Angle horaire du cercle horaire passant par
l'intersection d'un arc semi-diurne et
d'un plan incliné (2è partie)
Chapitre 2
Les cadrans iDW et iDE angle j inférieur à la latitude f (j
< f)
c - Heures utiles du cadran
fig 7
On représente l'incliné déclinant et un arc semi diurne de
déclinaison d. f la latitude,
dg sa déclinaison gnomonique, i son
inclinaison.
Pas de changement pour le calcul de j (tg j = cos dg / tg i ) et
de NMUw:
tg NMUw = 1 / (tg dg sin j) Ici PMR = NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = f - j et PR = pi/2
d
(f étant la latitude et d la déclinaison du
soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (f - j) = sin (pi
t) / sin MR
et sin MR = sin (pi t) sin (f - j) / sin R de même sin R
= sin PMR sin (f - j) / cos d
= sin NMUw sin (f - j) / cos d d'où R
Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (f - j) ce qui nous donne d
que nous appellerons
dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S on déduit que lorsque d < dl R
est < pi/2 et nous retiendrons la plus petite
valeur donnée par sin R. Ce sera
linverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les
déclinaisons sont négatives on aura
PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos
d donc aucun
changement pour sin R (on peut même entrer d avec son signe
puisque cos d = cos - d).
On a vu plus haut (j>f) une autre méthode d'appréciation de
la valeur de R:
Pour les j<f la condition devient: si cos (f-j) cos MR
* sin d < 0 alors cos R < 0 et R > pi/2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = PN - MN = f - j doù
intervalle dm = pi/ 2 (f - j) et dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles avec des
apparitions disparitions seront comprises entre dm et dm.
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes. Donc entrer une autre
déclinaison d.
Si i = pi/2 alors tg j = cos dg / tg i = 0 et j = 0. Cest
le cas de lincliné devenu horizon.
R balaie lhorizon de N en S. M vient en N et quand R est en
N alors comme nous lavons vu ci-dessus
PN = pi/2 d = f doù d = pi/2
f
R en S correspondant à d.
fig 8
On retrouve la relation classique donnant les déclinaisons limites des levers et couchers sur lhorizon f.
Au-delà de ces déclinaisons les astres
napparaissent plus sur cet horizon.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos (pi t)
et
cos MR = cos (f - j) sin d + sin (f - j) cos d
cos (pi t)
= cos (f - j) sin d sin (f j) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R
cos (f-j) = cos MR sin d + sin MR cos d cos R d'où
cos R = (cos (f-j) - cos MR sin d) / sin MR cos d
en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs (sin MR = sin t
sin (f - j) / sin R) on obtient
cos PM = cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t +
sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (f - j)
= cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + (sin t
sin (f - j) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (f - j)
1 = sin² d - tg (f - j) cos d sin d cos t + sin t tg (f - j) cos
d / tg R et
cos² d + tg (f - j) cos d sin d cos t - sin t
tg (f - j) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0
En posant A = cos d, B = tg (f - j) sin d et C = - tg (f - j) /
tg R on a A + B cos t + C sin t = 0
Nous avons vu précédemment que l'utilisation de l'arc moitié
nous amenait en posant
tg (t/2) = k à la relation (A B) k² +
2 kC + A + B = 0
Equation du second degré admettant 2 racines dont nous
choisirons la plus proche du résultat attendu.
Nous allons maintenant voir le cas des iDWLE ou lignes horaires
du soir.
(incliné déclinant ouest lignes est).
c - Heures utiles
fig 9
Ici PMR est le supplément de NMUw.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en
appelant j le côté MN:
tg j / tg (pi/2 i) = sin (pi/2
dg) ou encore tg j = cos dg / tg i
de même tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore tg (pi/2 dg) /
tg NMUw = sin j et
tg NMUw = 1 / (tg dg sin j) PMR = pi - NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = f - j et PR = pi/2
d
(f étant la latitude et d la déclinaison du
soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (f - j) = sin t /
sin MR
et sin MR = sin t sin (f - j) / sin R de même sin R = sin PMR
sin (f - j) / cos d
= sin NMUw sin (f - j) / cos d d'où R
Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (f - j) ce qui nous donne d
que nous appellerons
dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S on déduit que lorsque d < dl R
est < pi/2 et nous retiendrons la plus petite
valeur donnée par sin R. Ce sera
linverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les
déclinaisons sont négatives on aura
PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R
(on peut même entrer d avec son signe
puisque cos d = cos - d).
Nous avons donné plus haut une autre méthode d'appréciation
pour la valeur de R:
On a vu plus haut (j>f) une autre méthode d'appréciation de
la valeur de R:
Pour les j<f la condition devient: si cos (f-j) cos MR
* sin d < 0 alors cos R < 0 et R > pi/2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = PN - MN = f - j doù
intervalle dm = pi/ 2 (f - j) et dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles avec des
apparitions disparitions seront comprises entre dm et dm.
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos (pi t)
et
cos MR = cos (f - j) sin d - sin (f - j) cos d
cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R
cos R = (cos PM cos MR cos PR) / (sin MR sin PR)
en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient
cos PM = cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t +
sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (f - j)
= cos (f - j) sin² d - sin (f - j) cos d sin d cos t + (sin t
sin (f - j) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (f - j)
1 = sin² d - tg (f - j) cos d sin d cos t + sin t tg (f - j) cos
d / tg R et
cos² d + tg (f - j) cos d sin d cos t - sin t
tg (f - j) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0
relation identique à celle des iDWLW.
Voyons ce qu'il en est à propos des heures utiles pour les iDE.
Nous ne referons pas de calculs car par similitude avec les
résultats précédemment obtenus on peut
accepter sans réticence que la relation
cherchée est encore identique aux iDWLW et iDWLE.
On adaptera l'attribution des racines au cas envisagé.
Nous allons maintenant voir le cas des inclinés inclinants
c'est-à-dire face tournée vers le nord.
Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff
Mes travaux personnels en gnomonique