domification de régiomontanus
établissement du thème astral
Levers et couchers héliaques des étoiles
par Jean Pakhomoff
Tout observateur de la voûte céleste est amené à se poser , parmi bien dautres, ces deux intéressantes questions:
a) quelles sont les ascensions droites et déclinaisons des étoiles se levant ou se couchant à lhorizon en même temps quun point décliptique arbitrairement choisi ?
b) inversement, connaissant lalfa et le delta dun corps céleste se levant ou se couchant à lhorizon, quelle est la longitude de lécliptique se levant ou se couchant sur cet horizon ?
ces deux questions amènent à rechercher la grandeur de larc décliptique compris entre le grand cercle de lhorizon et le grand cercle méridien cest-à-dire à calculer ce que les
astrologues appellent lascendant et le descendant dun thème astral.
Nous allons étudier cela ci-dessous puis nous répondrons aux deux questions-ci-dessus et enfin nous prolongerons par létude dune domification de la sphère céléste dite
domification de régiomontanus. Nous serons alors à même de dresser un thème astral.
A) Détermination de lascendant (longitude écliptique au lever).
Nous envisagerons le cas de lhémisphère nord et nous verrons ensuite comment procéder pour avoir ces valeurs dans lhémisphère sud.
Mettons gamma au point Est et faisons le tourner de 2 pi. Lorsque g est au point Est il est 18 heures sidérales. g au méridien <=> 0 h sidérale,
g au point ouest <=> 6 h sidérale et g à lanté-méridien <=> 12 h sidérale.
Lorsque lécliptique tourne depuis le point Est, son lever coupe lhorizon au nord de léquateur céleste et ce jusquà ce que g atteigne le point ouest à 6 h sidérale.
Ensuite g passe sous lhorizon et de 6 h à 18 h sidérales le lever de lécliptique se fait au sud de léquateur céleste.
Envisageons successivement les 4 cas mais auparavant rappelons les formules de transformation des arcs sinus et arcs cosinus en arcs tangentes car nous aurons à
nous en servir dans la suite de cet exposé.
En effet lordinateur donne les résultats en arc tangente donc il faut en tenir compte dans les résultats fournis.
a) transformation de larc cosinus en arc tangente
si x<pi/2 et si cos x = y alors x = atn (sqr(1-y²)/y)
si pi/2<x<pi et si cos x = y alors x = pi + atn (sqr(1-y²)/y)
si pi<x<3pi/2 et si cos x = y alors x = pi - atn (sqr(1-y²)/y) ici atn (sqr(1-y²)/y) est <0
si 3pi/2<x<2pi et si cos x = y alors x = 2pi - atn (sqr(1-y²)/y)
b) transformation de larc sinus en arc tangente
si x<pi/2 et si sin x = y alors x = atn(y/sqr(1-y²))
si pi/2<x<pi et si sin x = y alors x = pi - atn(y/sqr(1-y²))
si pi<x<3pi/2 et si sin x = y alors x = pi - atn(y/sqr(1-y²)) ici atn(y/sqr(1-y²)) est <0
si 3pi/2<x<2pi et si sin x = y alors x = 2pi + atn(y/sqr(1-y²))
ceci se démontre avec facilité à partir du cercle trigonométrique.
1) entre 18h et 0 h sidérales (figure 1). soit L le lever de lécliptique, N le nord, S le sud, Z le zénith.
Descendons un vertical depuis Z sur g. Soit B langle ZgEq dans le triangle sphérique ZgEq.
on a sin B / sin f = sin 90 / sin Zg doù sin B = sin f / sin Zg (1)
Zg est la hauteur zénithale de g, donnée par la formule de la hauteur lorsque d = 0 (cas de g) :
cos Zg = cos f cos t (2) t étant langle horaire de g ici 270 < g < 360
fig 1
Dans la suite de cet exposé nous appellerons Zg : Z
Lorsque t = 3 pi/2 Z = pi/2 et B = f
si t = 2 pi = 0 Z = f , sin B = 1 et B = pi/2
donc B croît de f à pi/2 quand t croît de 3 pi/2 à 2 pi
Faisons passer un vertical par L point commun à lhorizon et à lécliptique.
