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Positionnement des points d'heure sur

les ellipses horizontales et verticales

en fonction de la valeur w de l'angle

tabulaire équatorial:

tracé des analemmatiques

par

jean pakhomoff

2è prix international de gnomonique

 

1) - Analemmatiques horizontaux -

L’angle w dont il a été question dans les pages précédentes est ici donné par la relation

tg w = tg t / sin f (fig.1).

fig 1

Soit Oxy un système d’axes orthonormés. Portons sur Ox le grand axe 2a et sur Oy le petit axe 2b.

a et b seront 2 rayons de cercles concentriques en O.

Menons un rayon OF faisant avec l’axe Ox un angle T dans le sens trigonométrique.

Ce rayon coupe le petit cercle en Q. Par F menons la perpendiculaire à Ox et par Q la perpendiculaire à Oy. Ces deux perpendiculaires se coupent en F’. Les coordonnées de F’ sont

x = OF cos T = a cos T

y = OQ sin T = b sin T

Le point F’ est donc sur l’ellipse de centre O, de grand axe 2a et de petit axe 2b, ses coordonnées correspondant à l’équation paramétrique de l’ellipse.

Le point F’ fait avec l’axe Ox un angle T’ tel que tg T’ = y/x = (b/a) tg T.

Considérons maintenant que l’axe Oy est la méridienne et l’axe Ox la direction est-ouest.

Considérons qu’un angle horaire t se compte matin comme aprés-midi de façon arbitraire à partir de la méridienne. Nous aurons ainsi 13 h = 11 h <=> 15° etc...

les points d’heure de l’aprés-midi se trouveront dans les secteurs 1 et 4 du cercle trigonométrique et l’angle T’ à considérer sera égal à p/2-w sachant que tg w = tg t / sin f comme nous l’avons vu ci-dessus.

Les points d’heure du matin se trouvent dans les secteurs 2 et 3 et l’angle T’ à considérer est alors égal à w + p/2. On retrouve dans les deux cas l’angle T par la relation tg T = (a/b) tg T’.

Puis x et y par les équations paramétriques.

Lorsque les points d’heure sont en 1 et 4 il n’y a aucune ambiguïté:

En 1, p/2-w correspond à un angle compris entre 0 et 90°.

En 4, p/2-w sera <0. T sera compris entre 0 et -90° et x et y auront les valeurs correspondantes à la position de F’.

En 2, on aura un angle w + p/2 compris entre 90 et 180°. On rajoutera donc p à la valeur de l’arc tangente.

En 3, w + p/2 sera compris entre 180 et 270°. La calculatrice donnera donc un angle compris entre 0 et 90° et il conviendra d’ajouter aussi 180°.

2) - Analemmatiques verticaux déclinants.

On prend le cas de la figure 2 où le soleil approche du méridien en fin de matinée. Le point d'heure correspondant va alors se trouver dans le cadran 3 du cercle trigonométrique.

fig 2

Nous avons vu qu'ici w est donné par la relation tg w = tg t / (cos dg cos f)

Pour respecter la position sur le triangle trigonométrique nous prendrons pour les valeurs de T' dans les secteurs 3 et 2 correspondant au matin :

T' = 3 p / 2 - w

Les secteurs 1 et 4 correspondent aux heures d'après-midi. Les couchers les plus tardifs se faisant sur le secteur 1. Il nous faudra prendre ici

T' = 3 p / 2 + w (dans le secteur 1 on retranchera 2 p à la valeur trouvée).

d'où ensuite T et x et y.

Dans le programme basic il conviendra de tenir compte de la valeur des angles T de chaque cadran pour apporter les corrections nécessaires aux résultats fournis par l'ordinateur.

Ainsi dans le secteur 1 (heures tardives de l'après-midi) où T' est < p / 2, T est aussi < p / 2 et on peut prendre la valeur fournie par l'ordinateur.

dans le secteur 2 (heures précoces du matin) T' = 3 p / 2 - w est compris entre p et p / 2. L'arc tangente de T rendu par l'ordinateur correspondra à l'angle négatif auquel il conviendra alors de rajouter p.

Dans le secteur 3 (heures de la matinée à partir de 6 heures) T' = 3 p / 2 - w est compris entre p et 3 p / 2. L'arc tangente de T rendu par l'ordinateur sera celui de T - p . Il faudra donc rajouter p au résultat.

Dans le secteur 4 (heures d'après-midi avant 6 heures) T' = 3 p / 2 + w est compris entre 3 p / 2 et 2 p. L'arc tangente de T est rendu comme l'arc le plus petit à savoir T - 2 p. On pourra alors garder cette valeur ou rajouter 2 p.

Selon l'orientation et la latitude du lieu d'implantation du cadran tous les points d'heures ne seront pas utiles. Il convient alors de ne tenir compte que des heures où le cadran sera susceptible d'être ensoleillé.

Recherche des heures utiles du cadran

(généralisation à un astre quelconque de la sphère céleste)

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