Intersection cercle horaire vertical et asd
Deuxième
partie
Quelques
cas particuliers
a) Intersection perpendiculaire d'un vertical avec le
cercle horaire sur un arc semi-diurne de déclinaison d lorsque d
> f
L'arc semi-diurne n'atteint pas le zénith. Lorsque PMZ = pi/2 le cercle horaire est perpendiculaire au vertical passant par le point
de contact entre
l'arc semi diurne et ce vertical.
Si M = pi / 2
alors sin M = 1 et cos d = cos f sin a et cos f = cos d / sin a
La relation (4)
sin ZM = (sin²f
sin² d) / (cos d cos M sin f + sin d cos f cos a)
devient sin ZM =
(sin² f sin² d) / sin d cos f cos a
et en
remplaçant cos f par sa valeur
sin ZM = (sin²
f sin² d) tg a / sin d cos d
Remarquons que
dans PMZ lorsque M = pi/2 nous avons
tg PM / tg PZM =
sin ZM ou tg (pi/2 d) / tg (pi a) = sin ZM
et
sin ZM = - 1 /
(tg d tg a) quand M = pi/2
Pour une latitude f, ZM va varier de 0 (M en Z et d = f) à une valeur maximum égale à pi/2 f (M en P et d = pi/2) depuis
l'arc
semi-diurne de déclinaison d = f, passant par le cardinal N de
l'horizon et par le zénith Z jusqu'à l'asd de valeur 0 réduit
au point P.
Lorsque f = 0
(équateur) ZM maximum = pi/2 f = pi/2
Nous verrons le
cas particulier de l'équateur plus bas.
L'azimut du vertical portant ZM varie de pi/2 à pi. Lorsque M est en Z il se trouve au croisement du premier vertical et du méridien
perpendiculaires
entre eux. a est alors égal à pi/2 et d = f. On a
alors
sin ZM = -1 /
(tg d X infini) = 0 et ZM = 0. ZM est réduit au
point Z.
Nous avons vu
que M = pi/2 quand cos d = cos f sin a
On peut alors
chercher connaissant f et a, la déclinaison correspondant à
cette particularité puis ZM et t.
Application:
f = 50, a = 160 cos d = 0.219846 et
d = 77.2999°
on peut alors
trouver ZM et t
sin ZM = 0.61916
et ZM = 38.25523°
il n'y a qu'un
point de contact on garde donc cette valeur.
sin t = 0.963243
ce qui donne deux valeurs pour t: 74.4173 et 105.5826
On recherche
donc cos t comme vu plus haut:
cos t = (cos ZM
sin d sin f) / cos d cos f (5)
cos t = 0.26860
et t = 74.41879 ou 16h 57' 40'' valeur à retenir.
Lorsque sur la
latitude 50° le vertical d'azimut 160° entre en contact avec
l'arc semi-diurne de déclinaison 77.2999° il est 16h 57' 40''
locale.
Remarquons
encore que lorsque M = pi/2 et f = d alors
sin M = cos f
sin a / cos f = sin a = 1 (M = a = pi/2)
M est donc sur
le premier vertical, au zénith sur le cercle de déclinaison
d = f et sur le
cercle méridien d'angle horaire 0 coupant le premier vertical en
Z.
sin ZM = - 1 /
(tg d tg a) quand M = pi/2 tg a = infini et sin ZM =
0
M est au zénith
en Z
Ensuite tout vertical d'azimut a > pi/2 présentera une intersection avec un cercle horaire sur un asd avec M = pi/2 puis pour le
même asd deux
intersections lorsque a augmente.
On déduira sans calcul supplémentaire, par symétrie, que l'autre partie du vertical ZV'M'Z'VM dont l'azimut est a + pi est coupée par
le même cercle
horaire PMP'M' d'angle horaire t + 12 en un point M' du semi arc
diurne de
déclinaison
-d donnant ZM' = pi ZM.
fig 4
_Z'
Le triangle
correspondant est PZM' dans lequel on a
PZ = pi/2
f, PM' = pi/2 + abs (d),
PZM' = a
pi, ZPM' = 2pi (pi + t) = pi - t
b) Variation de M lorsque le vertical coupe un arc diurne de déclinaison d > f (l'arc semi-diurne culminant entre le zénith
et
le pôle).
Nous venons de
voir que lorsque le vertical coupe le cercle horaire en un seul
point de l'arc semi-diurne de d > f on a cos d = cos f
sin a
(M = pi/2). Donc sur un horizon de latitude f on pourra connaître l'azimut du vertical d'azimut a répondant à ce cas précis pour
un asd de
déclinaison d > f.
Au-delà de cet
azimut le petit cercle asd est coupé en deux endroits M et M' de
la sphère céleste.
Prenons le cas de figure de la zone pm d'après-midi.
_____fig 5
Pour un azimut
< a il n'y a pas intersection sur cet asd.
Remarquons que
les triangles PZM et PZM' ont PZ en commun
et PM = PM' =
pi/2 d PZM = pi a est également
commun aux deux triangles et sin M répond également aux deux
triangles.
sin M = sin a
cos f / cos d
Pour qu'il y ait
double intersection il faut avoir sin M < 1 et cos f étant
pris constant il faut donc que abs (sin a) < cos d
Lorsque l'azimut a du vertical croît depuis le contact avec l'asd M varie de pi/2 à pi et inversement M' varie de pi/2 à 0
(M et M' étant
confondus lors du contact asd et vertical).
