La droite sacrée de Saint Michel Archange
2è partie
2) Essayons maintenant de voir si ces points sont alignés sur une projection orthographique.
Pour cela traçons un demi globe terrestre de centre O avec ses deux axes nord sud et est ouest, r étant le rayon de la terre.
Notre plan de projection sera le plan contenant l'axe est ouest et la ligne des pôles NS équivalent du 1er vertical en astronomie.
On représente le méridien de Greenwich par l'hémi cercle NAS confondu avec le plan méridien.
Par un point P de latitude f et de longitude l passe le méridien NPS.
On projette P en Q sur ce plan et en R sur l'axe nord sud pour obtenir le triangle RQP.
P à l'est de Greenwichh les longitudes sont comptées négativement.
Dans ROP on a RO = r cos (pi/2-f)= r sin f = y et RP = r sin (pi/2-f) = r cos f
Dans RQP on a QRP = pi/2 - l où l est la longitude de P avec le signe – à l'est
RQ = RP cos (pi/2-l) = r cos f sin l = x (l avec le signe -) avec r = 6371 km
x sera négatif
Si P est à l'ouest de Greenwich les longitudes sont positives: on a alors
R'Q' = R'P' cos (pi/2-l) = R'P' sin l = r cos f sin l = x (l avec le signe +)
On connaît donc x et y sur cette projection. En faisant pareillement pour un autre point P' on obtiendra
alors x' et y' pour les nouvelles valeurs de projection.
Dans le cas de notre droite sacrée le point P correspond à la latitude la plus élevée c'est-à-dire celle de SKELLING MICHAEL
en Irlande. Le point P' correspondant à la latitude du MONASTÈRE DU CARMEL en Israël dont la longitude est plus orientale que celle du point P.
On peut donc représenter ces deux points par le schéma ci-dessous et trouver la pente de la droite qui les joint.
Cette pente est égale à tg U = abs(y-y') / abs (x-x') = dy/dx
Si les autres points ont la même pente cela voudra dire qu'ils se trouvent sur la droite sacrée. En donnant à x le signe – pour les valeurs
correspondant à des points à l'ouest de Greenwich de même qu'en donnant le signe moins à des valeurs de y situées sous l'équateur on peut
avoir les valeurs X = abs(x-x') et Y = abs (y-y') permettant de fixer les valeurs de U.
Tous calculs faits nous avons trouvé:
Monastère de SKELLING MICHAEL en Irlande
x = 704.474 km à l'ouest y = 5007.51 km
MONASTÈRE DU CARMEL en Israël
x = 3068.83 km y = 3452.55 km
X = 3773.304 Y = 1554.96 U = 22.3963°
MONT ST MICHEL dans les Cornouailles en Angleterre
x = 389.998 à l'ouest y = 4888.75
X = 3458.828 Y = 1436.2 U = 22.5495°
LE MONT-SAINT-MICHEL en France
x = 111.01 à l'ouest y = 4781.60
X = 2957.82 Y = 1329.05 U = 24.196°
L’ABBAYE SAINT-MICHEL-DE-LA-CLUSE dans le Piémont en Italie
x = 574.8 est y = 4512.59
X = 2494.03 Y = 1060.04 U = 23.06°
SANCTUAIRE DE SAINT-MICHEL-ARCHANGE dans le sud de l'Italie
x = 1307.38 y = 4238.18
X = 1761.45 Y = 785.63 U = 22.568°
MONASTÈRE DE SYMI en Grèce
x = 2390.64 y = 3793.33
X = 678.19 Y = 340.78 U = 26.678°
Donc, en projection orthogonale les différents édifices religieux consacrés à St Michel Archange ne sont pas parfaitement alignés
sur la droite joignant le Monastère de SKELLING MICHAEL en Irlande au MONASTÈRE DU CARMEL en Israël mais proches
de l'alignement excepté le monastère de Symi qui s'en éloigne quelque peu.
Pour qu'ils le soient l'angle U devrait avoir une valeur constamment très proche de 22.3963°.
3) Voyons maintenant la projection orthographique sur le plan équatorial.
On se donne pour cas de figure un globe terrestre avec le méridien de Greenwich NGS origine des longitudes confondu avec le
vertical nord sud coupant donc à angle droit le plan équatorial OG est ouest.
