Les cadrans solaires inclinés pyramidaux (suite 6)
3è partie
Les cadrans inclinés inclinants pyramidaux
par jean pakhomoff
Nous avons étudié dans les parties précédentes les inclinés déclinants pyramidaux.
C’est- à - dire ceux qui, inclinés vers le sud, regardent vers le ciel.
Nous allons ici étudier ceux qui regardant vers le ciel sont inclinés au nord.
Nous nous servirons des mêmes conventions. Nous étudierons l’incliné inclinant Ouest sachant que l’on retrouve
les mêmes équations pour l’inclinant Est selon :
iIWLW <=> iELE et iWLE <=> iELW.
Nous pouvons remarquer ici que quelle que soit la valeur de l’inclinaison i l’axe du monde reste du même
côté du cadran et nous n’aurons donc pas à envisager la valeur iM. (figure A de la première partie).
I- Etude du style. (Fig 1)
On va retrouver les mêmes éléments géométriques que dans les cas précédents.
Ainsi O’SL = V, ASO’ = j, AO’L = O’’KT’ = i. OO’ = l = longueur du style.
Le cas de figure choisi est celui d’un incliné inclinant à l’ouest d’un angle d.
On part du vetical origine O’PP’ que l’on fait basculer de i sur l’horizontale de O’PP’ passant par O’
de telle façon que PP’ vienne en QQ’ dans le plan horizontal PP’Q’Q : PP’ balaie OA et le prolongement de OA
coupe QQ’ en S. On retrouve les dièdres AO’L et O’’KT’ d’angle i. O’S trace du plan méridien sur l’incliné est la ligne de XII heures.
On peut déjà voir que selon la valeur de i le cadran pourra être éclairé toute la journée selon la latitude
et la déclinaison du soleil : conditions que nous étudierons plus loin.
O’OA est égal à la latitude f. A est la projection de O sur PP’ dans le plan méridien et O’’ la projection orthogonale de O sur PP’.
ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos d et le dièdre O’AL rectangle en A donne
AL / O’A = tg i d’où AL = l sin f tg i = AS cos d et AS = l sin f tg i / cos d
O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos i
a) Calcul des angles O’SA = j et O’SL = V.
O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos d / tg i
ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent
LS = AS sin d = l sin f tg i tg d
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) /( l sin f tg i tg d )= 1 / sin i tg d
On aura de même O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale OS et un angle V avec l’horizontale
passant par S dans le plan de l’incliné QO’Q’.
Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné
que nous allons maintenant calculer.
Projetons O en O’’ sur le vertical PO’P’ ; KO’’ est la verticale passant par O’’, K étant pris sur l’horizontaleK’O’.
Le plan OT’T’’ est le prolongement du dièdre O’’KT’ et T’T’’ est la coupe de ce plan sur l’incliné.
Menons dans ce plan OT perpendiculaire à l’incliné donc à toutes ses droites et en particulier à T’T’’ et à O’T.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T.
On a O’’T’ / O’’K = tg i et O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i
OT’ = OO’’ + O’’T’ = l cos f cos d + l sin f tg i
KT’O = pi/2 –i = OT’T d’où TOT’ = i
OT = OT’ cos i = l cos f cos d cos i + l sin f sin i
TT’ = OT’ sin i = l cos f cos d sin i + l sin f tg i sin i
KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i Et KT = KT’ - TT’
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance
O’K = AO’’ = l cos f cos d de la ligne de plus grande pente O’L.
Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T pour construire notre style secondaire O’TO.
OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )
II- Coordonnées x et y de V. Nous avons choisi comme cas de figure l’iIW.
1)- Lignes ouest du matin.
a)- H > pi/2+d ; T > pi/2+d (figure 2). C’est ce que nous nommons les iIWLW.
a1) Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.
On peut voir sur la figure 2 un rayon de soleil d’angle horaire t donnant sur l’horizon f l’angle tabulaire H.
Le vertical azimutal coupe l’horizon selon un angle T et le soleil dans ce plan azimutal fait avec l’horizon un angle de hauteur h.
Le plan du cercle horaire coupe l’incliné selon OGO’ et le plan azimutal coupe l’incliné selon OBK’
(le cadran vertical correspondant est coupé selon OB’K’).
Il nous faut calculer l’angle horaire tabulaire GO’S = Hi.
