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domification de régiomontanus

établissement du thème astral

Levers et couchers héliaques des étoiles

par Jean Pakhomoff

Tout observateur de la voûte céleste est amené à se poser , parmi bien d’autres, ces deux intéressantes questions:

a) quelles sont les ascensions droites et déclinaisons des étoiles se levant ou se couchant à l’horizon en même temps qu’un point d’écliptique arbitrairement choisi ?

b) inversement, connaissant l’alfa et le delta d’un corps céleste se levant ou se couchant à l’horizon, quelle est la longitude de l’écliptique se levant ou se couchant sur cet horizon ?

ces deux questions amènent à rechercher la grandeur de l’arc d’écliptique compris entre le grand cercle de l’horizon et le grand cercle méridien c’est-à-dire à calculer ce que les astrologues appellent l’ascendant et le descendant d’un thème astral.

Nous allons étudier cela ci-dessous puis nous répondrons aux deux questions-ci-dessus et enfin nous prolongerons par l’étude d’une domification de la sphère céléste dite domification de régiomontanus.

Nous serons alors à même de dresser un thème astral.

A) Détermination de l’ascendant (longitude écliptique au lever).

Nous envisagerons le cas de l’hémisphère nord et nous verrons ensuite comment procéder pour avoir ces valeurs dans l’hémisphère sud.

Mettons gamma au point Est et faisons le tourner de 2 pi. Lorsque g est au point Est il est 18 heures sidérales. g au méridien <=> 0 h sidérale, g au point ouest <=> 6 h sidérale et g à l’anté-méridien <=> 12 h sidérale.

Lorsque l’écliptique tourne depuis le point Est, son lever coupe l’horizon au nord de l’équateur céleste et ce jusqu’à ce que g atteigne le point ouest à 6 h sidérale. Ensuite g passe sous l’horizon et de 6 h à 18 h sidérales le lever de l’écliptique se fait au sud de l’équateur céleste.

Envisageons successivement les 4 cas mais auparavant rappelons les formules de transformation des arcs sinus et arcs cosinus en arcs tangentes car nous aurons à nous en servir dans la suite de cet exposé.

En effet l’ordinateur donne les résultats en arc tangente donc il faut en tenir compte dans les résultats fournis.

a) transformation de l’arc cosinus en arc tangente

si x<pi/2 et si cos x = y alors x = atn (sqr(1-y²)/y)

si pi/2<x<pi et si cos x = y alors x = pi + atn (sqr(1-y²)/y)

si pi<x<3pi/2 et si cos x = y alors x = pi - atn (sqr(1-y²)/y) ici atn (sqr(1-y²)/y) est <0

si 3pi/2<x<2pi et si cos x = y alors x = 2pi - atn (sqr(1-y²)/y)

b) transformation de l’arc sinus en arc tangente

si x<pi/2 et si sin x = y alors x = atn(y/sqr(1-y²))

si pi/2<x<pi et si sin x = y alors x = pi - atn(y/sqr(1-y²))

si pi<x<3pi/2 et si sin x = y alors x = pi - atn(y/sqr(1-y²)) ici atn(y/sqr(1-y²)) est <0

si 3pi/2<x<2pi et si sin x = y alors x = 2pi + atn(y/sqr(1-y²))

ceci se démontre avec facilité à partir du cercle trigonométrique.

1) entre 18h et 0 h sidérales (figure 1). soit L le lever de l’écliptique, N le nord, S le sud, Z le zénith.

Descendons un vertical depuis Z sur g. Soit B l’angle ZgEq dans le triangle sphérique ZgEq.

on a sin B / sin f = sin 90 / sin Zg d’où sin B = sin f / sin Zg (1)

Zg est la hauteur zénithale de g, donnée par la formule de la hauteur lorsque d = 0 (cas de g) :

cos Zg = cos f cos t (2) t étant l’angle horaire de g ici 270 < g < 360

fig 1

Dans la suite de cet exposé nous appellerons Zg : Z

Lorsque t = 3 pi/2 Z = pi/2 et B = f

si t = 2 pi = 0 Z = f , sin B = 1 et B = pi/2

donc B croît de f à pi/2 quand t croît de 3 pi/2 à 2 pi

Faisons passer un vertical par L point commun à l’horizon et à l’écliptique.

