Considérations sur le tracé et la
lecture d'un cadran à
heures sidérales
par
Jean Pakhomoff
gnomoniste à Marseille
1- Tracé du cadran
On se servira pour cela de points communs et de points remarquables.
a) tracé par les points communs.
Prenons le cas de la figure 1 qui représente la sphère céleste de pôle P à 18 heure sidérale. L'écliptique est en rouge et l'équateur céleste en vert.
L'horizon NS en noir. g se lève à l'horizon Est, g ' se couche à l'Ouest, le début du Capricorne passe en C au méridien et le début du Cancer passe en K à l'anté-méridien.
fig 1
A 18 heure sidérale l'angle horaire de g sur l'équateur est de 270° et celui du début du Capricorne 0°. Il nous faudra rechercher l'angle horaire de chaque point de début de signe zodiacal pour l'heure sidérale envisagée. On se servira pour cela de la formule classique sin d = sin e sin l (1) où d est la déclinaison, e la valeur d'epsilon et l la longitude écliptique du point envisagé. Connaissant d on tire l'ascension droite en se servant de la relation cos a = cos l / cos d (2). On affine le résultat en donnant à epsilon une valeur approchée de la réalité en considérant sa variation perpétuelle, bien que faible, dûe à différents mouvements de la planète. On se sert de la relation e = ep - k où ep (3) est la valeur d'epsilon au 1/1/1900 (23°27'8.26'') et k = 0.46845'' t (t étant le nombre d'années écoulées depuis le 1/1/1900).
Une fois a connu on tire l'angle horaire h par soustraction de a au temps sidéral envisagé. La connaissance de cet angle horaire et de la déclinaison nous permet alors de calculer les coordonnées x et y de l'intersection du rayon provenant de ce point de l'écliptique et passant par un point de notre style avec le plan du cadran.
2 points quelconques de l'écliptique fixé à une heure sidérale déterminée permettront alors en joignant leur image sur le cadran de donner la ligne de coupe du plan de l'écliptique avec le plan du cadran. Cette ligne sera l'image de notre heure sidérale.
Ainsi, en appliquant (3) au mois de Janvier 2004 on trouve e = 23.43876° (23°26'19'').
On commence par le calcul de l'angle horaire de chaque début de signe zodiacal à 18 h sidérale. Il ne nous reste plus qu'à ajouter 15° à chacun de ces résultats quand on passe à l'heure sidérale suivante.
Ainsi pour le Capricorne à 18 h sidérale on a vu que h = 0°. A 19 h sidérale h = 15°, à 20 h sidérale h = 30° etc...
Pour e = 23.43876 (janvier 2004) on trouve pour le Verseau (l = 300°) à 18 h sidérale a = 302.18115° et h = 327.8188° (32.18115° anté-méridien).
lorsque h>180° je me sers de h (anté-méridien) = 2pi - h pour le calcul des coordonnées x et y précédemment évoqués. Mais on peut utiliser d'autres façons de faire.
à 19 h sidérale h sera égal à 327.8188° + 15° = 342.8188° ou 17.1812° anté-méridien .A 20 h sidérale h sera égal à 357.8188° ou 2.1812° a-m.
A 21 h sidérale h sera égal à 357.8188° + 15° = 372.8188° <=> 12.8188° post-méridien.
Et ainsi de suite...
On peut donc dresser un tableau de toutes les valeurs de ces angles horaires de début de signes zodiacaux pour chaque heure sidérale. Puis ne retenir que les valeurs compatibles avec les heures d'ensoleillement du cadran (et sa taille).
Un programme gw basic permet de trouver ces angles horaires.
Remarque: si un angle horaire donne des x,y hors du cadran on peut faire varier la longitude écliptique en plus ou en moins pour essayer de trouver un point plus favorable au tracé de la même heure sidérale.
b) tracé par les points remarquables.
b1- Points sur la méridienne.
prenons le cas de la figure 1, sphère céleste à 18 heures sidérale: dans ce cas le pôle de l'écliptique est dans le plan méridien et l'écliptique est perpendiculaire à celui-ci. Considérons le cercle horaire post méridien PEP' d'angle horaire t coupant l'écliptique en E. Le triangle sphèrique PEC rectangle en C permet d'écrire
tg t / tg EC = sin (pi/2 +e) = cos e et tg EC = tg t / cos e
Si on prend t de même valeur mais côté Est (anté-méridien) EC garde la même valeur. Donc deux points équidistants sur l'écliptique par rapport au point d'entrée en Capricorne passant au méridien à 18 h sidérale sont également éloignés en temps par rapport à cette heure et passent eux-mêmes au méridien avec la même déclinaison donnée par
sin d = sin e sin (270 + ou - t) = - sin e cos t
Au méridien la hauteur de ces points est égale à pi/2 - f + d où f est la latitude du lieu. Donc les heures symétriques par rapport à 18 h sidérale s'entrecroisent sur la méridienne à cette même hauteur. Ce que l'on va retrouver sur le cadran solaire: la 17è et 19è , 16è et 20è, 15è et 21è... se croisent sur la méridienne.