On prend un point P de longitude ouest l et de latitude f que l'on projette en Q sur l'équateur. On aura QO = r cos f et
EQ = y =QO cos l = r cos f cos l
EO = QO sin l = r cos f sin l= x
On prend un point P' situé à l'est de Greenwich de longitude l' et de latitude f'. Sa projection se fait en Q' sur l'équateur et l'on a
OQ' = r cos f' et OF = OQ' sin (pi/2 - l') = r cos f' cos l' = x'
signe – car à l'est les longitudes sont comptées en valeur négative. l<0
De même Q'F = OQ' cos (pi/2 - l') = r cos f' sin l' = y'
La pente U de la droite QQ' sera donnée par tg U = Q'Q'' / QQ''
Comme on l'a vu ci-dessus, en comptant les valeurs de x négativement pour les zones à l'ouest de Greenwich, on aura
tg U = dy/dx = abs (y-y') / abs (x-x')
Tous calculs faits on obtient
Monastère de SKELLING MICHAEL en Irlande
x = 704.474 y = 3875.320 km à l'ouest
MONASTÈRE DU CARMEL en Israël
x = -3069.315 y = 4386.923 carmel
X = 3773.789 Y = 511.603 U = 7.72°
MONT ST MICHEL dans les Cornouailles en Angleterre
x= 389.998 à l'ouest y = 4066.652 y = 4386.923 carmel
X = 3459.313 Y = 320.271 U = 5.289°
LE MONT-SAINT-MICHEL en France
x = 111.01 à l'ouest y = 4208.750 y = 4386.923 Carmel
X= 2957.82 Y = 178.173 U = 3.207°
L’ABBAYE SAINT-MICHEL-DE-LA-CLUSE dans le Piémont en Italie
x = -574.8 est y = 4460.460 > y = 4386.923 carmel
X=2494.03 Y =- 112.56 U = 2.58°
Y < 0 ===> U n'est plus orienté vers l'ouest mais vers l'est
SANCTUAIRE DE SAINT-MICHEL-ARCHANGE dans le sud de l'Italie (Mont Gargan)
x = -1307.38 est y = 4573.02 > Carmel y = 4386.923
X=1761.935 Y = - 186.097 U = 6.029
MONASTÈRE DE SYMI en Grèce
x = - 2390.64 est y = 4525.543 > Carmel -----y = 4386.923
X=678.675 Y=-138.620 U = 11.543°
4) On peut également envisager une projection sur un plan tangent au pôle sud.
Soit H ce plan. P et P' deux points du globe de latitude f et f' et de longitude l et l'.
On prend le cas de figure où le méridien de Greenwich origine des longitudes est dans le plan méridien.
Ce méridien coupe l'équateur en G. l est positif à l'ouest et l' négatif à l'est.
OS / SQ = tg f d'où SQ = r / tg f et SE = x = SQ cos (pi/2 – l) = r sin l / tg f l > 0
y = SQ sin (pi/2 – l)l = r cos l / tg f
OS / SQ' = tg f' et SQ' = OS / tg f' = r / tg f' SF = x' = SQ' cos (pi/2 – l') = r sin l' / tg f'
y' = SQ' sin (pi/2 – l') = r cos l' / tg f'
l' <0 ===> sin l' <0 et x' est négatif.
On utilisera encore la relation tg U = abs(y-y') / abs (x-x') = dy/dx
Tous calculs faits on obtient
Monastère de SKELLING MICHAEL en Irlande 51.812 10.303
x = 896.293 y = 4930.518
MONASTÈRE DU CARMEL en Israël 32.82 -34.9786
x = -5662.927 y = 8093.930
X = 6559.22 Y = 3163.412 U = 25.747°
MONT ST MICHEL dans les Cornouailles en Angleterre 50.116 5.478
x = 508.244 à l'ouest y = 5299.645
X = 6171.171 Y = 2794.285 U = 24.360°
LE MONT-SAINT-MICHEL en France 48.636 1.511
x = 147.920 à l'ouest y = 5607.731
X= 5810.847 Y = 2486.199 U = 23.163°
L’ABBAYE SAINT-MICHEL-DE-LA-CLUSE dans le Piémont en Italie 45.097 -7.343
x = -.811.518 est y = 6297.391
X = 4851.409 Y = 1796.539 U = 20.320°
SANCTUAIRE DE SAINT-MICHEL-ARCHANGE dans le sud de l'Italie 41.708 -15.9547
x = -1964.999 est y =6873.273
X=3697.928 Y=1220.657 U=18.267°
MONASTÈRE DE SYMI en Grèce 36.5483 -27.8455
x = -4014.512 est y=7599.566
X=1648.407 Y = 494.364 U = 16.694°
5) Projection sur un cylindre tangent à la sphère
Soit donc notre globe terrestre de centre O et 2 points sur celui-ci. L'un P de latitude f et longitude l, l'autre Q de latitude f ' et longitude l'.
