Les cadrans solaires inclinés pyramidaux
(suite 7) - Les inclinants
jean pakhomoff
d)- T = pi/2+d , H < pi/2+d (figure 5)
Soit donc le vertical azimutal passant par O et parallèle à PO’P’. Il est donc perpendiculaire au dièdre
KO’’T’ et coupe l’incliné selon l’horizontale ZZ’ ( ZZ’ est parallèle à KO’ par définition et de même direction
car perpendiculaires toutes deux au dièdre KO’’T’).
La verticale abaissée depuis O coupe ZZ’ en T’’.
Le rayon contenu dans ZOZ’ coupe le cadran en V sur ZZ’.
Dans OT’T’’ rectangle en O , OT’’T’ = O’’KT’ = i (angles correspondants) et OT’ / OT’’ = tg i
OT’’ = OT’ / tg i
Dans OVT’’ rectangle en T’’ on a OT’’ / VT’’ = tg h ==> VT’’ = OT’’ / tg h
C’est notre valeur xV de ce cas particulier.
Comme dans le cas précédent on écrira que la ligne de XII heures O’S coupe KT’ en un point indéterminé
que nous appelons W. On peut écrire dans O’KW rectangle en K
KW / O’K = tg V ==> KW = O’K tg V O’K = AO’’ = l cos f sin d et en remplaçant tg V par sa valeur
KW = l cos f sin d / sin i tg d = l cos f cos d / sin i
Comparons cette valeur à KT’’ : KT’’ = T’’T’ – KT’
KT’ cos i = O’’K = AO’ = l sin f et KT’ = l sin f / cos i = l sin f tg i / sin i
T’’T’ = OT’ / sin i = (l sin f tg i + l cos f cos d) / sin i et
KT’’ = (l sin f tg i + l cos f cos d – l sin f tg i) / sin i = l cos f cos d / sin i
KT’’ = KW <=> W et T’’ sont un seul et même point et l’on pourra énoncer que :
la ligne de XII heures passe par le point d’intersection de la verticale abaissée du bout du style sur le plan de l’incliné.
ST’T’’ rectangle en T’ ==> T’T’’ = ST’’ sin V et ST’’ = T’T’’ / sin V
O’T’’ = ST’’ – O’S (avec O’S= l sin f / sin j)
C’est là notre valeur yV de ce cas particulier.
Recherchons l’angle horaire correspondant Hi = SO’V :
VO’T’’ ==> O’T’’ / sin (pi-(V+pi-Hi) = O’T’’ / sin (Hi-V) = VT’’ / sin (pi-Hi) et
- sin V cos Hi VT’’ + sin Hi cos V VT’’ = sin Hi O’T’’ en divisant par cos Hi il vient
- sin V VT’’ + tg Hi cos V VT’’ = tg Hi O’T’’
tg Hi (O’T’’ - cos V Vt’’) = - sin V VT’’ et
tg Hi = - sin V VT’’ / (O’T’’ - cos V VT’’)
Nous avons là l’angle horaire tabulaire sur l’incliné correspondant à l’instant de passage du soleil dans
le plan du cadran vertical origine.
Le point V étant sur Z’ et ZZ’ sous O’K, V est sous l’horizontale O’K.
e)- T < pi/2 + d , H < pi/2 + d (figure 6)
Le cadran est éclairé si la condition h > j’ est réalisée.
L’angle tabulaire horizontal est GOS et l’angle tabulaire azimutal correspondant est BOS.
L’angle tabulaire Hi sur l’incliné est SO’V. V est au-dessous de l’horizontale O’K’ car on a vu qu ’il l’était
déjà dans le cas où T>pi/2+d, H<pi/2+d où la hauteur du soleil était infèrieure au cas présent.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi+V)) et
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (f+j) et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2-d) et GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (d-H)
Le reste des calculs est identique au cas T>pi/2+d , H<pi/2+d d’où même formule pour tg Hi :
tg Hi = sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (d-H) + sin (f+j) sin H cos V)
b) – Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’
et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’’BB’ = AB’O = pi-(T+pi/2-d) = d-T+pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / cos (d-T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = cos (d-T) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’V ( = GV-O’G).
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi/2-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-d+T)) = OS / cos (T-d)
OB = OS cos d / cos (T-d) = l sin (f+j) cos d / sin j cos (T-d)
BV = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (f+j) cos d sin h / sin (h-j’) sin j cos (T-d)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGV ==> BGV = pi-SGO’ = pi-(pi-(V+pi-Hi)) = pi-(Hi-V)
BV / sin (pi-(Hi-V)) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (Hi-V) d’où
GV = l sin (f+j) cos d sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T-d) sin (Hi-V)
O’V = GV-O’G
Puis xV = O’V sin (pi-Hi) = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos (pi-Hi) = en partant de O’
yV(s) = O’ S - yV(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et yV(o’) < 0 (à tracer vers le bas sur SO’).