Si l'on était parti de 6 heure sidérale (passage du cancer au méridien) on aurait eu sin e sin (pi/2 + ou - t) = sin e cos t. Le raisonnement est le même.
La 6è tangente l'arc diurne du tropique du Cancer sur la méridienne alors que la 18è y tangente l'arc du tropique du Capricorne.
b2- Points sur les solstices.
1heure aprés être passé au méridien le point C de début du capricorne se trouve sur l'heure sidérale suivante c'est-à-dire à 19 h sidérale (fig 2).
fig 2
Ce point est alors sur le cercle horaire correspondant à la 13è heure solaire (1ère heure aprés le passage au méridien). 1 heure encore aprés, à la 20è heure sidérale ce point sera sur le cercle horaire de la 14è heure solaire. De même 1 heure avant 18 heure sidérale, à 17 heure sidérale, on trouvait ce point sur la 11è heure solaire (1 heure avant le passage au méridien).
Il y a donc passage de la 19 è heure sidérale par le point commun au solstice d'hiver (arc diurne du Capricorne) et au cercle horaire de la 13è heure solaire. De même passage de la 20è par le point commun à ce même solstice et au cercle horaire de la 14 è heure solaire. Etc...
A 6 heure sidérale le début du Cancer passe au méridien. c'est le coucher de g et le lever de g ' au point Est. Par le même raisonnement que ci-dessus on pourra dire que la 7 è heure sidérale passe par le point commun au solstice d'été (arc diurne du tropique du cancer) et à la 13 è heure solaire; que la 8è heure sidérale passe par le point commun de ce solstice avec le cercle horaire de la 14 è heure solaire; que la 5 è heure sidérale passe par le point commun de ce solstice avec le cercle horaire de la 11 è heure solaire etc...etc...
b3- Points sur l'équinoxiale.
Regardons la figure 3 où est représentée une sphère céleste à 18 heure et 6 heure sidérale. Dans ces 2 cas l'écliptique et l'équateur céleste ont leur intersection sur le grand cercle de l'horizon.
è
fig 3---------------------------------------fig 4
Ici le point Est des levers est seul représenté mais il en va de même pour le point Ouest. Cette intersection commune se fait pour les levers sur le cercle horaire correspondant à la VI è heure solaire (du matin correspondant à l'angle horaire 270°). 1 heure plus tard cette intersection va se faire sur le cercle horaire suivant correspondant à la VIIè heure solaire et on sera alors dans la configuration des heures sidérales suivantes c'est-à-dire 7 ou 19. Donc tout au long de l'équateur céleste et sur le cadran son image gnomonique, c'est-à-dire l'équinoxiale, les heures sidérales s'entrecroisent avec leurs opposées.
Le point commun à la 6è et 18è coupant l'horizon Est sur VI heure solaire du matin et l'horizon Ouest sur VI heure solaire du soir. On voit très bien cela sur le cadran à queue de chat sur le site exposé.
Ensuite les 7è et 19è se couperont sur l'équinoxiale à sa rencontre avec la VIIè heure solaire du matin, puis 8è et 20è avec la VIIIè, 9è et 21è avec la IXè, 10è et 22è avec la Xè,....,les 12è et 24è (0) se coupant au croisement de la méridienne avec l'équinoxiale.....etc....
Ainsi, à partir de quelques points communs et remarquables il nous sera possible de tracer assez facilement un cadran solaire à heures sidérales.
2- Lecture du cadran
Observons la figure 5 où est représentée la zone sud de l'écliptique, zone des déclinaisons négatives à 18 heure sidérale. Le point g est à l'horizon au point cardinal Est et g' au point cardinal Ouest. Quelle que soit la position du soleil sur cet hémi cercle il sera toujours 18 heure sidérale. Que celui-ci se trouve au point cardinal est ou Ouest ou encore passant au Milieu du Ciel avec le début C du Capricorne (270°) à midi le jour de l'hiver.
fig 5--------------------------------fig 6
12 heures plus tard le point g arrive au cardinal Ouest, g' au cardinal Est, la partie des déclinaisons négatives du zodiaque est sous l'horizon, la partie des déclinaisons positives au-dessus et le Cancer (90°) passe au méridien : il est alors 6 heure sidérale. C'est le cas de la figure 6.