Le triangle ZLg permet décrire sin (pi-B-ep) / sin (pi/2) = sin (B+ep) / 1 = sin L / sin Z
doù sin L = sin Z sin (B+ep) (3)
de même cos Z = cos Lg cos pi/2 + sin Lg sin pi/2 cos L doù sin Lg = cos Z / cos L (4)
Dans lhémisphère nord, à un certain moment, larc Lg va dépasser 90° .
Le lever se faisant au nord, lorsque g approche du méridien larc Lg est nécessairement plus grand que larc déquateur céleste correpondant.
(3) ne rend pas directement la valeur de Lg quand Lg>pi/2. En effet sin Lg a même valeur que
Lg soit>ou< pi/2.
Lorsque Lg = pi/2 on a cos Z = cos L et L = Z.
On peut alors écrire (3) sin L = sin L sin (B+ep) doù sin (B+ep) = 1 et B+ep = pi/2
Comme nous lavons vu, dans le cas de figure où 270<t<360 B croît de f à pi/2. On en déduit que si
B+ep<pi/2, Lg<pi/2 et si B+ep>pi/2 alors Lg>pi/2.
Dans le programme informatique gwbasic on précisera donc : si B+ep<pi/2 alors Lg=Lg
si B+ep>pi/2 alors lg=pi-Lg
2) Entre 0 heure et 6 heures sidérales. (figure 2)
fig 2
daprés (2) à 0 h t = 0 ==> Z = f ; à 6 h t = pi/2 ==> Z = pi/2
daprés (1) si Z = f ==> B = pi/2 ; si Z = pi/2 ==> B = f ; B décroît donc de pi/2 à f quand t croît de 0 à pi/2
Zlg permet décrire sin (B-ep)/sin pi/2 = sin L/sin Z ===> sin L = sin Z sin (B-ep)
On a de même cos Z = cos Lg cos pi/2 + sin Lg sin pi/2 cos l et on retrouve (4) sinLg = cosZ / cos L
Ici Lg sera toujours >pi/2 et au maximum égal à pi à 6 h sidérales.
Donc on posera dans le programme Lg = pi - Lg (lordinateur donnant la valeur de langle le plus petit).
(par exemple sin 120 <=> arcsinus 120 = 60 doù 120 = 180 - 60)
3) Entre 6 h et 12 h sidérales. (figure 3) Ici g passe sous lhorizon.
fig 3
Pour t = 6 h cos t = 0 et Z = pi/2 ; pour t = pi (12 h sidérales) cos t = -1 et cos Z = - cos f = cos (pi - f)
donc quand t croît de 6 à 12 h , Z croît de pi/2 à pi - f.
daprés (1) pour t = pi/2 , Z = pi/2 et B = f
pour t = pi , Z = pi - f et sin B = 1 doù B = pi/2 : lorsque t croît de pi/2 à pi, B croît de f à pi/2.
sin (B-ep) / sin pi/2 = sin L / sin Z ==> sin L = sin Z sin (B-ep) on retrouve de même (4)
Ici lorsque t = pi Lg est < 3pi/2 . En effet le lever de lécliptique se fait au sud de léquateur terrestre et larc décliptique entre lhorizon est et le méridien est nécessairement infèrieur à
larc déquateur céleste correpondant égal à pi/2. donc pi+arc<pi/2 <=> arc < 3pi/2.
Lg sera donc compris entre pi et 3pi/2. Lordinateur donnera larc -Lg correspondant : on posera alors dans le programme Lg = pi - Lg (puisque Lg a une valeur négative.
Exemple: sin 240 <=> arc sinus 240 = - 60
et 240 = 180 -(-60) )
4) Entre 12 et 18 h sidérales. (figure 4).
fig 4
(2) montre quà 18 h Z = pi/2. A 12 h Z = pi-f. Donc lorsque t croît de pi à 3pi/2 Z décroît de pi-f à pi/2.