On projette alors P et Q sur un cylindre tangent à la sphère terrestre et perpendiculaire au plan équatorial.
On obtient les points P' et Q' sur le cylindre. On a sur le cylindre déroulé P'P'' = r sin f avec
r = 6371 km Q'Q'' = r sin f '
P'K = P'P'' – Q'Q'' = r (sin f – sin f ') et KQ' = P''Q'' = r dl où dl est l'angle en radians compris entre les deux longitudes.
On a alors tg U = P'K / KQ' = (r (sin f – sin f ')) / r dl
tg U = (sin f – sin f ') / dl
Appliquons ce résultat aux différents points de la droite sacrée visant le monastère du Carmel.
Tous calculs faits on trouve:
______________________________________________
Skelling carmel U = 17.1564___________
St Michel Cornouailles Carmel _U = 17.699_
Mont St Michel Carmel _U = 18.1297_
Abbaye de St Michel de la Cluse __U = 19.0234_
Sanctuaire de St Michel sud de l'Italie U = 20.3776_
Monastère de Symi en Grèce U = 23.254_
L'alignement n'est pas parfait.
6) Envisageons pour terminer le cas de la projection stéréographique.
Soit un globe terrestre de centre O. On prend pour cas de figure le méridien de Greenwich placé sur la méridienne nord sud. Celui-ci coupe l'équateur en G.
On se donne S pôle sud comme pôle de projection et l'équateur comme plan de projection.
Soit un point P du globe de latitude f et de longitude l pris à l'ouest de Greenwich où les longitudes sont comptées positivement.
SP coupe le plan de l'équateur en K. La projection de P sur l'équateur se fait en P'.
KP'P et KOS sont semblables comme triangles rectangles ayant un angle opposé.
On a les rapports PP' / OS = r sin f / r = sin f = P'K / OK et P'K = OK sin f
OP' = OP cos f = r cos f =P'K + OK = OK sin f + OK = OK (1 + sin f)
d'où r cos f = OK (1 + sin f) et OK = r cos f / (1 + sin f) avec r = 6371 km
On projette OK sur l'axe des x est ouest, et sur l'axe des y OG.
x = OK cos (pi/2 – l) = OK sin l = r cos f sin l / (1 + sin f)
y = OK sin (pi/2 – l) = r cos f cos l/ (1 + sin f)
Pareillement un point Q de latitude f' et de longitude est l' donne le point K' et on trouve de la même façon x' et y'
mais à l'est les longitudes étant comptées négativement on aura x < 0.
La relation tg U = abs(y-y') / abs (x-x') = dy/dx nous permet de trouver l'angle U correspondant à la pente de KK'.
Tous calculs faits on trouve les résultats suivants:
Monastère de SKELLING MICHAEL en Irlande f = 51.812 l = 10.303
x = 394.445 y = 2169.848
MONASTÈRE DU CARMEL en Israël 32.82 -34.9786
x = -5662.927 y = 8093.930
X = 6057.372 Y = 5924.082 U = 44.362°
MONT ST MICHEL dans les Cornouailles en Angleterre 50.116 5.478
x = 220.669 à l'ouest y = 2300.996
X = 5883.596 Y = 5792.933 U = 44.555°
LE MONT-SAINT-MICHEL en France 48.636 1.511
x = 63.420 à l'ouest y = 2404.276
X= 5726.347 Y = 5689.654 U = 44.815°
L’ABBAYE SAINT-MICHEL-DE-LA-CLUSE dans le Piémont en Italie 45.097 -7.343
x = - 286.91 est y = 2611.047
X = 5376.017 = 5482.883 U = 45.56°
SANCTUAIRE DE SAINT-MICHEL-ARCHANGE dans le sud de l'Italie 41.708 -15.9547
x = -785.056 est y =2746.010
X=4877.877 Y=5347.92 U=47.631°
MONASTÈRE DE SYMI en Grèce 36.5483 -27.8455
x = -1498.366 est y=2836.441
X=4164.561 Y = 5257.489 U = 51.616°
On peut alors dresser le tableau regroupant les différentes valeurs de l'angle U.
