = sin V O'T'' / sin (V - Hi)
Projetons P' sur O'S en C:
x = O'P' sin Hi y = O'P' cos Hi


2)- Soleil derrière le cadran vertical origine et ligne horaire encore devant.

T > pi/2+dg; H < pi/2+dg H ne peut pas être > pi/2 + dg car alors le cadran n'est pas
ensoleillé le soleil étant sous le plan du cadran (la construction montre cela).

fig 15
a)- Calcul de Hi.
j, V et O’S donnent lieu aux mêmes calculs et ont même valeur. O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(pi-V+Hi)) ==>
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
De même, même valeur pour
tg Hi = sin (j-f) sin H sin V / (sin f cos (dg-H) + sin (j-f) sin H cos V)
b)- coordonnées x et y de P.
Dans B’BB’’ on a B’BB’’ = SBO = pi-(pi/2+dg+pi-T) = (T-dg)-pi/2
BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (T-dg)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / -cos (T-dg)) = -cos (T-dg) / tg i (RT = J')
Dans K’B’B on a BK’ sin j’ = K’B’ ==> BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Et sin U = sin j’ / cos i
Valeurs de O’G et de GP' :
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’) = OB / sin (h-j’) OBS ==> OB / sin (pi/2+dg) = OB / cos dg =
OS / sin(pi-(pi-T+pi/2+dg)) = OS / sin (T-dg-pi/2) = OS / -cos (T-dg)

Et OB = OS cos dg / -cos (T- dg) = l sin (j-f) cos dg / -sin j cos (T-dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (j-f) cos dg sin h/ -sin j cos (T-dg) sin (h-j’)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
O’ G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V-Hi) sin Hi
= l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)
BGP' ==> BGP'= pi-O’GS =pi - ( pi-(pi-V+Hi)) = pi - (V-Hi)
BP' / sin (V-Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V-Hi)
GP' = -l sin (j-f) cos dg sin h sin U / sin j cos (T-dg) sin (h-j’) sin (V-Hi) O’P' = O’G + GP'
xP' = O’P' sin Hi yP'(o’) = O’P' cos Hi yP'(s) = yP'(o’) – O’S

Ici tg RT = - cos (T – dg) / tg i d'où connaissance de t (heure de disparition de l''ensoleillement dans ce cas)

en remplaçant h par RT dans la relation donnant la hauteur.

fig 16

T > pi/2 + dg H = ou > pi/2 + dg vu ci-dessus pour les DWLW:
le cadran n’est pas ensoleillé.
On retrouve la même condition de déclinaisons compatibles avec des levers et couchers.


fig17

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.
R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes. Donc entrer une autre déclinaison d.
Quand au style les éléments concernant celui-ci dans sa configuration DW seront
les mêmes que pour sa configuration DE.
Le point T se plaçant à l'est de la ligne de XII heures O'S pour les DW et à l'ouest de celle-ci pour les DE.
On a vu que les relations des iDWLW convenaient aux iDELE et celles des iDWLE aux iDELW.
Lorsque j < f (fig 18)


(fig 18)

On aura PR = pi/2 – dm = f – j et

dm = pi/2 – (f – j) Pareillement si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison.

Autre méthode d'obtention des angles horaires des passages du soleil sur le plan du cadran pour les inclinés j > f

fig 19
Soit MUwSU' le plan incliné de déclinaison dg et d'inclinaison i coupant l'horizon de latitude f en Uw et U'.

Le plan méridien est coupé selon MS ligne de XII heures.
Un arc semi-diurne R'R'' de déclinaison d coupe ce plan incliné en R. Par R passe le cercle horaire t.
Rappel: par commodité en gnomonique les azimuts sont comptés de 0 à 180° du sud au nord en est comme en ouest.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en appelant j le côté MN: tg j / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – dg)
ou encore tg j = cos dg / tg i de même tg NUw / tg NMUw = sin j
ou encore tg (pi/2 – dg) / tg NMUw = sin j et tg NMUw = 1 / (tg dg sin j)
Comme angles à côtés opposés NMUw = ZMR supplément de PMR alors PMR = pi – NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j – f et PR = pi/2 – d
(f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j – f) = sin t / sin MR.

et sin MR = sin t sin (j – f) / sin R de même
sin R = sin PMR sin (j – f) / cos d = sin NMUw sin (j – f) / cos d d'où R quand

R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j – f) ce qui nous donne d que nous appellerons dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons la plus petite valeur donnée par sin R.

Ce sera l’inverse pour d > dl.
Si d < 0 on aura sin PMR / sin (pi/2 + abs d) = sin R / sin (j – f)
sin (pi/2 + abs d) = cos abs d et lorsque R = pi/2 alors
cos abs d = sin NMUw sin (j – f) mais cos abs d = cos d = cos – d
Donc on ne change rien et pas de changement non plus pour la condition d < dl R est < pi/2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.
R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm. Revoyons la figure 11.

fig 11

On remarque que cette condition est valable quand j > f.
Lorsque j < f il nous faut prendre dm = pi/2 – (f – j) comme le montre la figure 12

fig 12
.
On pourra écrire: si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et
cos MR = cos (j – f) sin d + sin (j – f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient

cos PM = cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (j – f)
= cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + (sin t sin (j – f) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (j – f)
1 = sin² d + tg (j – f) cos d sin d cos t + sin t tg (j – f) cos d / tg R et

cos² d - tg (j – f) cos d sin d cos t - sin t tg (j – f) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / R = 0
Lorsque d est < 0 tous calculs faits on arrive à
cos d + tg (j – f) sin ad cos t - sin t tg (j – f) / R = 0 où ad = abs (d)
et en prenant la valeur négative de ad on a sin - d = - sin d et
+ tg (j – f) sin ad cos t devient - tg (j – f) sin d cos t
On ne change donc rien à cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / R = 0
que d soit > 0 ou < 0
En posant A = cos d, B = - tg (j – f) sin d et C = - tg (j – f) / tg R on a A + B cos t + C sin t = 0
Nous nous servons des propriétés de l'arc moitié en posant tg (t/2) = k on a alors

cos t = (1 – k²) / (1 + k²) et sin t = 2 k / (1 + k²)
On a alors A + B (1 – k²) / (1 + k²) + C 2 k / (1 + k²) = 0
A + A k² + B - B K² + 2 C k = 0 et (A – B) k² + 2 kC + A + B = 0
Les racines de cette équation donnent deux valeurs R1 et R2 qui correspondent aux angles horaires des

levers et couchers du soleil sur le cadran. On a R1 = tg (t/2) et t = 2 atn (R1). Pareillement pour R2.
En fonction de la configuration on prendra R1 pour le matin et R2 pour l'après-midi ou l'inverse.
On divise R1 et R2 par 15 pour avoir le résultat en heures. Résultat que l'on déduit de 12 pour les

apparitions du matin ou que l'on ajoute à 12 pour les disparitions du soir.

Pour les IDW et IDE j < f ainsi que pour les inclinants la méthode de calcul est quasi identique et

pour ne pas alourdir le texte nous ne donnerons que les résultats.

Inclinant Déclinant ouest j > f
L'ombre du style (carton découpé) suit parfaitement
l'arc diurne calculé et montre l'heure solaire
Voyons maintenant le cas où le style sort vers le haut sur les déclinants (j < f)

Suite page 2

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