Etude des heures utiles
d'un cadran solaire
et
généralisation à un astre de
déclinaison quelconque
2 è partie
par Jean Pakhomoff
Deuxième prix international de gnomonique
b) - Calcul de l'heure de passage du soleil dans le plan du cadran.
Nous avons vu plus haut que lorsque le cadran n'avait pas de déclinaison magnifique l'une de ses moitiés portait tous ses levers
ou couchers et l'autre aucun. Dans ce dernier cas le maximum d'éclairement est obtenu le jour de l'hiver.
J'ai trouvé 2 solutions pour déterminer cet angle t. La première que l'on pourrait appeler "méthode par la tangente de l'azimut"
consiste à prendre pour valeur de l'azimut le plan du cadran en tenant compte de sa déclinaison gnomonique.
Ceci nous amène à la résolution d'une équation du second degré dont nous devrons comparer les racines et retenir celle qui s'adapte le mieux au cas présenté.
La seconde beaucoup plus séduisante et que j'ai découverte tout récemment, en rédigeant cet exposé,
fait appel à la trigonométrie sphérique. Nous l'exposerons car nous lui trouvons un certain intérêt pédagogique.
b1) Méthode de la tangente.
La relation donnant l'azimut A connaissant l'angle horaire t, la déclinaison d, et la latitude f s'écrit :
tg T = sin t / (cos t sin f - tg d cos f) . Nous sommes à la recherche de t.
T est connu (égal à p / 2 + ou - dg)
tg T cos t sin f - tg T tg d cos f = sin t
En posant sin f tg T = P et tg T tg d cos f = Q on a P cos t - Q = sin t
ou P cos t - sin t - Q = 0
En prenant les formules de l'arc moitié après avoir posé tg t/2 = m on a
cos t = (1 - m²) / (1 + m²) et sin t = 2 m / (1 + m²). On peut alors écrire
P (1 - m²) / (1 + m²) - 2 m / (1 + m²) - Q = 0 ===>
- m² (P + Q) - 2 m + (P - Q) = 0 Le second terme étant pair on peut prendre les formules simplifiées des racines :
m = (1 + ou - sqr(1+ P² - Q²)) / - (P + Q)
En prenant l'arc tangente de chaque valeur de m on obtient 2 valeurs pour t/2. En donnant à t sa valeur dans la formule de l'azimut on
retient la valeur qui donne l'orientation du cadran. La signification de ces racines est explicitée dans ce qui suit.
b2) Méthode par trigonométrie sphérique.
On considère un astre M de déclinaison quelconque.
A- Formule générale.
On étudie le cas des heures du matin (anté-méridiennes) puis on montrera comment passer aux heures d'après-midi (post-méridiennes).
1) Cas du déclinant Ouest.
La figure 7 montre un vertical VZV' qui a pivoté vers l'Ouest d'un angle dg. C'est par exemple le cas d'un cadran solaire déclinant à l'Ouest
dont la déclinaison gnomonique est égale à dg. L'axe pôlaire OZ' est perpendiculaire à V V' sur le plan de l'horizon et a décrit celui-ci
d'un angle égal à dg vers l'Est..
L'astre est en M sur son arc diurne au point d'intersection de celui-ci avec le vertical.
fig 7
Z'M est donc égal à p/2 (arc mené depuis un grand cercle sur son pôle). Dans le triangle PNZ' rectangle en N et formé par l'horizon,
le méridien et le cercle horaire passant par Z' on a PN = f et NZ' = dg. On peut écrire
tg dg / tg NPZ' = sin f d'où NPZ' (que nous appellerons P): tg P = tg dg / sin f. P croît comme dg de 0 à p/2
De même cos PZ' = cos f cos dg + sin f sin dd cos p/2 et
cos PZ' = cos f cos dg d'où PZ'. Si dg = O, PZ' = f . Si dg = p/2, PZ' = p/2.
Dans le triangle Z'PM on a PM = p/2 - d et Z'M = p/2 . On peut écrire
cos Z'M = 0 = cos PZ' cos (p/2 - d) + sin PZ' sin (p/2 - d) cos Z'PM
et cos Z'PM = - (cos PZ' sin d) / (sin PZ' cos d) = - tg d / tg PZ' d'où, connaissant PZ' on peut avoir la valeur de t = p - (P + Z'PM)
2) Cas du déclinant Est.
La figure 8 montre un vertical VZV' qui a pivoté vers l' Est d'un angle dg. Le soleil est en M sur son arc diurne au point d'intersection
de celui-ci avec le vertical.
fig 8
Le pôle de ce vertical a décrit l'horizon de dg et se trouve en Z' à l'Est. Z'M est donc égal à p/2 (arc mené depuis un grand cercle sur son pôle).
Dans le triangle PNZ' rectangle en N et formé par l'horizon, le méridien et le cercle horaire passant par Z' on a PN = f et NZ' = p - dg. On peut écrire
tg (p - dg ) / tg NPZ' = sin f d'où NPZ' (que nous appellerons P).
