fig 10
3è partie
Application aux heures d'apparition et de disparition
du soleil sur les cadrans solaires verticaux
déclinants ou inclinants
Le plan du cadran est compris dans un
vertical de la sphère céleste.
Lorsque la cadran n'est pas plein sud ou
plein nord on dit que le cadran décline ou incline.
Lorsque le cadran a pivoté de 20° vers l'est on dit qu'il décline de 20° à l'est si l'on considère sa face sud ou qu'il incline de 20° à l'ouest
si l'on considère sa face nord.
Inversement si le cadran pivote de 20° vers l'ouest le cadran décline de 20+ à l'ouest en considérant sa face sud ou qu'il incline de
20° à l'est si l'on considère sa face
nord.
fig 10
On appelle déclinaison gnomonique l'angle
de pivotement du cadran.
On n'a plus qu'à ramener cette déclinaison
à l'azimut correspondant pour pouvoir appliquer les relations
établies ci-dessus.
L'heure d'apparition du soleil sur le cadran déclinant sera évidemment la même heure de disparition du soleil sur le cadran inclinant
et inversement.
Exemple 1: cadran
déclinant de 20° à l'ouest (inclinant 20° est)
L'azimut du cadran est donc de 270 +20 =
290° en zone am et
de 90 + 20 = 110° en zone pm
heure d'apparition sur une latitude de 43°
déclinaison 20° zone am (apparition)
M = 47° ZM = 41.77035 ou
138.22965
cos ( ag – pi) = sin d / cos f
en zone am
ag = 290 et sin d = cos (290 – 180) cos
f d'où dm = - 14.485°
Pour toute déclinaison inférieure le lever
a lieu devant le cadran et
ZM > pi/2. ici d >
dm donc ZM < pi/2
Azimut du lever pour d = 20°: cos (a
– pi)= 0.4676535 et
al = 242.1179°
Donc al < ag zone am et ZM <
pi/2. Le soleil coupe le plan du cadran en matinée.
On prend alors ZM = 41.77035
et cos t = (cos ZM – sin f sin d) / cos
f cos d (5)
et cos t = 0.74582 t = 41.77034 on a vu ci-dessus qu'en zone am lorsque le cosinus est positif il faut prendre
2 pi - t = 318.2296
Le soleil de déclinaison 20° passe dans le
plan du cadran déclinant de 20° à l'ouest (azimut 290°) à 9h
12' 55'' à la latitude de 43°
C'est également l'heure de disparition sur
l'inclinant nord est de 20° (autre face du cadran)
Heure de disparition sur ce même cadran
pour la même déclinaison:
On peut sans nouveau calcul trouver l'azimut
du coucher pour la même déclinaison. C'est 2 pi – a ou 360
- 242.1179 = 117.8821°
L'azimut gnomonique ag est de 290 – 180
= 110°
On a alors ag < ac en zone pm et il y
aura donc intersection du plan du cadran avec le cercle horaire
sur l'horizon et ZM < pi/2
cos (pi – ag) = sin d / cos f
en zone pm et sin dm = cos (pi – ag) cos f
et sin dm = cos (180 – 110) cos f
dm = 14.485° comme on pouvait s'y attendre par symétrie.
Tout astre dont la déclinaison est < dm se couche devant le cadran et l'intersection cadran cercle horaire se fait sous l'horizon
avec ZM > pi/2.
Ici d > dm donc ZM < pi/2
L'application de (4) donne ZM = 82.0535°
et (5) donne cos t = -
0.138247 et t = 97.9464 ou 18h 31'47''
Le soleil de déclinaison 20° passe dans le
plan du cadran déclinant de 20° à l'ouest (azimut 110°) à
18h 31' 47'' à la latitude de 43°.
C'est également l'heure d'apparition pour
l'inclinant 20° nord est (autre face du cadran).
Exemple 2:
Heure d'apparition du soleil sur un cadran inter tropical f = 10°, d = 23°, a = 140° (déclinant de 50° à l'ouest ou inclinant de 50° à l'est)
zone pm
fig 11
C'est à peu près le jour de l'été dans
l'hémisphère nord quand
d = 23°26'.
d > f mais < pi/2 – f. Le cercle
de déclinaison coupe alors l'horizon.
Comme vu plus haut M va avoir 2 valeurs:
43.44755 et 136.55245
ZM correspond à M = 136.55245 et
ZM' à M = 43.44755
(voir plus haut la Remarque sur le calcul de
ZM lorsque M a deux valeurs)
Quand M = pi/2 on a sin ZM =
(sin²f – sin² d) / sin d cos f cos a
quand M = pi/2 on a on l'a vu cos d = cos f
sin a et pour d = 23 et f = 10
on trouve a = 110.82°
Nous avons vu plus haut que ZM est <pi/2
quand M=pi/2 (f > 0): on prend ZM = 17.13046 pour
M = pi/2
Ici il y a double intersection pour a = 140
sin ZM = (sin²f – sin² d) / (cos d
cos M sin f + sin d cos f cos a) (4)
ZM = 17.35118 et 162.64882
17.35118 est la valeur à retenir
ZM' = 43.27613 et 136.7238 136.7238 est la valeur à retenir car l'intersection se fait sous l'horizon
(ZM' > pi/2 comme nous allons le voir).
cos (pi - ag) = sin d / cos f en
zone pm
ag = 140 et sin
d = cos (180 - 140) cos f d'où dm = 48.973°
Pour toute déclinaison inférieure le
coucher a lieu devant le cadran et
ZM' > pi/2. ici d <
dm donc ZM' > pi/2
Azimut du coucher pour d = 23 f = 10:
cos (pi – a) = sin d / cos f
et ac = pi - arc cos (pi – a) en zone pm
et ac = 113.375°
Donc ac < ag zone pm et ZM' >
pi/2. Le soleil coupe le plan du cadran dans l'après-midi.
Calcul de t pour ZM: cos t =
(cos ZM – sin f sin d) / cos f cos d (5)
t = 12.01993° ou 12h 48' 5''
Après vérification par la relation donnant
l'azimut en fonction de t, f et d
tg a = sin t / (sin f cos t – cos f tg
d)
on retrouve bien a = 140 avec t = 12.01993
calcul de t pour ZM':
t = 151.3997° ou 22h 5' 36''
on retrouve a = 140 avec la formule
classique de l'azimut pour cet angle horaire
Le soleil étant couché à arc cos (- tg f
tg d) = 94.2924° ou 18h 17' 10''
Lorsque M = pi/2 l'azimut du soleil sur son asd est minimum et donné par la relation vue plus haut:
cos d = cos f sin a d'où a =
110.8195°
heure correspondant à cet azimut minimum:
sin ZM = - 1 / (tg d tg a) quand M = pi/2
d'où ZM = 63.6142°
cos t = (cos ZM – sin d sin f) / cos d
cos f (5)
et t = 65.45585° ou 16h 21'49''
Le soleil dans sa course de l'après-midi voit son azimut diminuer de 140 à 110.8195 puis croître de nouveau de 110.8195 à 140
au moment de l'intersection inférieure
(celui de son coucher étant de 113.3757°).
arc cos (- tg d tg f ) = asd = 94.2924° ou
18 h 17' 10''
et sin a = sin t cos d donne
a = 113.3757
11 10 2017
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