ETUDE THEORIQUE DU GNOMON
INADAPTE
Jean Pakhomoff
Tout bâton planté dans le sol peut sevir de cadran solaire. Nous allons envisager le cas le plus classique du cadran horizontal lorsque le style droit,
pour une raison quelconque, usure du temps ou erreur de découpe par exemple, n'a pas la grandeur retenue pour le calcul du cadran.
Soit le gnomon réel AQ est plus petit que le gnomon théorique AO’ .
FIG 1
Soit le gnomon réel AQ est plus grand que le gnomon thérique AO’.
FIG 2
Soit donc (fig.1) un cadran solaire horizontal avec son style OO’ et son gnomon O’A. Un rayon de soleil passant par O’ à l’instant t se trouve dans
le vertical passant par le gnomon et dans le plan du cercle horaire d’angle horaire t passant par OO’. Ce rayon étant commun aux deux plans passe par P,
intersection de ces deux plans avec le plan de l’horizon.
L’angle T est l’azimut et l’angle horaire tabulaire est H à l’instant t.
Imaginons que, par erreur de construction ou par usure dûe au temps, le gnomon n’ait plus qu’une hauteur égale à AQ.
A l’instant t l’ombre de Q tombe en C sur la ligne d’azimut AP d’angle T. La ligne horaire indiquée par l’ombre de C est alors OC
qui ne correspond plus, bien évidemment, à l’angle horaire de l’instant t.
Comment donc retrouver le véritable angle horaire t, donc l’heure exacte, à partir de cette fausse ligne horaire tabulaire OC indiquéé par ce gnomon "rogné" ?
On remarquera que AQ peut-être considéré comme le gnomon d’un cadran solaire AQQ’ homothétique de AO’O.
Toutes les lignes horaires tabulaires de AQQ’ partant de Q’ seront parallèles à celles de AO’O partant de O puisque de même valeur angulaire
donnée par la relation classique tgH=sinF tgt où F est la latitude du lieu où est situé le cadran.
Donc à l’instant t, quand l’ombre de O’ tombe en P sur la ligne tabulaire OP du cadran OO’A, l’ombre de Q tombe en C sur la ligne tabulaire Q’C du cadran QQ’A et CQ’A=POA=H.
Les triangles CAQ’ et CAO permettent d’écrire: CA / sin H = AQ’ / sin(T-H) ; CA / sin H' = OA / sin(T-H')
d’où AQ’ sinH / sin(T-H) = OA sinH’ / sin(T-H') (1)
AQ’=AQ/tgF et OA=AO’/tgF En posant AO’=a et AQ=a’ on a OA/AQ’=AO’/AQ=a/a’.
De (1) on tire alors
a / a' = sinH sin(T-H’) / sinH' sin(T-H) (2)
Bien que H’ corresponde à un temps faux, sa valeur angulaire est bien réelle et donnée par lecture directe du cadran. Le "faux" temps correspondant à H’ sera appelé t’. Développons (2):
a /a' = (sinHsinTcosH’-sinHsinH’cosT) / (sinH’sinTcosH-sinH’sinHcosT)
divisons par cosT
a /a' = (sinHtgTcosH’-sinHsinH’) / (sinH’tgTcosH-sinHsinH’)
divisons par sinH
a / a' = (tgTcosH’-sinH’) / (tgTsinH’/tgH -sinH’)
divisons par sinH’
a / a' = (tgT/tgH’ -1) / (tgT/tgH-1) autrement dit
a / à = [(tgT - sinFtgt’) / sin F tgt')] / [(tgT - sin F tgt) / sin F tgt)]
a / a' = tgt (tgT-sinFtgt’) / tgt’(tgT-sinFtgt)
L’azimut T est donné entre autre par la relation classique:
tgT = sin t / ( sinFcost-cosFtgd ) où F est la latitude du lieu et d la déclinaison du soleil.