- tg dg / tg P = sin f ==> tg P = - tg dg / sin f
Ici lorsque dg croît de 0 à p/2, P décroît de p à p/2.
Le triangle Z'PS permet d'écrire cos PZ' = cos f cos (p - dg) + sin f sin (p - dg) cos p/2 d'où
cos PZ' = - cos f cos dg
Pareillement PZ' varie de p-f à p/2 quand dg varie de 0 à p/2.
Le triangle Z'MP permet d'écrire cos Z'M = 0
= cos PZ' cos (p/2 - d) + sin PZ' sin (p/2 - d) cos Z'PM
(Z'M = p/2, Z' étant le pôle du grand cercle vertical VZV')
D'où cos Z'PM = - cos PZ' sin d / (sin PZ' cos d) = - tg d / tg PZ' .
On remarquera que quel que soit le cas, Z'PM = p/2 lorsque d = 0. En effet l'astre décrit l'équateur et tg d = 0.
On pourra en déduire que lorsque un grand cercle de la sphère décrit un autre grand cercle, l'arc qui joint leurs pôles avec l'arc
allant de l'un des pôles à l'intersection des 2 cercles dans la même moitié de sphère fait un angle droit.
Puis t = Z'PM + p - P
B - condition d'application de ces formules : Etude de la variation de Z'PM.
Lorsque Z'PM est infèrieur à p/2 son cosinus est >0 et son arc cosinus rendu par la formule de l'arc tangente ne demande aucune rectification.
Rappel :
si x<p/2 et si cos x = y alors x = atn (sqr(1-y²)/y)
si p/2<x<p et si cos x = y alors x = p + atn (sqr(1-y²)/y)
si p<x<3p/2 et si cos x = y alors x = p - atn (sqr(1-y²)/y) : ici atn (sqr(1-y²)/y) est <0
si 3p/2<x<2p et si cos x = y alors x = 2p - atn (sqr(1-y²)/y)
Dans la programmation gwbasic on est obligé de passer par les arcs tangentes pour retrouver les arcs à partir des sinus et cosinus.
Donc si Z'PM est compris entre p/2 et p il faudra rajouter p au résultat fourni par l'ordinateur.
Nous verrons plus loin que Z'PM ne dépasse pas p.
Comme le montre simplement la figure 9 la déclinaison de l'astre passant par le zénith est égale à f et celle de l'arc diurne qui tangentant
l'horizon fait un cercle complet de 360° sur celui-ci est égale à p/2 - f.
fig 9
Pour les déclinaisons < f l'arc diurne passera sur l'hémi-cadran Est puis par le méridien et enfin recoupera le vertical sur sa portion Ouest.
L'arc diurne de déclinaison égale à f coupera le cadran sur le zénith à l'intersection de son vertical et du méridien.
C'est la valeur de la racine double donnée par la méthode de la tangente.
Si l'on s'élève en déclinaison (> f: c'est par exemple le cas particulier des zones intertropicales pour ce qui concerne le soleil)
l'arc diurne va être coupé par le vertical en 2 parties du même hémi-cadran. En quelque sorte le "lever" et le "coucher" sur le cadran
se fait à l'Est pour les déclinants Est et à l'Ouest pour les déclinants Ouest.
Selon la déclinaison gnomonique, le vertical va ainsi tangenter un arc diurne particulier de déclinaison > f.
Le cercle horaire passant par ce point est donc perpendiculaire à son arc diurne en ce point commun avec le vertical considéré.
On pourrait se demander à juste raison si ce cercle horaire est bien perpendiculaire à cet arc diurne car on a démontré dans le travail
sur les couchers de soleil sur l'horizon (en partant du cas particulier Marseille - Canigou) que l'arc diurne parallèle à l'équateur ne faisait
plus avec l'horizon un angle égal au complément de la latitude comme le fait l'équateur mais un angle p donné par la relation :
p = arc cos (sin f / cos d).
L'axe pôlaire étant perpendiculaire au grand cercle de l'équateur on peut considérer que par rapport au cercle horaire d'angle horaire t
l'équivalent de f ramené au cercle diurne de déclinaison d est égal à 0 et p = p/2
La figure 10 montre le vertical VZV' de déclinaison gnomonique Est égale à dg tangentant le cercle diurne de centre O' et de déclinaison d (d > f) en M.
fig 10
Lorsque le vertical VZV' est tangent au cercle de déclinaison O' il est perpendiculaire au cercle horaire PM passant par M comme nous l'avons vu ci-dessus.
S'il ne l'est pas alors VZV' a un autre point de contact avec O' ce qui ne peut être le cas puisque VZV' est tangent par définition.
Donc dans ce cas Z'M et PM tombant tous 2 à angle droit sur M sont confondus. Z'PM est un angle nul et son cosinus est égal à 1.
cos Z'PM = 1 = - tg d / tg PZ' d'où d = p - PZ' avec cos PZ' = - cos f cos dg
On appele cette déclinaison de contact avec le cadran "déclinaison de contact = dc".