Le triangle ZLg permet d’écrire sin (pi-B-ep) / sin (pi/2) = sin (B+ep) / 1 = sin L / sin Z

d’où sin L = sin Z sin (B+ep) (3)

de même cos Z = cos Lg cos pi/2 + sin Lg sin pi/2 cos L d’où sin Lg = cos Z / cos L (4)

Dans l’hémisphère nord, à un certain moment, l’arc Lg va dépasser 90° . Le lever se faisant au nord, lorsque g approche du méridien l’arc Lg est nécessairement plus grand que l’arc d’équateur céleste correpondant.

(3) ne rend pas directement la valeur de Lg quand Lg>pi/2. En effet sin Lg a même valeur que

Lg soit>ou< pi/2.

Lorsque Lg = pi/2 on a cos Z = cos L et L = Z.

On peut alors écrire (3) sin L = sin L sin (B+ep) d’où sin (B+ep) = 1 et B+ep = pi/2

Comme nous l’avons vu, dans le cas de figure où 270<t<360 B croît de f à pi/2. On en déduit que si

B+ep<pi/2, Lg<pi/2 et si B+ep>pi/2 alors Lg>pi/2.

Dans le programme informatique gwbasic on précisera donc : si B+ep<pi/2 alors Lg=Lg

si B+ep>pi/2 alors lg=pi-Lg

2) Entre 0 heure et 6 heures sidérales. (figure 2)

fig 2

d’aprés (2) à 0 h t = 0 ==> Z = f ; à 6 h t = pi/2 ==> Z = pi/2

d’aprés (1) si Z = f ==> B = pi/2 ; si Z = pi/2 ==> B = f ; B décroît donc de pi/2 à f quand t croît de 0 à pi/2

Zlg permet d’écrire sin (B-ep)/sin pi/2 = sin L/sin Z ===> sin L = sin Z sin (B-ep)

On a de même cos Z = cos Lg cos pi/2 + sin Lg sin pi/2 cos l et on retrouve (4) sinLg = cosZ / cos L

Ici Lg sera toujours >pi/2 et au maximum égal à pi à 6 h sidérales.

Donc on posera dans le programme Lg = pi - Lg (l’ordinateur donnant la valeur de l’angle le plus petit).

(par exemple sin 120 <=> arcsinus 120 = 60 d’où 120 = 180 - 60)

3) Entre 6 h et 12 h sidérales. (figure 3) Ici g passe sous l’horizon.

fig 3

Pour t = 6 h cos t = 0 et Z = pi/2 ; pour t = pi (12 h sidérales) cos t = -1 et cos Z = - cos f = cos (pi - f)

donc quand t croît de 6 à 12 h , Z croît de pi/2 à pi - f.

d’aprés (1) pour t = pi/2 , Z = pi/2 et B = f

pour t = pi , Z = pi - f et sin B = 1 d’où B = pi/2 : lorsque t croît de pi/2 à pi, B croît de f à pi/2.

sin (B-ep) / sin pi/2 = sin L / sin Z ==> sin L = sin Z sin (B-ep) on retrouve de même (4)

Ici lorsque t = pi Lg est < 3pi/2 . En effet le lever de l’écliptique se fait au sud de l’équateur terrestre et l’arc d’écliptique entre l’horizon est et le méridien est nécessairement infèrieur à l’arc d’équateur céleste correpondant égal à pi/2. donc pi+arc<pi/2 <=> arc < 3pi/2.

Lg sera donc compris entre pi et 3pi/2. L’ordinateur donnera l’arc -Lg correspondant : on posera alors dans le programme Lg = pi - Lg (puisque Lg a une valeur négative. Exemple: sin 240 <=> arc sinus 240 = - 60

et 240 = 180 -(-60) )

4) Entre 12 et 18 h sidérales. (figure 4).

fig 4

(2) montre qu’à 18 h Z = pi/2. A 12 h Z = pi-f. Donc lorsque t croît de pi à 3pi/2 Z décroît de pi-f à pi/2.

