THEORIE ET PRATIQUE DES CADRANS ANALEMMATIQUES
CIRCULAIRES DE FOSTER ET LAMBERT (suite)
jean pakhomoff
Adoptons le même principe de projection pour le calcul de l’analemmatique circulaire sud et revoyons la figure 3.
On va projeter l’équateur CD sur l’horizon Fs bissecteur entre l’équateur et l’horizon F qui nous intéresse.
On obtient l’ellipse de petit axe UU’qui est aussi celle obtenue par la projection de F sur Fs.
De même que dans le cas du circulaire nord déplaçons CD et D’’C’’ parallèlement à eux-mêmes de façon à ce que C et D’’ viennent en e’ puis
faisons glisser CD et D’’C’’ d’une même quantité Ce’ = e’D’’ (Fig.5).
Au point e’ l’angle plat p = p/2-F + 2 ( p/2-Fs) d’où Fs = ( p /2 -F) / 2
ce que la figure 3 nous avait d’ailleurs déjà montré.
On retrouve OE = R tg d et O’E’ = OE cos Fs = R tg d cos Fs valeur de l’échelle des dates ou des déclinaisons.
Ici COF = t; de même KF = R sin t et OK = R cos t; O’K’ = OK cos (p/2-Fs) = OK sin Fs =
R cos t sin Fs
K’F’ = KF et tg w = K’F’/O’K’ = R sin t / R cos t sin Fs = tg t / sin Fs . C’est l’angle qui désignera l’heure t sur l’ellipse située sur Fs.
Sur l’horizon F où se porte notre intérêt on a F’’K’’ = F’K’ = FK (distances constantes entre les projetantes et le plan méridien e’DUC’’).
O’K’ = O’’K’’ cos(p/2-Fs) = O’’K’’ sin Fs
O’’K’’ = O’K’/sinFs = R cos t.
tg w’ = F’’K’’/ O’’K’’ = R sin t / R cos t = tg t
d’où w’ = t
De même O’E’ = O’’E’’ cos (p/2-Fs) = O’’E’’ sin Fs.
O’’E’’ = O’E’/sin Fs = OE cosFs / sin Fs = R tg d / tg Fs = R tg d / tg ((p/2 - F)/2)
C’est la valeur de l’échelle des dates ou des déclinaisons sur notre analemmatique circulaire sud.
Dans ce cas de figure la déclinaison a été choisie négative.
On remarquera que, comme pour les analemmatiques elliptiques ou circulaires
FIGURE 5
nord, les dates correspondantes aux déclinaisons négatives se tracent vers le sud dans l’hémisphère nord. En remarquant que (p/2-F)/2 = p/2 - (p/2+F)/2 on peut écrire que
tg ((p/2- F) / 2) = 1 / tg ((p/2+F) / 2)
D’où O’’E’’ = R tg d tg ((p/2+F) / 2) que nous appellerons Rs.
La verticale passant par E’ fait avec l’horizon F un angle égal à p/2-(p/2-Fs) = Fs.
C’est la valeur de l’angle d’inclinaison de notre gnomon orienté vers le sud.
Ainsi, si les rayons des cercles analemmatiques nord et sud ont même valeur, la valeur de la table des dates ou des déclinaisons varie par contre dans le rapport
Rn / Rs = [R tg d / tg((p/2 + F)/2)] / Rtg d / tg((p/2 - F)/2)
ce qui après développement donne: Rn/Rs = (1-sin f) / (1+sin f)
Pour le circulaire nord la figure 4 montre que le midi solaire se situe au nord alors que la figure 5 montre aisément que le midi solaire se situe au sud pour le circulaire sud .
Je n’ai rien trouvé dans la littérature concernant la vie ou les travaux de Samuel Foster.
Il est fait mention de Vaulezard dans le livre de René R.J. ROHR "Les cadrans solaires".
J’ai trouvé par contre quelques renseignements des plus intéressants concernant J.Henri Lambert dans le
Dictionnaire universel d’histoire et de géographie de Bouillet 32è édition 1901 Librairie Hachette Paris. J’en tire la photocopie ci-dessous.
