Angle horaire du cercle horaire passant par

l'intersection d'un arc semi-diurne et

d'un plan incliné (2è partie)

 

Chapitre 2
Les cadrans iDW et iDE angle j inférieur à la latitude f (j < f)
c - Heures utiles du cadran


fig 7
On représente l'incliné déclinant et un arc semi diurne de déclinaison d. f la latitude,

dg sa déclinaison gnomonique, i son inclinaison.
Pas de changement pour le calcul de j (tg j = cos dg / tg i ) et de NMUw:

tg NMUw = 1 / (tg dg sin j) Ici PMR = NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = f - j et PR = pi/2 – d

(f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (f - j) = sin (pi – t) / sin MR

et sin MR = sin (pi – t) sin (f - j) / sin R de même sin R = sin PMR sin (f - j) / cos d

= sin NMUw sin (f - j) / cos d d'où R


Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (f - j) ce qui nous donne d que nous appellerons

dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons la plus petite

valeur donnée par sin R. Ce sera l’inverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les déclinaisons sont négatives on aura

PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun

changement pour sin R (on peut même entrer d avec son signe puisque cos d = cos - d).


On a vu plus haut (j>f) une autre méthode d'appréciation de la valeur de R:

Pour les j<f la condition devient: si cos (f-j) – cos MR * sin d < 0 alors cos R < 0 et R > pi/2

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = PN - MN = f - j d’où intervalle dm = pi/ 2 – (f - j) et – dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes. Donc entrer une autre déclinaison d.
Si i = pi/2 alors tg j = cos dg / tg i = 0 et j = 0. C’est le cas de l’incliné devenu horizon.
R balaie l’horizon de N en S. M vient en N et quand R est en N alors comme nous l’avons vu ci-dessus

PN = pi/2 – d = f d’où d = pi/2 – f
R en S’ correspondant à – d.



fig 8

On retrouve la relation classique donnant les déclinaisons limites des levers et couchers sur l’horizon f.

Au-delà de ces déclinaisons les astres n’apparaissent plus sur cet horizon.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos (pi – t) et

cos MR = cos (f - j) sin d + sin (f - j) cos d cos (pi – t)
= cos (f - j) sin d – sin (f – j) cos d cos t

cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R
cos (f-j) = cos MR sin d + sin MR cos d cos R d'où
cos R = (cos (f-j) - cos MR sin d) / sin MR cos d
en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs (sin MR = sin t sin (f - j) / sin R) on obtient
cos PM = cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R

cos PM = cos (f - j)
= cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + (sin t sin (f - j) cos d cos R) / sin R

Divisons le tout par cos (f - j)
1 = sin² d - tg (f - j) cos d sin d cos t + sin t tg (f - j) cos d / tg R et

cos² d + tg (f - j) cos d sin d cos t - sin t tg (f - j) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0

En posant A = cos d, B = tg (f - j) sin d et C = - tg (f - j) / tg R on a A + B cos t + C sin t = 0
Nous avons vu précédemment que l'utilisation de l'arc moitié nous amenait en posant

tg (t/2) = k à la relation (A – B) k² + 2 kC + A + B = 0
Equation du second degré admettant 2 racines dont nous choisirons la plus proche du résultat attendu.

Nous allons maintenant voir le cas des iDWLE ou lignes horaires du soir.

(incliné déclinant ouest lignes est).


c - Heures utiles


fig 9

Ici PMR est le supplément de NMUw.

Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en appelant j le côté MN:

tg j / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – dg) ou encore tg j = cos dg / tg i
de même tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore tg (pi/2 – dg) / tg NMUw = sin j et

tg NMUw = 1 / (tg dg sin j) PMR = pi - NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = f - j et PR = pi/2 – d

(f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (f - j) = sin t / sin MR
et sin MR = sin t sin (f - j) / sin R de même sin R = sin PMR sin (f - j) / cos d

= sin NMUw sin (f - j) / cos d d'où R

Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (f - j) ce qui nous donne d que nous appellerons

dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons la plus petite

valeur donnée par sin R. Ce sera l’inverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les déclinaisons sont négatives on aura

PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R

(on peut même entrer d avec son signe
puisque cos d = cos - d).
Nous avons donné plus haut une autre méthode d'appréciation pour la valeur de R:
On a vu plus haut (j>f) une autre méthode d'appréciation de la valeur de R:
Pour les j<f la condition devient: si cos (f-j) – cos MR * sin d < 0 alors cos R < 0 et R > pi/2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = PN - MN = f - j d’où intervalle dm = pi/ 2 – (f - j) et – dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos (pi – t) et

cos MR = cos (f - j) sin d - sin (f - j) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R

cos R = (cos PM – cos MR cos PR) / (sin MR sin PR)

en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient

cos PM = cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R

cos PM = cos (f - j)
= cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + (sin t sin (f - j) cos d cos R) / sin R

Divisons le tout par cos (f - j)
1 = sin² d - tg (f - j) cos d sin d cos t + sin t tg (f - j) cos d / tg R et

cos² d + tg (f - j) cos d sin d cos t - sin t tg (f - j) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0 relation identique à celle des iDWLW.
Voyons ce qu'il en est à propos des heures utiles pour les iDE.

Nous ne referons pas de calculs car par similitude avec les résultats précédemment obtenus on peut

accepter sans réticence que la relation cherchée est encore identique aux iDWLW et iDWLE.
On adaptera l'attribution des racines au cas envisagé.

Nous allons maintenant voir le cas des inclinés inclinants c'est-à-dire face tournée vers le nord.

Suite (3è partie)

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Les cadrans solaires inclinés

Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff

Mes travaux personnels en gnomonique