(1) montre que pour t = 3pi/2 , Z étant égal à pi/2 => B = f. Si t = pi Z = pi-f et sin B = 1 <=> B = pi/2.

Donc quand t croît de pi à 3pi/2, B décroît de pi/2 à f.

On a de même sin (B+ep) / sin pi/2 = sin (pi-L) / sin Z d’où sin L = sin Z sin (B+ep) (3’)

A un certain moment, entre 12 et 18 h sidérales, Lg va dépasser la valeur 3pi/2.

si Lg < 3pi/2 on a vu qu’il fallait prendre Lg = pi - Lg (ici Lg est <0).

si Lg > 3pi/2 l’ordinateur donne la valeur angulaire minimale (par exemple sin 300° et arc sin 300° = -60°)

donc il nous faudra écrire dans le programme : Lg = 2pi+Lg (puisque Lg est <0)

Lorsque Lg = 3pi/2 on a sin Lg = cos Z / cos L = -1 d’où Z = pi-L et (3’) permet d’écrire:

sin L = sin (pi-L) sin (B+ep) ==> sin (B+ep) = 1 et B+ep = pi/2

On a vu que dans ce cas B décroît de pi/2 à f. On en déduit que si B+ep > pi/2 alors Lg < 3pi/2 et on emploiera alors Lg = pi-Lg.

si B+ep < pi/2 alors Lg > 3pi/2 et on emploiera Lg = 2pi+Lg.

Arrivé à ce stade de notre étude nous avons donc le moyen, à partir d’un temps sidéral donné, de connaître la longitude de l’écliptique à son lever et en ajoutant ou retranchant pi la valeur du descendant.

En soustrayant pi/2 à la valeur de l’ascendant on obtient le nonagésime : milieu de l’arc d’écliptique au-dessus de l’horizon qui , sauf à 18h et 6h sidérales est toujours à l’est ou à l’ouest du méridien (qui lui donne le milieu du ciel).

Avant de terminer avec la détermination de l’ascendant étudions les 4 cas particuliers que sont :

a) cas de 18 h sidérales: (figure 5)

fig 5

Gamma est au point est. la longitude du lever de l’écliptique est donc 0. C’est le lever du signe (et non de la constellation) du bélier et le coucher de la balance. Le capricorne (270°) est le nonagésime au milieu du ciel. Le cancer (90°) représente le fond du ciel.

b) cas de 0 h sidérale: (figure 6)

fig 6

Gamma est au méridien. ZLg permet d’écrire sin L / sin f = sin (pi/2-ep) / sin (pi/2) ==> sin L = sin f cos ep

cos f = cos pi/2 cos Lg + sin pi/2 sin Lg cos l et sin Lg = cos f / cos L

ici on l’a vu Lg > pi/2 : on prendra donc Lg = pi-Lg

c) cas de 6 h sidérales: (figure 7)

fig 7

Gamma’ est au point est. La balance (180°) se lève et le bélier se couche. Le cancer est le nonagésime au milieu du ciel et le capricorne est le fond du ciel.

d) cas de 12 h sidérales: (figure 8)

fig 8

Gamma est à l’anté-méridien et gamma’ passe au milieu du ciel

on a Zg = pi/2+pi/2-f = pi-f. ZLg ==> sin L / sin (pi-f) = sin(pi/2-ep) / sin pi/2 et sin L = sin f cos ep

de même cos (pi-f) = cos pi/2 cos Lg + sin pi/2 sin Lg cos L et sin Lg = - cos f / cos L

Ici on a vu que Lg est compris entre pi et 3pi/2. On prendra alors Lg = pi - Lg

(car Lg est donné <0 , f et L étant < pi/2).

SUITE DE L'EXPOSE

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A droite lever d'Orion le 5 Décembre 1984 à Marseille.

Sirius du Grand Chien en bas à droite. En haut à gauche Les Gémeaux.

Entre les branches d'arbre Procyon du Petit Chien