(1) montre que pour t = 3pi/2 , Z étant égal à pi/2 => B = f. Si t = pi Z = pi-f et sin B = 1 <=> B = pi/2.
Donc quand t croît de pi à 3pi/2, B décroît de pi/2 à f.
On a de même sin (B+ep) / sin pi/2 = sin (pi-L) / sin Z doù sin L = sin Z sin (B+ep) (3)
A un certain moment, entre 12 et 18 h sidérales, Lg va dépasser la valeur 3pi/2.
si Lg < 3pi/2 on a vu quil fallait prendre Lg = pi - Lg (ici Lg est <0).
si Lg > 3pi/2 lordinateur donne la valeur angulaire minimale (par exemple sin 300° et arc sin 300° = -60°)
donc il nous faudra écrire dans le programme : Lg = 2pi+Lg (puisque Lg est <0)
Lorsque Lg = 3pi/2 on a sin Lg = cos Z / cos L = -1 doù Z = pi-L et (3) permet décrire:
sin L = sin (pi-L) sin (B+ep) ==> sin (B+ep) = 1 et B+ep = pi/2
On a vu que dans ce cas B décroît de pi/2 à f. On en déduit que si B+ep > pi/2 alors Lg < 3pi/2 et on emploiera alors Lg = pi-Lg.
si B+ep < pi/2 alors Lg > 3pi/2 et on emploiera Lg = 2pi+Lg.
Arrivé à ce stade de notre étude nous avons donc le moyen, à partir dun temps sidéral donné, de connaître la longitude de lécliptique à son lever et en ajoutant ou
retranchant pi la valeur du descendant.
En soustrayant pi/2 à la valeur de lascendant on obtient le nonagésime : milieu de larc décliptique au-dessus de lhorizon qui ,
sauf à 18h et 6h sidérales est toujours à lest ou à louest du méridien (qui lui donne le milieu du ciel).
Avant de terminer avec la détermination de lascendant étudions les 4 cas particuliers que sont :
a) cas de 18 h sidérales: (figure 5)
fig 5
Gamma est au point est. la longitude du lever de lécliptique est donc 0. Cest le lever du signe (et non de la constellation) du bélier et le coucher de la balance.
Le capricorne (270°) est le nonagésime au milieu du ciel. Le cancer (90°) représente le fond du ciel.
b) cas de 0 h sidérale: (figure 6)
fig 6
Gamma est au méridien. ZLg permet décrire sin L / sin f = sin (pi/2-ep) / sin (pi/2) ==> sin L = sin f cos ep
cos f = cos pi/2 cos Lg + sin pi/2 sin Lg cos l et sin Lg = cos f / cos L
ici on la vu Lg > pi/2 : on prendra donc Lg = pi-Lg
c) cas de 6 h sidérales: (figure 7)
fig 7
Gamma est au point est. La balance (180°) se lève et le bélier se couche. Le cancer est le nonagésime au milieu du ciel et le capricorne est le fond du ciel.
d) cas de 12 h sidérales: (figure 8)
fig 8
Gamma est à lanté-méridien et gamma passe au milieu du ciel
on a Zg = pi/2+pi/2-f = pi-f. ZLg ==> sin L / sin (pi-f) = sin(pi/2-ep) / sin pi/2 et sin L = sin f cos ep
de même cos (pi-f) = cos pi/2 cos Lg + sin pi/2 sin Lg cos L et sin Lg = - cos f / cos L
Ici on a vu que Lg est compris entre pi et 3pi/2. On prendra alors Lg = pi - Lg
(car Lg est donné <0 , f et L étant < pi/2).
A droite lever d'Orion le 5 Décembre 1984 à Marseille.
Sirius du Grand Chien en bas à droite. En haut à gauche Les Gémeaux.
Entre les branches d'arbre Procyon du Petit Chien
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