Pour terminer ce travail je ferai un aparté à propos du tracé de l’ellipse point par point (ou au moins de demi heure en demi heure) à partir de l’angle w dont il a été question ci-dessus (fig.6).
Soit Oxy un système d’axes orthonormés. Portons sur Ox le grand axe 2a et sur Oy le petit axe 2b.
a et b seront 2 rayons de cercles concentriques en O.
Menons un rayon OF faisant avec l’axe Ox un angle T dans le sens trigonométrique.
Ce rayon coupe le petit cercle en Q. Par F menons la perpendiculaire à Ox et par Q la perpendiculaire à Oy. Ces deux perpendiculaires se coupent en F’. Les coordonnées de F’ sont
x = OF cos T = a cos T
y = OQ sin T = b sin T
Le point F’ est donc sur l’ellipse de centre O, de grand axe 2a et de petit axe 2b, ses coordonnées correspondant à l’équation paramétrique de l’ellipse.
FIGURE 6
Le point F’ fait avec l’axe Ox un angle T’ tel que tg T’ = y/x = (b/a) tg T.
Considérons maintenant que l’axe Oy est la méridienne et l’axe Ox la direction est-ouest.
Considérons qu’un angle horaire t se compte matin comme aprés-midi de façon arbitraire à partir de la méridienne. Nous aurons ainsi 13 h = 11 h <=> 15° etc...
les points d’heure de l’aprés-midi se trouveront dans les secteurs 1 et 4 du cercle trigonométrique et l’angle T’ à considérer sera égal à p/2-w sachant que tg w = tg t/ sin F comme nous l’avons vu ci-dessus.
Les points d’heure du matin se trouvent dans les secteurs 2 et 3 et l’angle T’ à considérer est alors égal à w + p/2. On retrouve dans les deux cas l’angle T par la relation tg T = (a/b) tg T’.
Puis x et y par les équations paramétriques.
Lorsque les points d’heure sont en 1 et 4 il n’y a aucune ambiguité:
En 1, p/2-w correspond à un angle compris entre 0 et 90°.
En 4, p/2-w sera <0. T sera compris entre 0 et -90° et x et y auront les valeurs correspondantes à la position de F’.
En 2, on aura un angle w + p/2 compris entre 90 et 180°. On rajoutera donc p à la valeur de l’arc tangente.
En 3, w + p/2 sera compris entre 180 et 270°. La calculatrice donnera donc un angle compris entre 0 et 90° et il conviendra d’ajouter aussi 180°.
Addenda du 12 6 2024
Lors de la construction d'un Foster Lambert j'ai pris pour
rayon du cercle origine une valeur de 28 cm.
Pour occuper l'espace inutilisé sur la pierre j'ai eu
l'idée d'ajouter un analemmatique.
Pour cela j'ai pris, tout-à-fait par hasard, une valeur de
17 cm pour le demi grand axe.
A mon étonnement j'ai constaté que les valeurs des tables
de dates des deux cadrans étaient presque identiques. Ce qui m'a amené à penser
que pour des valeurs définies du ½ grand axe de l'analemmatique horizontal et du
rayon de l'analemmatique circulaire nord on peut avoir une table des dates
communes.
En effet en posant f=latitude, d=déclinaison, Re rayon du
demi grand axe et Rn rayon choisi pour le Foster Lambert nord on peut écrire
d'après ce qui a été démontré ci-dessus:
Re tg d cos f = Rn tg d / tg ((pi/2+f)/2)
en éliminant tg d on a
Re = Rn / (cos f
tg ((pi/2 + f) / 2))
Exemple si f=43.275 et Rn = 28 cm alors Re = 16.6122 cm
valeur très proche de la valeur prise au hasard ci-dessus.
J'ai alors construit l'analemmatique elliptique avec cette
nouvelle valeur de façon à n'avoir qu'une table de dates pour les deux cadrans.
Les cadrans analemmatiques elliptiques horizontaux et verticaux
Cadran bifilaire avec deux cadrans de
Foster Lambert nord et sud sur ma tombe du cimetière
Saint-Pierre à Marseille
Au centre un analemmatique elliptique
Cadran Foster Lambert à Azille (Aude)
r = 35 cm Latitude = 43.275° nord
