Quadrilatère inscriptible
de Faure à Archimède
Nous étudions ici 2
relations classiques concernant le quadrilatère inscriptible dans un cercle de
centre O.
Dans un tel
quadrilatère la somme des carrés des portions de chaque diagonale est égale à 4
fois le carré du rayon du cercle O:
a² + b² + c² + d² = 4
r²
Soit le quadrilatère
ABCD inscrit dans le cercle de centre O. AC et BD ses diagonales se coupant en E
faisant un angle quelconque entre elles.
Les portions a et b
de AC et c et d de DB.
Projetons O en N sur
AC et en M sur DB. EN = y et EM = x.
AN = NC et DM = MB
a = AN - y = √ (r² -
x²) - y a² =
r² - x² + y² - 2 √ (r² - x²) y
b = NC + y = √ (r² -
x²) + y b² = r² - x² +
y² + 2 √ (r² - x²) y
c = DM - x = √ (r² -
y²) - y c² = r² - y² + x² - 2
√ (r² - y²) x
d = MB + x = DM + x =
√ (r² - y²) + x d² = r²
- y² + x² + 2 √ (r² - y²) x
En additionnant ces 4
valeurs les termes en x et y s'annulent entre eux et il vient:
a² + b² + c² + d² = 4
r²
Cette relation (avec
une démonstration différente) est connue comme
le théorème de Faure.
Remarque:
Lorsque les diagonales sont perpendiculaires les triangles EAD, EBC,
EAB et EDC sont
rectangles. En leur appliquant le théorème de Pythagore on a alors:
AB² = a² + d², BC² =
b² + d², DC² = c² + b² et AD² = a² + c²
Au total AB² + BC +
DC² + AD² = 8 r²
Cette dernière
relation est connue comme le théorème d'Archimède.
Serait-elle valable pour tout quadrilatère inscriptible dont les diagonales ne sont pas orthogonales? Nous allons voir que non.
A propos de la relation
d'Archimède
On suppose
connue la relation d'Archimède:
AB²+BC²+CD²+DA² = 8 r² concernant un quadrilatère inscriptible aux diagonales
orthogonales.
Soit le
quadrilatère ABCD dont les diagonales AC et DB ne sont pas orthogonales.
On a 4
angles au centre K, L, M, et N.
Dans AOB on a:
AB² = AO²+OB² - 2 AO OB cos AOB
(relation d'Al-Kashi)
AB²= 2r² - 2r² cos K = 2r² (1-cos K)
Donc AB²+BC²+CD²+DA² = 2r² (1 -
cos K + 1 - cos L+ 1 - cos M+ 1 - cos N)
= 2 r² (4 - (cos K + cos L + cos M + cos N))
Cette relation se vérifie lorsque cos K + cos L + cos M
+ cos N = 0
Cela se produit lorsque les angles au centre sont
supplémentaires entre eux.
Dans les autres cas cette relation n'est qu'approchée car
la somme des cosinus bien que proche de 0 n'est pas égale à 0.
Dans un quadrilatère inscriptible les angles au sommet sont supplémentaires deux à deux et chacun peut être partagé
en deux parties
inégales donnant les angles a, b, c et d des triangles isocèles formés par les
rayons du cercle et les côtés du quadrilatère.
Dans AOB on mène la médiatrice OH. On a AH = r cos a = AB/2
cos a et
AB = 2 r cos a
AB² = 4 r² cos² a = 4 r² (1 - sin² a)
Et AB² + BC² +
CD² + DA² = 4 r² ( 1 - sin² a + 1 - sin² b + 1 - sin² c + 1 - sin² d ) =
4 r² ( 4 - ( sin² a + sin² b + sin² c + sin² d ))
Quand la relation d'Archimède est vérifiée on a alors sin²
a + sin² b + sin² c + sin² d = 2
dans le quadrilatère inscriptible.
Exemples:
Angles au centre supplémentaires
K
L
M
N
somme des cosinus
105
95
85
75
0
a
b
c
d
somme des sinus²
37.5
42.5
47.5
52.5
2
K
L
M
N
somme des cosinus
70
120
110
60
0
a
b
c
d
somme des sinus²
55
30
35
60
2
Angles au centre non supplémentaires
K
L
M
N
somme des cosinus
80
120
75
85
0.0196
a
b
c
d
somme des sinus²
50
70
52.5
47.5
2.0098
K
L
M
N
somme des cosinus
43
74
125
118
0.0360
a
b
c
d
somme des sinus²
68.5
53
27.5
31
1.9819
En conclusion la relation d'Archimède est valable pour les quadrilatères inscriptibles
aux
diagonales perpendiculaires ou ayant des angles au centre supplémentaires.
19 4 2025
Recherchons la distance entre le centre O du cercle de rayon r et le point
d'intersection des diagonales du
quadrilatère inscriptible.
Soit le quadrilatère inscriptible ABCD
dans le cercle de centre O.
Les 2 diagonales BD et AC se croisant
en H et donnant les portions g et h sur BD et e et f sur AC. Recherchons la
valeur OH.
AO = OC = r ;
AH = e; OH = K ;
HC = f
Rappelons l'égalité e f = g h
(théorème des diagonales).
Le triangle AHO et OHC permettent
d'écrire (Al-Kashi):
AHOè
AO² = AH² + OH² - 2 AH OH cos AHO ou
r² = e² +
K² - 2 e K cos AHO (1)
OHCè
OC² = HC² + K² - 2 f K cos OHC
r² = f² + K² - 2 f K cos (pi - AHO)
r² = f² + K² + 2 f K cos AHO
(2)
De (1) on tire
cos AHO = (r² - e² - K²) / - 2 e K =
Reportons cette valeur dans (2)
il vient:
r² = f² + K²
+ 2 f K ((r² - e² - K²) / - 2 e K) = f² + K² - f (r² - e² - K²) / e
e r²
= e f² + e K² - f r² +f e² + f K² et
K² (f + e) = e r² - e f² +f r² - f e²
= r² (e + f) - e f ( f + e)
Au final en divisant par f + e:
K² = r² - e f ou K² = r² - g h
Le carré de la distance du centre du
cercle au croisement des diagonales est donc égal au carré du rayon diminué du
produit des portions de l'une ou l'autre diagonale.
On remarquera que K² est nul dans le
cas du carré ou du rectangle.
Jean Pakhomoff 26 4 2025