Cadrans solaires de Jean Pakhomoff
avec prière islamique du ASR et direction de la Mecque
Le moment de la prière islamique du ASR est défini dans la religion islamique comme l'instant de l'aprés-midi où l'ombre d'un gnomon vertical (homme, objet) a
pour valeur la grandeur de ce gnomon augmentée de la valeur de son ombre à midi.
Connaissant la date donc la déclinaison on peut facilement retrouver l'angle horaire répondant à cette définition.
Une fois cet angle connu on peut calculer sur un cadran solaire les coordonnées de l'ombre d'un point stylaire et ainsi avec quelques points tracer la courbe de la prière du ASR.
On pourrait également représenter la courbe du ZOHR survenant peu aprés midi (valeur de l'ombre du gnomon à midi augmentée du 1/3 de la grandeur du gnomon).
Ci-dessous quelques exemples:
ASR (anticipé car cadrans orientés à l'est) et direction de la Mecque
sur un bifilaire vertical aux Caillols et sur un cadran d'Auriol
ASR sur le cadran tombal du cimetière Saint-Pierre à Marseille
ASR sur le cadran de
l'observatoire de Marseille
Soit
un gnomon AB perpendiculaire à un horizon de latitude f. Sur la
figure a, coupe du grand cercle méridien, sont représentés un
horizon de latitude f, l'équateur céleste AQ perpendiculaire à
l'axe des pôles CA, le rayon de soleil AH à midi le jour de
l'hiver, le rayon AE à midi le jour de l'été. Le rayon AQ
correspondant au midi le jour des équinoxes.
AJ est un rayon à midi un jour de déclinaison d.
On a CÂJ = 90-d et AJC = 180-(CÂJ+f)= 90+d-f = 90-(f-d)
si d est négatif J est entre Q et H et CÂJ=90+d
AJC égale alors 180-(90+d+f)=90-d-f= 90-(f+d)
AJC est la hauteur h du soleil à midi. On prendra h = 90-(f-d)
en considérant d>0 au printemps et en été et d<0 en
automne et hiver.
AB/BJ = tg h. En considérant AB=1 la valeur de la grandeur de
l'ombre à midi est donc 1/tgh.
Au moment de l'asr, d'aprés la définition du prophète, on a
BJ'= BJ+AB= 1/tgh + 1 et h' est la hauteur à l'instant de l'asr
(fig b).
tgh'=AB/BJ'=1/(1/tgh + 1) = 1/(tg(f-d)+1) d'où h'.
On connaît de par ailleurs la relation liant la hauteur h (ici
h') d'un astre à son angle horaire t, sa déclinaison d et la
latitude f du lieu où il est observé:
sin h = sin d sin f + cos d cos f cos t
t correspond à l'angle horaire de l'asr quand h est h'.
donc cos asr = (sin h' - sin d sin f) / cos d cos f
Une fois connu asr on peut connaître facilement par
l'utilisation des formules établies par ailleurs les coordonnées x et y de
chaque point nécessaire pour le tracé de la courbe de l'asr.
Pour le tracé de la courbe du zohr (ou dohr ou duhr...) BJ' est
égal à AB + BJ/3.
On a alors tgh' = 3/(3tg(f-d)+1)
On peut tirer de cela le programme gwbasic ci-dessous:
10 REM
Zoasrop = Zohrasr avec open 11 2 2001
20 OPEN "zoasrop.doc" FOR OUTPUT AS #15
30 REM tracé du ZOHR et de l'ASR 13/1/1991 JEAN PAKHOMOFF
40 PRINT #15," ZOHRASR"
50 KEY OFF:CLS:DEFDBL A-Z:PI=4*ATN(1#)
60 INPUT "Latitude en ° décimaux ?",FF
70 PRINT #15,"Latitude = ";FF:F=FF*PI/180#
80 INPUT "Déclinaison choisie en ° décimaux ?",DD
90 PRINT #15, "Déclinaison choisie = ",DD:D=DD*PI/180#
100 ASD=-TAN(D)*TAN(F):IF ASD<-1 THEN ASQ=90:GOTO 160
110 IF ASD=0 THEN ASQ=45:GOTO 160
120 IF ASD>0 THEN 140
130 ASD=ATN(SQR(1#-ASD^2#)/ASD)+PI:GOTO 150
140 ASD=ATN(SQR(1#-ASD^2#)/ASD)
150 ASQ=FIX(ASD*180000#/PI)/2000#:REM /2000 car 1/2 de l'asd
160 REM les variables asr et zr seront respectivement la hauteur
correspondant
à l'ASR et au ZOHR
170 REM zr et asr sont des ATN toujours < 90° donc pas besoin
de rajouter pi
180 ZR=ATN(3#/(3#*TAN(F-D)+1#))
190 ASR=ATN(1#/(TAN(F-D)+1#))
200 REM tzr,tasr,asq sont les angles horaires correspondant au
ZOHR, à l'ASR, e
t au milieu vrai de l'après-midi. tzr et asq sont pareillement
toujours < ou au
maximum = à 90° donc pas besoin de rajouter pi
210 REM mais tasr peut dépasser les 90° car l'ASR précède ou
suit l'ASQ selon l
a latitude. On envisagera donc ce cas et on rajoutera pi
220 TZR=(SIN(ZR)-SIN(F)*SIN(D))/(COS(F)*COS(D))
230 TZR=ATN(SQR(1#-TZR^2#)/TZR):TZR=FIX(TZR*180000#/PI)/1000#
240 TASR=(SIN(ASR)-SIN(F)*SIN(D))/(COS(F)*COS(D)):TASRO=TASR
250 IF TASR>0 THEN 270
260 TASR=ATN(SQR(1#-TASR^2#)/TASR)+PI:GOTO 280
270 TASR=ATN(SQR(1#-TASR^2#)/TASR)
280 TASR=FIX(TASR*180000#/PI)/1000#
290 PRINT "Angle horaire du ZOHR = ";TZR;"°"
300 PRINT #15, "Angle horaire du ZOHR =
";TZR;"°"
310 PRINT "Angle horaire de l'ASR =
";TASR;"°"
320 PRINT #15, "Angle horaire de l'ASR =
";TASR;"°"
340 PRINT #15, "Angle horaire du milieu vrai de
l'après-midi = ";ASQ;"°"
350 PRINT #15,:PRINT #15,:PRINT :PRINT
360 INPUT "Nouvelle déclinaison : appuyez sur d : arrêt
sur a : d ou a ?
",DC$:IF DC$="d" THEN 80
370 CLOSE:END
V