Théorème de Viviani

Dans un triangle équilatéral la somme des distances d'un point

du triangle aux côtés est constante

Ma démonstration:

Prenons un point O' dans le triangle équilatéral ABC dont les sommets ne sont pas représentés sur la figure.

Menons les médiatrices AV, BQ et CS qui se coupent en O centre du cercle circonscrit.

On a les égalités classiques OS = OQ = OV = l (èle).

Par O' menons les perpendiculaires O'P, O'N et O'M à ces médiatrices et les perpendiculaires

O'T, O'R et O'U aux 3 côtés.

Soit f l'angle O'OM.

On a OM = OO' cos f et O'R = l + OO' cos f

OP = OO' cos (60 - f) = OO' (cos f / 2 + √3 sin f /2)

ON = OO' cos (pi - (f + 60)) = OO' (- cos (f + 60))

Alors O'R + O'T + O'U =

l + OO' cos f + l - OO' (cos f / 2 + √3 sin f /2) + l + OO'( -cos f / 2 + √3 sin f / 2) =

3 l + OO' (cos f - cos f /2 - √3 sin f /2 - cos f / 2 + √3 sin f / 2) = 3 l + 0 = 3 l

Donc la somme des perpendiculaires menées d'un point du triangle équilatéral à chacun de ses côtés

est égale à la somme constante des projections sur ces mêmes côtés du centre du cercle circonscrit.

En posant c pour valeur du côté du triangle équilatéral on trouve alors

tg 30 = l / (c/2) et l = c tg 30 / 2 = 0.288675 c et

3 l = 0.8660254 c = √3 c / 2 valeur constante

On a également c/2 / h = tg 30 où h est une hauteur médiatrice

Et h = c / 2 tg 30 = c / 1.1547 alors 3 l / h = 0.8660254 c / c/1.1547 = 1

Conclusion: la somme des distances d'un point quelconque du triangle équilatéral aux côtés est égale à la hauteur de celui-ci.

3 5 2025