Etude des Cadrans Solaires Bifilaires

par Jean Pakhomoff

3è partie

E - Les bifilaires inclinants.

Reconsidérons la sphère céleste (fig 13) et l'un de ses cercles horaires du matin avec t < 3 pi / 2.

fig 13

Nous avons vu que l'angle tabulaire ZOV (Z'OV') du cadran plein nord était donné par la relation tg H = - cos f tg t

Lorsque le mur incline vers l'est ou l'ouest cet angle H va se modifier comme nous l'avons vu pour les déclinants. Voyons la figure 14.

fig 14

Comparons H et H' une fois que l'hémi- cadran a incliné de DG vers le style DO.tg H = AP / AD et tg H' = AQ / AD ===> tg H / tg H' = AP / AQ

AP / AO = tg (pi - AH) et AP = - AO tg AH

AQ / sin (pi - AH) = AO / sin (pi - (pi - AH + pi/2 - dg)) =

AO / sin (AH + dg - pi/2) = - AO / cos (AH + dg)

et AQ = - AO sin AH / cos (AH +dg)

AP / AQ = - AO tg AH / (- AO sin AH / cos (AH + dg)) =

cos (AH + dg) tg AH / sin AH = cos (AH + dg) / cos AH et

tg H' = tg H cos AH / cos (AH + dg)

Tous calculs faits tg H'' = tg H cos AH / cos (AH - dg) (cas où le mur s'éloigne du style chez les inclinants).

Remarquons qu'à l'équateur où tg H = - cos f tg t = - tg t et où AH = 0 on a tg H'' = - tg t / cos dg

Considérons la figure 15 et, dans un premier temps acceptons que le cadran ne décline pas. (on peut se servir de cette figure).

fig 15

On tiendra compte de la première partie de cette étude pour le bon positionnement des fils (compte tenu de l'inclinaison du cadran).

Comme pour le bifilaire déclinant on dira que par P passe une ligne horaire DP d'angle H' = ADP d'un cadran situé à une latitude f ' où f ' < f car H' > H (H = ADB'). On a tg H = P'B' / P'D = AB'' / P'D; tg H' = PP' / P'D = AC'' / P'D

tg H / tg H' = AB'' / AC''

AB'' / AB = tg (pi - T) = - tg T = AC'' / AC ===> AB'' / AC'' = AB / AC =

tg H / tg H' = -cos f tg t / (- cos f ' tg t) = cos f / cos f '

En prenant pour f ' la latitude de l'équateur (0°) cos f ' = 1 et

tg H = tg H' cos f = - tg t cos f et tg H' = - tg t <==> H' = pi - t ce qui équivaut à un cadran à heures homogènes de 15 en 15°. Ainsi par exemple si t = 120 H' = 60, t = 135 H' = 45, t = 150 H' = 30...

- Coordonnées de P.

Le cas de figure choisi est celui d'un inclinant ouest lignes horaires est (de l'aprés-midi).

AC'' / sin (pi - T) = AC / sin (pi - (pi - T + pi/2 - dg) = AC / - cos (T + dg)

AC'' = PP' = x = AC sin T / - cos (T + dg)

y = P'A = BB'' ; tg h = B'B'' / BB''

AB''B = pi - (pi - T + pi/2 - dg) = T + dg - pi/2

BB'' / sin (pi/2 - dg) = AB / sin (T + dg - pi/2)

BB'' = AB cos dg / - cos (T + dg)

B'B'' = y = AB cos dg tg h / - cos (T + dg)

On retrouve la même formule pour l'hémi-cadran inclinant est lignes ouest.

Tous calculs faits, les formules concernant les inclinants ouest lignes ouest et est lignes est deviennent:

x = AC sin T / - cos (T - dg)

y = AB cos dg tg h / - cos (T - dg)

- Calcul des lignes horaires tabulaires des inclinants.

Pour une position du soleil donnée on constate que la coupe sur l'horizon du vertical passant par l'astre fait un angle avec la ligne méridienne supèrieur à l'angle tabulaire horizontal correspondant. Pour une position donnée le cadran sud lorsqu'il est éclairé a donc toutes ses lignes horaires devant lui.

Il n'en est pas de même pour le cadran nord qui peut être encore éclairé (la ligne d'azimut étant encore devant lui) alors que la ligne tabulaire correspondante est derrière le cadran (puisque l'angle est infèrieur).

La figure 16 montre cela.

fig 16

Nous voyons le soleil sur son cercle de déclinaison (non représenté) à un instant de fin d'aprés-midi. Un vertical Z N contenant le cadran qui a décliné vers le nord-est (ou le sud ouest). Le vertical passant par le soleil est encore devant la partie nord et la ligne azimutale pareillement alors que le cercle horaire correspondant coupe l'horizon selon OH qui se trouve derrière le cadran nord vers le sud.

Lorsque la ligne tabulaire OH est commune à l'horizon et au plan du cadran cela signifie que le cercle horaire coupe le cadran sur l'horizon. La ligne OH étant horizontale la ligne horaire correspondante sur le cadran sud ou nord est elle-même horizontale. Si le soleil est à l'intersection des 3 cercles horaire, vertical du cadran et horizon alors il y a lever ou coucher de soleil dans le plan du cadran.

Dans un accés de poésie, un jour dejà lointain, j'avais appelé la déclinaison correspondante à ce phénomène "déclinaison magnifique du cadran". Le programme informatique la recherchera de même que l'angle horaire du passage du soleil dans le plan du cadran.

La figure 17 montre un système bifilaire avec un angle tabulaire H1 < pi/2 et un angle H2 > pi/2. Calculons-les.

fig 17

x et y nous sont connus par le calcul direct. H est l'angle tabulaire H1 ou H2.

Cas 1 : y < AD <===> H < pi/2

tg H1 = x / (AD - y) = x / (AB tg f - y)

Cas 2 : y > AD <===> H > pi/2

Y = y - AD = y - AB tg f

tg (pi - H2) = x / Y ==> tg H2 = - x / (y - AB tg f)

Cet angle tabulaire H des bifilaires sera appelé HV dans le programme informatique.

Remarque: on peut se servir uniquement de l'une ou de l'autre de ces 2 formules du cas 1 car si y > AD dans le cas 1 ou y < AD dans le cas 2, on aura tg H1 ou tg H2 < 0. On appliquera alors la pèriode de la tangente en rajoutant pi à H1 donné négatif par l'ordinateur.

- Cas particuliers.

On a vu le cas du bifilaire vertical au pôle. Là il n'y a ni inclinant ni déclinant. Voyons pour finir le cas du

bifilaire inclinant à l'équateur.

L'axe du monde est toujours parallèle au sol.

Prenons un INWLE pour cas de figure. On retrouve le même système.

On aura AB'B'' = pi - H et PAP' = pi - H'. Tous calculs faits on retrouve

tg H / tg H' = AB AC ; x = AC sin T / - cos (T + dg)

y = AB cos dg tg h / - cos (T + dg)

tg t H = - tg / cos dg et tg t = sin T / tg h (cas de l'équateur).

Mêmes formules pour les INELW. Pour les INELE et INWLW on a T - dg.

Calcul des heures utiles d'un cadran solaire

PROGRAMME INFORMATIQUE GW BASIC

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