Remplaçons donc tgT par sa valeur et l’on obtient:
a / a' = [tgt sint / (sinF cost - cosF tgd) - tgt sinF tgt’] / [tgt' sint / (sin F cost' - cosF tgd) - tgt' sinF tgt] =
(tgt sint - sinF cost tgt sinF tgt’ + cosF tgd tgt sinF tgt’) / (tgt’sint - sinF cost tgt’ sinF tgt + cosF tgd tgt’sinF tgt) =
(tgt sint - sint sin²F tgt’ + sinF cosF tgt tgt’tgd) / (tgt’sint - sint sin²F tgt’ + sinF cosF tgt tgt’tgd)
divisons par tgt
a / a'= (sint - cost sin²F tgt’ + sinF cosF tgt’tgd) / (tgt’ cost - cost sin²F tgt’ + sinF cosF tgt’tgd)
atgt’cost - acost sin²F tgt’ + asinFcosF tgt’tgd = a’sint - a’cost sin²F tgt’ + a’sinFcosFtgt’tg d
cost(atgt’-asin²F tgt’)+asinF cosF tgt’tgd = cost(a’tgt-a’sin²F tgt’)+a’sinF cosF tgt’tg d
cost(a’tgt-a’sin²F tgt’-atgt’+asin²F tgt’) = (a-a’)sinFcosF tgt’tgd
cost(a’tgt-atgt’+(a-a’)sin²F tgt’)=(a-a’)sinF cosF tgt’tgd
Posons A = (a-a’)sin²F tgt’-atgt’ et B = (a-a’)sinF cosF tgt’tgd
On obtient
cost(a’tgt+A) = B = a’sint +Acost
En posant tg (t/2) = n on peut avoir le sinus et le cosinus par les relations classiques:
sin(t/2) = 2n / (1+n²) ; cos(t/2) = (1-n²) / (1+n²)
d’où l’équation a’ 2n / (1+n²) + A [(1-n²) / (1+n²)] -B = 0
et a’2n+A-An²-B-Bn² = 0 <===> (B+A)n²-2a’n+(B-A)=0 équation de type ax²+bx+c=0
Cette équation admet 2 racines. Le terme b est constamment pair puisque multiple de 2. Donc on peut appliquer la formule simplifiée de résolution des racines.
SQR (abcd) signifie racine carrée de abcd.
On aura donc en posant b’=b/2
n= [-b’+ou- SQR(b’²-ac)] / a
Ici b’=-a’, a=(B+A), c=(B-A)
Donc n’ = [-(-a’)+SQR((-a’)²-(B+A)(B-A) )] / (B+A) = [a’+SQR(a’²-B²+A²)] / (B+A)
n’’ = [a’-SQR(a’²-B²+A²)] / (B+A)
Connaissant n on prend arc tangente n et en le multipliant par 2 on trouve t angle horaire cherché.
1 heure étant égale à 15°,on divisera cet angle par 15 pour avoir la valeur en heures depuis midi.
11 à 12 <==> 12 à 13 = 1 heure
10 à 12 <==> 12 à 14 = 2 heures etc..
Un exemple numérique pour terminer:
Un gnomon construit à Marseille à la latitude 43,3° mesurant théoriquement 1,5 m. de haut et ne mesurant plus au jour de lecture que 1,43 m. indique 14h 30’.
Quelle heure est-il réellement au soleil le jour de l’hiver où la déclinaison du soleil est égale à -23,44° ?
On a t’=14h30-12=2h30 <==> 2,5X15 = 37,5°
On trouve A=(150-143)sin²43,3tg37,5-150tg37,5=-112,5726796
B=-1,162359288
a=150 cm b=143 cm =========> D=33120,25711 SQRD=181,989717
n’=-2,857428284====>arctgn’=t/2=-70,71°=====> t=-141,42°
n’’=0,3428118316====>arctgn’’=t/2=18,92°=====>t=37,84464264°
Cette dernière valeur est celle attendue et correspond à 2h 31’22’’ de l’aprés-midi. Le cadran au gnomon rogné a donc un retard de 1’ 22’’.
Les calculs refaits pour le jour de l’été où la déclinaison du soleil est égale à 23,44° montrent que le retard est de 4’18’’ pour la même ligne horaire.
Si le gnomon AQ ne mesure plus que 125 cm au-lieu de 150 le jour de l’été dans les mêmes conditions le retard est de 17’ 4’’.
Deux remarques pour finir: si ce gnomon indique 14h30’ alors qu’il est 14h47’4’’ on peut se demander quelle heure il sera lorsqu’il indiquera 14h 47’4’’.
L’application des calculs précédents montre qu’il sera 15h4’52’’. Donc pour "combler" ce retard de 17’4’’ le gnomon rogné aura mis 17’48’’.
Le gnomon peut aussi être plus long que le gnomon théorique (fig.2). Dans ce cas l’heure indiquée retardera le matin et avancera l’aprés-midi.
Les calculs sont identiques: le cadran AQQ’ est > AOO’ et a’>a, t’>t.
A TOUTES LES BRIGITTE, MARIE-FRANCE OU SUZON,
DONT LA SEULE PRESENCE,
SANS AUCUNE EQUATION,
PEUT,
D’UN GNOMON TROP COURT
FAIRE UN GNOMON
TROP LONG...
jean pakhomoff
mai 1999