Cadran solaire à déclinaison gnomonique erronée et
conséquence sur la lecture de l'heure
Jean Pakhomoff
Lors de la construction des deux cadrans solaires du monastère d'Azille (11)_une erreur dans le calcul de leur déclinaison
gnomonique s'est produite.
Les mesures azimutales ont été faîtes les 24, 25 et 26 octobre 2017 et par étourderie, au vu des déclinaisons négatives du soleil et de la date,
l'horaire d'hiver a été pris en compte alors que celui-ci n'entrait en vigueur que le 29 octobre. Une seule heure à l'heure civile a alors
été déduite au lieu de 2 dans le calcul de l'azimut solaire à l'instant de la mesure.
Il s'en est suivi une erreur de près de 16° dans la valeur des angles d'orientation des cadrans rendant fausses leurs indications.
Ainsi la déclinaison gnomonique trouvée pour le déclinant Est, suite à la mesure en horaire erroné, a été de 46.335° Est
(313.665° selon la définition de la CCS) et celle pour le déclinant Ouest a été de 39.745° Ouest. Après nouvelles mesures
en horaire d'hiver la déclinaison du déclinant Est a pour valeur 62.2° (297.8°) et celle du déclinant Ouest 23.8°.
Nous allons étudier ci-dessous l'erreur entraînée par cette étourderie sur la lecture de l'heure.
Soit donc le cadran solaire OAO'V vertical méridional sur un horizon de latitude f où AV est l'horizontale passant par A.
Nous le faisons pivoter d'une déclinaison gnomonique égale à dg vers l'est. On obtient alors le déclinant est OAO'V1.
dg est considérée comme la déclinaison obtenue par étourderie. Le cadran sera construit à partir de celle-ci.
La déclinaison réelle du mur sur lequel le cadran sera posé se révèle après mesure sans erreur être égale à dg'.
Faisons alors pivoter notre cadran OAO'V1 en OAO'V2 de façon à le plaquer sur le mur récepteur de déclinaison dg'.
La différence des déclinaisons gnomoniques est égale à dg' – dg = e
Le point O pivote du même angle e et vient en Q.
A cet instant t sur l'horizon de latitude f le soleil a un azimut z et une hauteur h.
Le cadran OAO'V1 devrait donner l'angle tabulaire AO'P correspondant à t.
Mais mal positionné il montrera l'angle tabulaire AO'P'. Nous appellerons cet angle H' correspondant à un angle horaire t'.
Rappelons ici la relation démontrée par ailleurs donnant l'angle tabulaire H à l'instant t dans le cas de figure ci-dessus
du vertical déclinant est lignes horaires du matin:
tg H = 1 / ((cos dg/cos f tg t) + tg f sin dg) (1)
Connaissant H on retrouve t:
tg t = 1 / ((cos f / tg H cos dg) – sin f tg dg) (2)
Recherchons maintenant la valeur de H' pour pouvoir apprécier le temps t' correspondant.
Observons le triangle AB'Q formé par le style droit AQ, la trace QB' de l'azimutal passant par Q et AB' portion délimitée
par l'azimutal QB' et l'horizontale V2, du cadran QO'AV2, passant par A.
On a B'AQ = pi/2 – dg' + e
Du triangle AQS on tire AQS = AQB' = pi – (pi – z + e) = z – e
AB'Q = pi – (pi/2 – dg' + e + z – e) = pi/2 + dg' - z
On peut écrire les rapports AQ / sin AB'Q = AQ / cos (dg' – z) = AB' / sin (z – e)
AB' = l cos f sin (z – e) / cos (dg' – z)
B'Q / sin (pi/2 – dg' + e) = B'Q / cos (e – dg') = AB' / sin (z – e)
et B'Q = l cos f cos (e – dg') / cos (dg' – z)
B'P = B'Q tg h et Y = l sin f + B'Q tg h
X = P'P'' = AB'
tg H' = X / Y ce qui après développement et simplification donne
tg H' = sin (z – e) / (tg f cos (dg' – z) + cos (e – dg') tg h) (3)
Une fois connu l'angle tabulaire "erroné" H' on recherche la valeur de t' correspondante en se servant de la relation (2).
Donnons ci-dessous quelques exemples concernant notre cas de figure du déclinant est lignes horaires du matin:
Soit notre cadran est du monastère d'Azille situé à une latitude nord de 43.27915°
Choisissons le jour de l'hiver de déclinaison -23.43694°.
la déclinaison gnomonique erronée est de 46.335° et la déclinaison du mur porteur est de 62.2° Est
e = 62.2 – 46.335 = 15.865°
A 11h du matin l'angle horaire t est de 15°, l'azimut z de 14.826°, la hauteur du soleil est égale à 21.872°
H' est alors égal à °-1.1355° ce qui correspond à 1.1355° d'après-midi
Nous sommes là dans les lignes d'après-midi et nous montrons par ailleurs que
(1) devient
tg H = 1 / ((cos dg/cos f tg t) - tg f sin dg) (4) et (2) devient
tg t = 1 / ((cos f / tg H cos dg) – sin f tg dg) (5)
Notre cadran mal positionné montrera alors t' = 1.0916° ce qui équivaut à 12h 4' 22''
le cadran avance donc de 1h 4' 22''
Si t = 30 ° (10h du matin) alors l'azimut est de 28.805°, la hauteur de 17.806°
On trouve H' = 14.6036° et t' =16.7211° ce qui correspond à 10h 53' 7'':
le cadran avance de 53' 7''.