O’AS permet d’écrire O’S sin j = O’A = l sin f et O’S = l sin f / sin j
O’GS permet d’écrire GS / sin Hi = O’S / sin (pi – (pi-V+Hi) = O’S / sin (V-Hi)
Et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OO’S permet d’écrire OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin (j+f)
Et OS = l sin (j+f) / sin j
OGS permet d’écrire GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi/2+d+pi-H)) = OS / - cos (H-d)
Et GS = l sin(j+f) sin H / - cos (H-d) sin j = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) d’où
- Sin f sin Hi cos (H-d) = sin (j+f) sin H sin (V-Hi)
Posons -sin f cos (H-d) = A et sin (j+f) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (V-Hi) = B sin V cos Hi - B sin Hi cos V. Divisons par cos Hi. Il vient
A tg Hi = B sin V - B cos V tg Hi
tg Hi ( A + B cos V) = B sin V et
tg Hi = B sin V / (A + B cos V) ou
tg Hi = sin (j+f) sin H sin V / (- sin f cos (H-d) + sin (j+f) sin H cos V)
a2)- x et y de V.
Le vertical azimutal coupe l’horizon et l’incliné selon OBK’ et le cadran vertical PO’P’ selon B’K’.
Le rayon solaire passant par O arrive en P sur l’incliné à l’intersection des 3 plans (azimut, cercle horaire, cadran incliné).
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec BQ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi – (pi-T+pi/2+d) = T-d-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / - cos (T-d)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K / B’B = l sin f / (l sin f tg I / - cos (T-d)) et
tg j’ = - cos (T-d) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i-Calcul de O’V (O’G - GV).
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (j’+h) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi2+d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2+d+pi-T)) = OS / - cos (T-d)
OB = OS cos d / - cos (T-d) = l sin (j+f) cos d / - sin j cos (T-d)
BV = OB sin h / sin (j’+h) = l sin (j+f) cos d sin h / - sin (j’+h) sin j cos (T-d)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi
En prenant la première valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)
BGV ==> BGV = SGO’ = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BV / sin(V-Hi)) = GV / sin (pi-U) et GV = BV sin U / sin (V-Hi) d’où
GV = l sin (j+f) cos d sin h sin U / - sin (j’+h) sin j cos (T-d) sin (V-Hi)
O’V = O’G - GV
Puis xV = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos Hi en partant de O’ vers S.
yV(s) = O’S- yV(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Nous remarquons que dans ce cas le point V se situe entre les doites O’K’ et QQ’ car B’K’ ne peut être qu’à l’ouest de
O’A et BK’ ne peut donc couper O’G qu’au dessus de O’K’.
b)- T>pi/2 + d, H = pi/2 + d (figure 3)
On a vu que dans ce cas la ligne tabulaire est l’horizontale passant par O’ et que le rayon solaire dans son
cercle azimutal OBV coupe en V cette horizontale ; V étant commun au cercle horaire OO’V,
au cercle azimutal OBV et à l’incliné O’QQ’.
AOB’ ==>AB’/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2+d) = AO / - cos (T-d)
AB’ = O’V = xV(o’) = l cos f sin T / - cos (T-d) Ici yV(o’) = 0 , yV(s) = O’S et Hi = V
c)- T > pi/2+d, H < pi/2+d figure 4
Le soleil est devant le vertical origine donc l’incliné est éclairé dans tous les cas.
1)- Calcul de tg Hi (Hi = SO’V)
Ici Hi est le supplément de GO’S. Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en V par où passe le rayon solaire OV.
Le point V se trouvera sous l’horizontale O’K’ car K’ étant à l’ouest de O’ , BK’ ne peut couper GV que par
son prolongement K’V sous O’K’.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + V) =
O’S / sin (Hi-V) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+f)) = OS / sin(f+j) (AOO’ = f)
et OS = l sin (f+j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi/2-d)) = OS / sin (d-H+pi/2) = OS / cos (d-H)
et GS = l sin (f+j) sin H / sin j cos (d-H) = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V) d’où
sin Hi sin f cos (d-H) = sin H sin (Hi-V) sin (f+j)
Posons sin f cos (d-H) = A et sin (f+j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (Hi-V) = B sin V cos Hi – B sin Hi cos V et en divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = B sin V – B cos V tg Hi
tg Hi (A + B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = sin (f+j) sin H sin V / (sin f cos (d-H) + sin (f+j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’. De même le rayon solaire
passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’ et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi-(pi-T+pi/2+d) = T-d-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / -cos (T-d)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (T-d) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’V ( = GV-O’G).
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (h+j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi/2+d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2+d+pi-T)) = OS / - cos (T-d)
OB = OS cos d / - cos (T-d) = - l sin (f+j) cos d / sin j cos (T-d)
BV = OB sin h / sin (h+j’) = - l sin (f+j) cos d sin h / sin (h+j’) sin j cos (T-d)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGV ==> BGV = SGO’ = pi-(V+pi-Hi) = Hi-V
BV / sin (Hi-V) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (Hi-V) d’où
GV = - l sin (f+j) cos d sin h sin U / sin (h+j’) sin j cos (T-d) sin (Hi-V)
O’V = GV-O’G
Puis xV = O’V sin (pi-Hi) = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos (pi-Hi) = en partant de O’
yV(s) = O’ S - yV(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et yV(o’) < 0 (à tracer vers le bas sur SO’).