cadran solaire Etude géométrique et trigonométrique des cadrans solaires bifilaires (2è partie). Application informatique sous GW basic.

ETUDE DES CADRANS BIFILAIRES

PAR JEAN PAKHOMOFF GNOMONISTE A MARSEILLE

2è partie

Le bifilaire vertical déclinant.

Soit donc fig 8 un tel cadran. Je me suis servi de la figure 7 aprés avoir déporté la ligne est-ouest pour montrer la déclinaison du cadran.

Les lignes horaires tabulaires concernant le cadran ZAC ne sont pas représentées car inutiles . Seul l'azimut passant par C est nécessaire La déclinaison gnomonique. est égale à dg. Le cas de figure est celui d'un cadran déclinant ouest lignes est (DWLE lignes d'après-midi).

fig 8

coordonnées de P.

AC''C ===> AC'' / sin T = AC / sin (pi -(pi / 2 -dg +T))

= AC / sin (pi / 2 - (T - dg)) et x = P'P = AC'' = AC sin T / cos (T - dg)

AB''B ===> BB'' / sin (pi / 2 - dg) = AB / sin (pi - (pi / 2 -dg + T)

et BB'' = AB cos dg / cos (T - dg)

y = AP' = B'B'' = BB'' tg h et

y = AB cos dg tg h / cos (T - dg)

Les autres cas se résolvent pareillement et on obtient les mêmes formules pour les DELW (lignes du matin).

En ce qui concerne les DELE et DWLW, tous dessins et calculs faits, on obtient pour x et y les valeurs

x = AC sin T / cos (T + dg)

et y = AB cos dg tg h / cos (T + dg)

La valeur de l'angle tabulaire est donnée par:

tg H' = P'P / P'D = x / (y + AD) = x / (y + AB tg f)

Lorsque le grand cercle horaire coupe l'horizon, nous avons vu que sa trace fait avec le méridien un angle AH donné par la relation tg AH = sin f tg t

Ce grand cercle coupe aussi le premier vertical (ou notre cadran plein sud) selon un angle H avec le plan méridien donné par la relation tg H = cos f tgt ou tg H = - cos f tg t lorsque le cadran est orienté au nord.

Lorsque le mur décline l'angle de coupe va varier et on a alors H' au lieu de H dont on peut montrer ici la relation bien que cela soit inutile puisqu'on a H' par le calcul direct comme vu ci-dessus. Mais cela peut servir comme nous le verrons ci-dessous dans certains cas particuliers.

Examinons la figure 9.

fig 9

La ligne tabulaire AH correspond à H sur le vertical, à H' si dg rapproche le plan du cadran de l'axe méridien ou H'' si dg l'éloigne.

On a tg H = AP / AD ; tg H' = AQ / AD et tg H' / tg H = AQ / AP

AO = AP / tg AH

AOQ ===> AQ / sin AH = AO / sin (pi - (pi /2 - dg + AH)) <===>

AQ / sin AH = AO / sin (pi / 2 - (AH - dg)) = AO / cos (AH - dg)

AQ / AO = sin AH / cos (AH - dg) = AQ tg AH / AP = tg H' tg AH / tg H

tg H' = sin AH tg H / (cos (AH - dg) tg AH))

tg H' = cos AH tg H / cos (AH - dg)

Dans le cas des déclinants tg H = cos f tg t d'où

tg H' = cos f tg t cos AH / cos (AH - dg) (1)

Si le mur décline en sens inverse (éloignement de l'axe méridien) on a, tous calculs faits,

tg H' = cos f tg t cos AH / cos (AH +dg) (2)

A l'équateur la formule se réduit à tg H' = tg t / cos dg car f et AH sont nuls et si dg l'est aussi on obtient des lignes horaires de 15 en 15° (tg H' = tg t).

Remarque:

Lorsque le mur décline les heures sur le cadran ne sont plus homogènes.

On voit cela en appliquent la relation (1) par exemple. Ainsi pour f = 43°, t = 15° et dg = 30° on a H'=11.49°

et pour t = 30° H' = 21.4° < 2*11.49.

On n'est alors pas tenu de prendre AC et AB = AC cos f pour l'espacement entre les deux fils. Des valeurs quelconques sont possibles.

Il est également possible d'inverser la position des fils: à savoir prendre le fil vertical plus proche du plan du cadran que le fil horizontal. Les calculs sont identiques et nous ne donnerons que les résultats:

Cas de figure:

Déclinant Ouest Lignes Est ou DWLE: heures d'après-midi (équivalent au Déclinant Est lignes Ouest DELW: heures du matin)

x = AB sin T / cos (T-dg)

y = AC cos dg tg h / cos (T-dg)

tg H' = P'P / P'Z = x / (y + AZ) = x / (y + AC tg f)

On déduit par extrapolation les valeurs pour les heures du matin du DWLW ou du soir pour le DELE:

x = AB sin T / cos (T+dg)

y = AC cos dg tg h / cos (T+dg)

tg H' = P'P / P'D = x / (y + AZ) = x / (y + AC tg f)

La distance des fils au mur reste la même: AB cos dg et AC cos dg

Il faut se rappeler qu'ici par B passe le fil vertical et par C le fil horizontal

(AB<AC).

Sur les photos ci-dessous on peut voir la maquette d'un tel bifilaire où le fil vertical est plus proche du mur

que le fil horizontal. Il est midi moyen ce 6 11 2024 et l'ombre du croisement des fils passe

exactement sur l'équation du temps de valeur 16' 20''.

On pourra éventuellement appliquer les modifications nécessaires dans le cas des bifilaires inclinant que nous verrons plus loin.

Cas particuliers

a) Le bifilaire vertical au pôle.

Il n'y a pas d'angle horaire au pôle car les points cardinaux n'existent pas. En effet l'axe du monde passe par le zénith et les cercles horaires sont autant de verticaux tous perpendiculaires à l'horizon. Tout est est et tout est ouest. Pour les déclinaisons solaires positives le soleil tourne en rond au-dessus de l'horizon.

Rien ne nous empêche cependant de planter un axe perpendiculaire au sol tel que l'axe du monde et un autre perpendiculaire à lui-même et comportant un système bifilaire. Voyons la figure 12.

En prenant AB et AC quelconques on peut écrire

AC'' / sin t = AC / sin (pi/2 - t) = AC / cos t

AC'' = x = AC tg t

y = AP' = C''P = B'B'' = BB'' tg h ; AB = BB'' cos t et y = AB tg h / cos t

Les lignes d'heures sont perpendiculaires au sol à x de A.

b) le bifilaire vertical déclinant à l'équateur.

Ici f = 0, AH = 0 et l'axe du monde est horizontal. Les pôles étant sur l'horizon les cercles horaires coupent tous ce dernier à son intersection avec le plan méridien. L'angle AH s'annule donc. En considérant sur la figure 11 les triangles déjà utilisés on peut retrouver les relations entre les angles H dépendant de B' et H' dépendant de P. On pourra faire ressortir une relation entre t, T et h.