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THEORIE ET PRATIQUE DES CADRANS ANALEMMATIQUES

CIRCULAIRES DE FOSTER ET LAMBERT

jean pakhomoff

deuxième prix international de gnomonique

En 1640 Vaulezard donne une méthode de construction du cadran analemmatique, projection de l’équateur céleste sur l’horizon.

50 ans plus tard, Samuel Foster remarque qu’une même ellipse correspond à la projection de 2 cercles et donc qu’un même cercle projeté sur 2 plans perpendiculaires entre eux puis sur leur symétrique par rapport à chacun de ces plans donne naissance à 2 ellipses différentes et à 2 cercles identiques à ce cercle origine.

C’est là je pense la première idée du cadran de J. Henri Lambert.

Lambert construisit ce cadran en 1777 année même de sa mort.

Soit donc fig.1 un plan horizontal x e y et un plan x e v faisant un angle E avec x e y. Donnons nous un plan x e u symétrique de x e v par rapport à x e y en prenant E = E’.

FIGURE 1

Le plan x e v sera de même symétrique du plan x e w (prolongement du plan x e u) par rapport au plan x e z car p/2-E’ = p/2-E. Le cercle O de rayon R de x e v projeté sur x e y donne l’ellipse de centre O’,

de grand axe 2R et de petit axe 2R cos E.

Les projetantes redonnent sur le plan x e u le cercle O’’ égal au cercle de centre O (la projection du cercle de centre O’’ est en effet l’ellipse de centre O’).

La projection du cercle de centre O de x e v sur le vertical x e z donne l’ellipse de centre Q de grand axe 2R et de petit axe 2R cos ( p/2-E); les projetantes redonnent le cercle de centre Q’ égal au cercle de centre O sur le plan symétrique x e w.

Les plan x e z et x e y étant bissecteurs de plans faisant entre eux 2 angles supplémentaires sont donc perpendiculaires.

Là est le principe du cadran de Foster et Lambert analemmatique circulaire nord et sud.

Nous nous servirons ci-dessous de la démonstration de Terpstra (1951) pour ce qui concerne l’analemmatique elliptique de Vaulezard (1644). Soit donc fig.2a une sphère céleste de centre O, son équateur céleste COD, son axe des pôles POP’, le soleil le jour des équinoxes dans l’équateur donc, à un instant t matèrialisé par l’intersection de 3 grands cercles de cette sphère:

FIGURE 2a

le cercle horaire PSP’d’angle horaire t, le cercle vertical ZSZ’ d’angle azimutal T et le grand cercle de l’équateur CSD de diamètre COD. Le rayon solaire passant par l’intersection du cercle horaire et du vertical est contenu entièrement dans l’équateur et vient indiquer l’heure correspondant à l’instant t sur la grande horloge équatoriale où 15° = 1 heure. Observons maintenant la figure 2b où le soleil se trouve au même instant à une époque différente des équinoxes.

FIGURE 2b

Dans ce cas de figure on se situe dans l’hémisphère nord lorsque la déclinaison est>0.

Le rayon solaire SO, intersection du cercle horaire et du vertical passant par l’astre n’est plus contenu dans l’équateur mais perce la sphère céleste en S’. Pour que ce rayon indique l’heure sur la grande horloge équatoriale il convient de le déplacer parallèlement à lui-même dans le plan de son cercle horaire: en le remontant l’été et le descendant l’hiver.

Lorsque ce rayon coupe l’équateur en F il indique l’heure t et coupe alors l’axe des pôles en E. C’est là l’idée de Terpstra. OS et FE sont parallèles et toutes deux contenues dans le plan du cercle horaire t. Elles font donc avec le diamètre OF le même angle égal à la déclinaison .

La figure 3 montre une sphère céleste avec un horizon de latitude F , l’axe des pôles perpendiculaire à l’équateur et cet équateur faisant avec cet horizon un angle égal à p/2- F . Choisissons un horizon de latitude Fn bissecteur du dièdre DOD’’ et un horizon de latitude Fs bissecteur du dièdre C’’OD. Ces 2 horizons comme vu lors de l’étude de la figure 1 sont perpendiculaires entre eux.

On voit immédiatement que Fs= e’OP’= DOD’ = (p/2-F ) / 2 comme angles à côtés perpendiculaires.

De même Fn= F +C’’OC’= F + ( p/2-F ) / 2= ( p/2+F ) / 2

 

FIGURE 3

L’équateur projeté sur l’horizon Fn donne l’ellipse C’D’, de même que l’horizon F projeté sur Fn.

Pour mieux apprécier cela déplaçons CD et C’’D’’ parallèlement à eux-mêmes de façon que C et C’’ viennent en e (fig.4). Puis, pour mieux distinguer les différentes parties des éléments, faisons glisser CD sur eD d’une longueur e C et C’’D’’ sur eD’’ d’une longueur eC’’ de façon à ce que eC soit égal à eC’’.

On retrouve l’équateur COD de la figure 2b avec le rayon solaire coupant l’axe du monde en E et l’équateur en F.

Le rayon de la sphère céleste étant R on a EO=R tg d.

Le jour de l’été d est maximum et égal pendant encore de nombreuses années à 23.44°. E est alors en A. De même le jour de l’hiver d est à son minimum égal à -23.44° et E est en B.

On a KF = R sin t et OK = R cos t.

Projetons maintenant l’équateur sur l’horizon Fn. On obtient un analemmatique classique de Vaulezard de centre O’, de grand axe 2R et de petit axe 2R cos(p/2-Fn) = 2R sin Fn = C’D’.

O’K’ = OK cos (p/2-Fn) = OK sin Fn = R cos t sin Fn.

K’F’ = KF et tg w = K’F’ / O'K' = R sin t / R cos t sin Fn = tg t / sin Fn

FIGURE 4

C’est cet angle w qui désignera l’heure t sur l’ellipse.

O’E’ = OE cos Fn = R tg d cos Fn. C’est là la valeur de l’échelle des dates (ou des déclinaisons).

Sur l’horizon F qui nous intéresse en tout premier plan puisque c’est l’horizon sur lequel sera construit notre cadran on aura F’’K’’ = F’K’=FK comme distances constantes entre la projetante FF’F’’ et le plan méridien eDD’D’’).

De O’K’ = O’’K’’ cos (p/2-Fn) = O’’K’’ sin Fn on tire O’’K’’ = O’K’ / sin Fn = R cos t.

FK = F’’K’’ = R sin t et tg w’ = F’’K’’ / O’’K’’ = R sin t / R cos t = tg t. D’où w’ = t.

O’E’ = O’’E’’ cos (p/2-Fn) car DeD’ = p/2-Fn et par hypothèse D’eD’’ = DeD’.

Donc O’E’ = O’’E’’ sin Fn.

O’’E’’ = O’E’ / sin Fn = OE cos Fn / sin Fn = R tg d / tg Fn

et O’’E’’ = R tg d / tg ((p/2 +F) / 2 )

C’est là la valeur de notre échelle de dates ou de déclinaisons sur notre analemmatique circulaire nord que nous appellerons Rn.

La verticale passant par E’ fait alors avec l’horizon F un angle E’E’’e égal à p/2-(p/2-Fn) = Fn. C’est la valeur de l’angle d’inclinaison de notre gnomon orienté vers le nord. On a ainsi les éléments pour construire un cadran analemmatique nord de Foster et Lambert.

SUITE (Lambert Foster Sud)

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