Par simple symétrie, la déclinaison de non contact sous l'horizon sera - dc. Ensuite :
t = p - P avec tg P = - tg dg / sin f (On est dans le cas du déclinant Est.
Pour les déclinants Ouest il n'y a pas de déclinaison contact au-dessus de l'horizon pour la partie Est les cercles diurnes ayant obligatoirement
passés le zénith vers le Sud). Lorsque dg = p/2 la valeur absolue de P est égale à p et t = p/2
Remarquons que Z'M étant égal à p/2 et que MC étant égal à d (C étant l'intersection du cercle horaire passant par M avec l'équateur) l'arc CZ' = PM = p/2 - d
Lorsqu' il y a 2 intersections la valeur de Z'PM est donnée par la même formule. Donc on peut déduire que Z'PM et - Z'PM répondent à la même valeur de cosinus.
Lorsque la déclinaison gnomonique est maximum le cercle horaire coupé par le vertical est celui de 12 heures (p).
Donc les 2 angles t correspondants à Z'PM et - Z'PM ne peuvent être supèrieurs à p. Etant égaux en valeur absolue leur maximum ne peut dépasser p/2.
Donc la valeur de cos Z'PM sera > 0 et il n'y aura pas de correction a apporter au calcul de cos Z'PM par la formule de l'arc tangente.
Le premier angle nous sera donc fourni par la formule des déclinants Est : t = Z'PM + p - P
Le deuxième angle correspondant à - Z'PM équivaudra à compter Z'PM en sens inverse par rapport à PM
(de part et d'autre du point de tangence) c'est-à-dire à compter t comme égal à
t = p - P -Z'PM
Voilà les 2 moments de coupe d'un vertical orienté à l'Est dans sa partie anté-méridienne avec un arc diurne de déclinaison supèrieure à la latitude.
Conservons pour l'instant l'orientation Sud-Est de la figure 8.
A partir de la déclinaison contact on va descendre les déclinaisons et les cercles diurnes vont couper le vertical le matin à l'Est et l'aprés-midi à l'Ouest.
Les déclinaisons vont se descendre de dc à - dc.
Lorsque d = 0 l'astre décrit l'équateur et Z'PM = p/2 comme nous l'avons vu.
Ensuite Z'PM devient > p/2 et le cosinus va être < 0 d'où correction à apporter à la valeur de Z'PM rendue par la formule de l'arc tangente.
Z'PM ne peut dépasser pi. En effet la valeur de t étant t = Z'PM +p- P et t < ou = à p ==>
Z'PM + p - P < ou = à p <==>Z'MP < ou = à P qui est < ou = à p quand la déclinaison gnomonique est égale à p / 2.
Donc il n'y a que cette correction à prévoir quand le cosinus est < 0.
Au dessous de - dc les cercles diurnes n'ont plus de contact avec le vertical.
Pour les verticaux déclinants Ouest, heures du matin, le problème se simplifie car seuls les cercles diurnes de déclinaisons infèrieures à f
ont contact avec le cadran. On appliquera alors la formule qui leur est propre et que nous avons démontrée plus haut.
La déclinaison magnifique sera celle d'un cercle diurne particulier qui passera par l'intersection du vertical avec l'horizon.
Application aux heures d'aprés-midi.
Nous pouvons penser sans démonstration que les raisonnements appliqués aux déclinants Est heures du matin donnent les mêmes
résultats pour les déclinants Ouest lignes d'aprés-midi. Ce par le fait de la symétrie existant sur la sphère céleste.
Ainsi les angles des déclinants Est du matin seront ceux des déclinants Ouest de l'aprés-midi et ceux des déclinants Ouest du matin seront
ceux des déclinants Est de l'aprés-midi.
Il faudra bien sûr adapter ces formules pour l'hémisphère Sud.
C - Considération sur les racines obtenues par la méthode des tangentes.
Je n'ai pas vérifié ce fait mais je pense qu'on peut s'attendre à trouver le résultat suivant :
Le même azimut correspondant à 2 angles horaires différents lorsque d < f on a une heure pour le matin et une pour le soir.
Lorsque d = f on a une racine double qui donne une seule valeur pour l'heure du point de tangence.
Lorsque d > f on a 2 angles horaires ou du matin ou de l'aprés-midi.
L'angle horaire trouvé fournit des informations sur l'ascension droite de l'astre franchissant le plan du cadran ou si celle-ci est connue,
sur la valeur du temps sidéral lors de ce passage.
En tenant compte comme exposé par ailleurs que les angles horaires sont comptés de 0 à p du méridien à l'anté-méridien en Est comme en Ouest.
Pour retrouver l'ascension droite d'une étoile ou le temps sidéral il faudra donc prendre la valeur 2 p - t pour les heures anté-méridiennes.
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