Prenons les mêmes heures le jour de l'été de déclinaison 23.43694°.
A 11 heures du matin l'azimut est de 36.751°, la hauteur est de 66.617°
On trouve H' = 8.28888° et t' = 8.72° ce qui correspond à 11h 25'7''
L'avance est de 25' 7''
A 10 heures du matin l'azimut est de 60.917° et la hauteur de 58.336°
H' = 18.9531 et t' = 23.0322° ce qui correspond à 10h 27' 52''
L'avance est de 27' 52''
On constate que pour une erreur constante e les avances, dans le cas de figure étudié, sont variables selon les heures et les saisons.
C'est pour cette raison qu'il n'est pas possible de corriger l'heure lue au cadran par une valeur constante.
cadran déclinant à l'est
cadran déclinant à l'ouest
(notons que l'erreur grammaticale sur hora a été corrigée: horam)
Les cadrans prévus pour ces murs devront, suite à cette étourderie, être placés dans les encoignures
selon un angle calculé rectificatif de 15.865° pour le déclinant Est et de 15.945° pour le déclinant Ouest
de façon à ce qu'ils donnent des indications exactes.
Une fois installé dans l'orientation convenable calculée ci-dessus le cadran déclinant à l'ouest montrera
- Les heures, demi heures et quart d'heures solaires
- Les fêtes religieuses correspondant aux déclinaisons et dates suivantes:
déclinaison date Saint date Saint
-22.9666° 1er janvier La Maternité Divine de Marie et 11 12 ____Damase 37è pape
cet arc diurne est confondu avec celui de Noël leur déclinaison étant très proches.
-16.75° 2 février Présentation au temple et____8 11 _____St Adéodat 68è pape
-0.466° 19 mars St Joseph __et 24 9 ____Notre Dame de la Merci
9.6333° 28 août St Augustin et _23-2 _______St Pierre Damien
14.00° __15 août Assomption et 27 4 ______Saint Pierre Canisius
23.41666° __24 6 St Jean-Baptiste
- Les heures italiques de la 17è (7) à la 23è (1) :
lorsque l'ombre du boulon passe sur la ligne 7 il reste 7 heures de jour, sur la ligne 3, 3h …
- La courbe d'équation du temps est construite sur la méridienne (midi solaire vrai):
il est midi moyen lorsque l'ombre du boulon touche l'analemme (courbe en 8) à la date du jour.
Cette courbe est ponctuée de mois en mois et de dix jours en dix jours.
Le cadran déclinant à l'est montrera:
- Les heures, demi heures et quart d'heures solaires
- Les fêtes religieuses correspondant aux déclinaisons et dates suivantes:
déclinaison date Saint date Saint
-22.4666 ° 6 janvier __Epiphanie et __6 12 St Nicolas
-14.5° 1er Novembre Toussaint et __10 2 Ste Scholastique
-2.5° 29 septembre St Michel et 14 3 Ste Mathilde
0° EQUINOXES __21 3 St Benoît _et 23 9 _Saint Pio de Petrelcina
La droite équinoxiale peut-être considérée comme confondue avec la "courbe" du 22 3 début de la zone pascale.
1.9° 25 mars Annonciation et ___18 9 ___St Joseph de Copertino
13.2666° _25 avril ___St Marc date limite de Pâques et __17 8 __Ste Jeanne Delanoue
16.6333 __6 août Transfiguration et 6 5 __ Saint Pierre Nolasque
23.2° _29 juin St Pierre St Paul et 13 6 _____ Saint Antoine de Padoue
- Les heures babyloniques de la 1ère à la 7è : lorsque l'ombre du boulon passe sur la ligne 7 le soleil est levé depuis 7 heures;
sur la ligne 2 depuis 2 heures…
- La courbe d'équation du temps est construite sur la méridienne (midi solaire vrai):
il est midi moyen lorsque l'ombre du boulon touche l'analemme (courbe en 8) à la date du jour.
Cette courbe est ponctuée de mois en mois et de dix jours en dix jours.
Une ligne verticale surmontée de la lettre J indique la direction de l'église du St Sépulcre à Jérusalem:
lorsque l'ombre de la vis posée sur le style passe sur cette ligne le soleil indique cette direction.
La "zone pascale" comprise entre le 22 3 et le 25 4 est hachurée par les lignes horaires quart d'heures par quart d'heures.
Les deux cadrans dans leur orientation rectifiée
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