U en ° ORTHO 1 ORTHOEQUA ORTHOPSUD CYLINDRIQUE STEREOGRA
Skelling -22,3963 7,729 - 25,747 17,1567 44,362
StMichelCor --22,5495 5,291 -- 24,36 18,265 44,555
StMichel FR -24,195 3,207 - 23,163 - 19,321 44,815
StMichdelaC ---23,06 -----1,688 ------ 20,32 - 19,023 - 45.563
StMichGargan --22,568 10,024 18,267 20,377 - 47,631
StMichSymi - 26,678 - --11,552 - 16,694 23,2535 - 51,616
CARMEL 22,3963 -- 7,729 25,747 - 17,1567 - 44,362
Les projections orthographique sur le plan du méridien Est Ouest (ORTHO1), cylindrique et stéréographique
donnent les valeurs de U assez acceptables avec l'alignement Skelling-Carmel bien que de façon constante
l'île de Symi reste la plus éloignée de cette droite sacrée.
La projection orthographique équatoriale ne rend pas compte d'un tel alignement.
Ces résultats permettent de positionner ces différents lieux dans un repère orthonormé.
Nous représenterons ci-dessous deux cas.
a) Postions des lieux dans la projection orthographique équatoriale:
Les lieux sont assez éloignés de la droite joignant Skelling Michael au monastère du Carmel.
b) Position des lieux dans la projection stéréographique:
Le lieu de St Michel du Mont Gargan et celui du monastère de Symi sont assez éloignés de la droite joignant
Skelling Michael au monastère du Carmel.
Les autres lieux en sont assez proches.
7) Les levers de soleil au solstice d'été ne sont pas alignés sur cette ligne sacrée comme on peut le lire par ailleurs.
L'azimut des levers et couchers de soleil nous est donné par la relation classique
cos A = - sin d / cos f où A est l'angle d'azimut, d la déclinaison du soleil et f la latitude du lieu.
Le calcul montre que la direction Skelling Michael - Monastère du Carmel fait avec le méridien passant par
Skelling Michael un angle de 77.75° (vers le sud) ce qui correspond à un azimut astronomique de 282.75° est.
Alors que l'azimut du lever du soleil le jour de l'été à la latitude de Skelling Michael est de 228.21°:
donc différence de 54.54° ce qui n'est pas peu!
Pour le monastère du Carmel on trouve de même l'angle de direction vers Skelling Michael égal à 45.96°correspondant
à un azimut est de 314.04° et à cet endroit l'azimut de lever du soleil au solstice d'été est de 241.75°. La différence est ici de 72.29°!
Par contre, l'azimut du lever au solstice d'hiver donne des différences d'angles moins importantes.
27.31° pour Skelling (310.06- 282.75) et 15.79° (314.04-298.25) pour le monastère du carmel.
Mais là aussi l'alignement parfait n'est pas au rendez-vous.
Quelques considérations sur l'utilisation des azimuts:
Le programme gw basic ci-dessus donne les valeurs des angles B et C.
Je ne suis pas spécialiste de navigation ni de randonnées…
J'ai donc eu quelques difficultés à transformer ces valeurs en azimuts.
On connaît l'azimut astronomique qui a pour origine 0° le méridien sud en passant à 90° par l'ouest
puis 180° au nord, 270° à l'est. Ceci pour l'hémisphère nord.
L'azimut géographique a pour origine le méridien nord 0° en passant par l'est 90° puis le sud 180°
et l'ouest 270°.
Et ramener cela à l'hémisphère sud…!
je n'ai pas trouvé sur google et ailleurs de renseignements facilement exploitables.
En attendant:
..............................................Azimuts astronomiques
...............................................Azimuts géographiques
Soit maintenant nos deux points B et C. Nous nous proposons de partir de B à l'ouest dans l'hémisphère nord pour
nous rendre à C à l'est dans l'hémisphère sud.
Nous avons calculé, comme vu précédemment, la valeur de l'angle B.
Comment alors en déduire l'azimut correspondant?
En se cantonnant au seul azimut géographique celui-ci a la valeur de B.
Pour C nous sommes dans l'hémisphère sud.
Alors quel est l'azimut géographique correspondant ?
On connaît l'angle C. Si pareillement les azimuts se comptent depuis le nord on
devrait alors avoir comme valeur d'azimut: pi + (pi-C) = 2 pi – C
Mais…cela demande confirmation pour ne pas prendre le risque de s'égarer en mer…!
Nous venons de voir que cet alignement n'existait pas pour un chemin orthodromique. Voyons maintenant ce qu'il en est
pour un chemin loxodromique.
Approche loxodromique de l'alignement - partie 3
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