Droite de Simson et cercles
attachés au triangle quelconque
- La droite de Simson
Soit le triangle inscrit ABC dans le cercle O. Par un point P du cercle O on
mène les
perpendiculaires PI, PJ et PK aux 3 côtés.
Il faut montrer que la courbe passant par les pieds de ces perpendiculaires est
une
Droite (théorème de Simson).
Joignons P à C. On obtient le quadrilatère inscriptible ABCP.
Alors BAP + BCP = pi De même
BAP + KAP = pi d'où BCP = KAP
et les triangles
rectangles KAP et ICP Sont semblables. D'où KPA = ICP
Le quadrilatère convexe AKPJ ayant deux angles opposés
égaux à pi/2,donc
supplémentaires, est inscriptible
et
KPA = KJA
De même le quadrilatère croisé CPJI ayant deux angles opposés égaux à pi/2 est
inscriptible et CPI = CJI = KPA = ICP = KJA
donc KJA = CJI avec AJ et JC alignés
sur la droite commune AC, et donc KI est également une droite.
- Cercles inscrit et circonscrit au triangle
fig 1
(Les imprécisions graphiques de cette figure faîte à "souris levée" ne diminuent en rien la rigueur du raisonnement)
Soit le triangle quelconque ABC et ses trois bissectrices AT, CU et BS. On sait qu'elles se croisent en O' centre du cercle inscrit O' où O'K = O'F = O'E sont les rayons r
de ce cercle perpendiculaires aux 3 côtés.
On trace également le cercle circonscrit de centre O et le rayon OR = R médiatrice de BC coupant BC en H. OI et OG les deux autres médiatrices.
Le rayon OA coupe BC en Z, OO' coupe BC en W et la bissectrice AO' coupe BC en T (voir fig 2)
- Calcul de R
Par rapport à l'arc BC, BOC est l'angle au centre double de l'angle au sommet BAC.
Dans le triangle isocèle BOC on a COH = COB / 2 = 2 BAC / 2 = BAC et
HC = BC / 2 = OC sin COH = R sin COH d'où R = BC / 2 sin A
- Calcul de r
BO'C => sin B1 / O'C = sin BO'C / BC BO'C = pi – (B1 + C1) =>
O'C = sin B1 . BC / (sin B1 + C1)
EO'C=> O'C sin C2 = O'C sin C1 = O'E = r et
r = sin B1. BC sin C1 / sin (B1 + C1) = sin B1. BC sin C1 / (sin B1 cos C1 + sin C1 cos B1)
En divisant haut et bas par sinB1 sin C1 on obtient
r = BC / (1 / tg C1 + 1 / tg B1) = BC / (1 / tg (C/2) + 1 / tg (B/2))
- Rapport des rayons
R / r = (BC / 2 sin A) / (BC / (1 / tg C1 + 1 / tg B1)) =
(1 / tg C1 + 1 / tg B1) / 2 sin A et
R / r = (1 / tg (C/2) + 1 / tg (B/2)) / 2 sin A
- Angle formé entre la droite OO' reliant les cercle inscrit et circonscrit avec le côté BC.
Pour cela agrandissons la partie O'KOH de la figure 1 pour rendre la figure plus lisible:
fig 2
On retrouve la bissectrice AT coupant BC en T, le rayon AO du cercle circonscrit.
O'K = r = H'H = est connu. La figure 1 nous permet d'écrire OH = OC cos HOC
HOC = BOC / 2 = 2 A / 2 = A et OH = R cos A d'où H'O = r + R cos A
O'K / BK = r / BK = tg B1 et BK = r / tg B1 BH = BC / 2
KH = O'H' = BH – BK = BC / 2 – r / tg B1
tg H'O'O = OH' / O'H'= (r + R cos A) / (BC / 2 – r / tg B1)
d'où H'O'O = O'WB (alternes internes) angle fait entre la droite O'O joignant les centres des cercle inscrit et circonscrit et
le côté BC opposé à l'angle inscrit A. La connaissance de la valeur de cet angle permettra la comparaison avec l'angle NEH fait entre la droite d'Euler et le côté BC.
la distance entre O et O' est alors OO' sin H'O'O = OH'
OO' = OH' / sin H'O'O = (r + R cos A) / sin H'O'O
En comparant les valeurs de OO' et de tg H'O'O on peut écrire que
r + R cos A = OO' sin H'O'O = tg H'O'O (BC / 2 – r / tg B1) (B1 = B/2)
et OO' = (BC / 2 – r / tg (B/2)) / cos H'O'O
Jean Pakhomoff 13 10 2014 __________
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- La droite et le cercle des 9 points d'Euler_____
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