Heure aprés heure depuis la 18 è se succédent les configurations zodiacales correspondant aux 19 è, 20 è....24 è (0), 1 ère,...5 è et 6 è heures sidérales.
La 18 è heure sidérale passera par le point cardinal Est de l'horizon à son intersection avec l'équinoxiale et le cercle horaire de la 6 è heure solaire du matin. Côté Ouest cette 18 è heure sidérale passera par le point cardinal Ouest de l'horizon à son intersection avec l'équinoxiale et le cercle horaire de la 6 è heure solaire du soir. Cette 18 è heure sidérale tangentera enfin l'arc diurne du Capricorne à son passage au méridien.
Ces heures correspondant à des déclinaisons négatives seront désignées sur le cadran par des rayons en provenance de dessous l'équateur céleste. On retrouvera leurs intersections avec le plan du cadran en dessus de l'équinoxiale pour les cadrans verticaux et au nord de celle-ci pour les cadrans horizontaux.
Toutes ces heures ne seront pas utilisées en totalité selon les dates entre l'automne l'hiver et le printemps. En effet les jours auront, sauf à l'équinoxe et à l'équateur,, moins de 12 heures pour ces déclinaisons négatives.
La figure 6 montre la partie de déclinaisons positives de l'écliptique à 6 heure sidérale. g est au coucher au cardinal Ouest et g' au lever au cardinal Est. Quelle que soit la position du soleil sur cet hémi-cercle il sera toujours 6 heure sidérale. Que celui-ci se trouve à l'Est, à l'Ouest ou passant au Milieu du Ciel à midi avec le début du Cancer (l = 90°) en K le jour de l'été.
Heure aprés heure depuis la 6 è se succèdent les configurations zodiacales correspondant à la 7 è, 8 è,...12 è,...et 18 è heure sidérale.
Ces heures sont liées aux déclinaisons positives de l'écliptique et dans ce cas les jours hors équinoxe et équateur vont dépasser les 12 heures de durée. Le maximum d'ensoleillement se faisant lorsque la déclinaison est égale à + epsilon. On connaît la durée de l'hémi-jour donnée par l'Arc Semi-Diurne
ASD = arc cosinus (- tg d tg f) . Les configurations de l'écliptique seront alors visibles, illuminées par le soleil, non plus pendant 6 heures mais pendant la durée de l'ASD ou pendant (ASD - 6) heures supplémentaires.
Exemple pour Marseille : prenons f = 43.3° et epsilon = 23°26'19'' (janvier 2004) on trouve ASD = 114.113° ou 7.6 heures. Donc on pourra lire le cadran 7.6 - 6 = 1.6 heure de plus le matin et 1.6 heure de plus le soir ce qui correspondra en définitive à 6 - 1.6 = 4.4 heure sidérale le matin et 18 + 1.6 = 19.6 heure sidérale le soir.
On pourra donc lire la 5 è heure sidérale et la 19 è dans tous les cas de déclinaisons positives ou négatives. Mais les rayons provenant du dessus de l'équateur céleste, leurs intersections avec le plan du cadran se feront au-dessous de l'équinoxiale pour les cadrans verticaux et au Sud de celle-ci pour les horizontaux.
La 6 è heure sidérale passe par le point cardinal est de l'horizon à son intersection avec l'équinoxiale et le cercle horaire de la 6 è heure solaire du matin. De même elle passe par le point cardinal Ouest de l'horizon à son intersection avec l'équinoxiale et le cercle horaire de la 6 è heure solaire du soir. Cette 6 è heure sidérale tangente l'arc diurne du cancer à son passage au Milieu du Ciel.
En résumé les heures sidérales se lisent sur un cadran solaire en automne et hiver à partir de la 18 è et jusqu'à la 6 è en passant par la 24 è (0) sur la partie sus-équinoxiale du cadran vertical ou sur la partie au Nord de l'équinoxiale sur le cadran horizontal.
Au printemps et en été elles se lisent à partir de 6 heures ou à partir de la plus petite heure avant 6 heures en fonction de l'ASD et jusqu'aprés la 18 è en passant par la 12 è ce sur la partie sous-équinoxiale si le cadran est vertical, sur la partie au Sud de l'équinoxiale si le cadran est horizontal.
Il conviendra d'apporter les corrections nécessaires pour l'hémisphère sud.
14 Mars 2004
retour au cadran à heures sidérales des Caillols
_______Latitude 43° 17' 51'' nord--_--____---------Latitude 43° 21' 4'' nord
Longitude -5° 27' 51'' est______________ Longitude -5° 24' 50'' est
Déclinaisons gnomoniques
------------8° 17' 20'' sud-ouest----------------54° 50' 13'' nord est (234° 50' 13'')