Le sinus de M
donne les deux valeurs de M.
La figure ci-dessous montre que l'arc semi-diurne lorsque d > f peut être coupé par l'horizon tant que d < pi/2 f.
Les valeurs de M
données par sin M donneront les valeurs de ZM et ZM'.
Remarque
Le sinus de M donne deux valeurs pour M comme nous l'avons vu: M et son supplément. Ces deux angles répondent exactement
aux mêmes
grandeurs f, d et a dans le triangle PZM. Mais il n'en est pas
ainsi pour
sin ZM car les
angles M et pi M sont différents. Ainsi on ne pourra pas
dire que sin ZM donne les deux valeurs de ZM: ZM et pi ZM
Il conviendra de chercher les deux valeurs de ZM en donnant à M ses deux valeurs M et pi M puis choisir la valeur convenable
en se référant aux valeurs de dm et ag comme nous le verrons plus loin.
fig 6
fig 7
Pour le calcul
de t correspondant on comparera les valeurs de cos t en se
référant à la valeur de l'azimut correspondant comme vu plus
haut.
On pourra
rechercher les symétriques de ZM et ZM' sur la partie a + pi du
vertical comme vu plus haut (t = t +12).
c) Cas du pôle nord
Ici f = pi/2
De la relation (1) on en déduit que sin M = 0 alors M = 0
La relation (4) se simplifie en donnant sin ZM = cos d ou ZM = pi/2 d et la relation (6) sin t = sin a sin ZM / cos d
devient
sin t = sin a
et t = a:
les cercles horaires et cercles d'azimut sont confondus.
On arrive au
même résultat en considérant les autres cas de figure.
d) Cas de l'équateur
Lorsque f = 0
(équateur) nous avons vu que
ZM maximum =
pi/2 f = pi/2
M se retrouve alors au point W (ouest) ou E (est) intersection du premier vertical confondu avec l'équateur et de l'horizon de l'équateur
confondu avec le cercle horaire de la 6è ou de la 18è heure. Le pôle P est alors au cardinal N de l'horizon équatorial de latitude 0 et
PZM est un
triangle sphérique équilatéral dont les 3 arcs et trois angles
valent 90°.
Lorsque d = f =
0 (équateur) les relations donnant sin ZM ne sont pas
applicables lorsque M = pi/2 et a = pi/2 . En effet
sin ZM = (sin²
f sin² d) tg a / sin d cos d ou sin
ZM = - 1 / (tg d tg a)
mènent à
une indétermination (0 X 8) / 0 ou
-1 / (0 X 8)
Lorsque ZM =
pi/2 à l'équateur alors
cos t = (cos ZM
sin d sin f) / cos d cos f devient
cos t = 0 / 1 = 0 et
t = 90° ou
270° (cercle horaire 6 h et 18 h)
A l'équateur
tous les cercles de déclinaison sont perpendiculaires à
l'horizon et l'axe des pôles est couché sur celui-ci.
Prenons le cas
de figure d'un vertical en zone pm.
Dans PMZ, PZ =
pi/2 f = pi/2 d'où l'on tire
sin M = sin a / cos d et
sin d =
cos (pi a) sin ZM et sin ZM = sin d /
cos (pi a)
ou sin ZM =
sin d / cos a
Remarquons ici
que sin ZM ne dépend pas de M qui, ayant deux valeurs
différentes lorsqu'il y a double intersection de l'arc
semi-diurne
(d > f), demande de calculer ZM avec chacune des valeurs de M. Ici ZM est calculé indépendamment de M en utilisant deux valeurs
constantes, a et
d (f = 0). On peut donc utiliser les deux valeurs de M, M et pi-
M, données par le sinus
lorsque ZM =
pi/2 on a cos (pi a) = cos (a pi) = sin d
et d = a -
pi + pi/2 ou d = a pi/2
M parcourt alors
l'horizon qui est également le cercle horaire 6 h 18 h
Lorsque ZM est
différent de pi/2 on a (6)
sin t = sin ZM
(sin a / cos d) = ( sin d / cos a )
(sin a / cos d)
sin t = - tg d
tg a
si t = pi/2
(6 h pm) et d = 20° on a a = 130°
Le vertical
coupe l'horizon de l'équateur à l'azimut 130 lorsque la
déclinaison de l'astre par où passe le vertical est égale à
20°.
d = 10 et a =
120 alors t = 17.7826 ou 13h 11' 8'' zone pm
et t = pi
17.7826 = 162.2173 ou 22h 48' 52''
d = 20 et a =
130 zone pm
on obtient ZM =
32.146° et ZM' = 147.853°
t = 25.706 (13h
42' 49'') et 154.293 (22h 17'10'')
L'arc semi-diurne est coupé deux fois par le vertical. Le sinus de t permet de connaître les deux heures d'intersection
(de même que le
sinus de ZM fournit les deux valeurs ZM et ZM' (pi
ZM, pi ZM').
sin ZM et sin t ne dépendant ici que de valeurs identiques d et a leur arc sinus ne seront calculés qu'une fois.
Leurs
suppléments donneront leur autre valeur.
Suite 3è partie:
application aux cadrans solaires