Les cadrans solaires
inclinés pyramidaux (suite 5)
par jean pakhomoff
Les inclinés déclinants pyramidaux (i > iM)
2 – Les lignes du soir. C’est ce que nous nommons l’iDWLE
(incliné déclinant ouest lignes est). L’hémi-cadran vertical origine fait donc entre sa partie ouest et
le plan méridien un angle égal à pi/2+d.
a)- Cas où T<pi/2+d et H<pi/2+d.
Observons la figure 6.
a1) - Calcul de Hi.
On connaît O’S = l sin f / sin j. On a Hi = SO’G.
GSO’ ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(V+Hi)) = O’S / sin (V+Hi)
et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2-d+H)) = OS / sin (pi/2 +d-H) = OS / cos (d-H)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi/2-j-(pi/2-f)) = OS / sin (f-j)
et OS = l sin (f-j) / sin j et
GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (d-H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) d’où
sin (f-j) sin H sin (V+Hi) = sin f sin Hi cos (d-H)
sin(f-j) sin H (sin V cos Hi + cos V sin Hi) = sin f sin Hi cos (d-H) divisons par cos Hi
sin (f-j) sin H (sin V + cos V tg Hi) = sin f tg Hi cos (d-H)
tg Hi (sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (d-H) = - sin (f-j) sin H sin V et
tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / (sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (d-H))
a2)- x et y de V.
Calcul de j’.
B’’BB’==> B’’BB’ = SB0 = pi – (pi/2-d+T) = pi/2 + (d-T)
B’’BB’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’’BB’ = B’’B’ = AL = l sin f tg i
et BB’ = l sin f tg i / cos (d-T)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / BB’ = cos (d-T) / tg i
Calcul de U.
K’B’ = K’B sin j’ ==> K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’K’ / BK’
B’K’ / cos i = B’’K’ = l sin f / cos i et sin u = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
- Calcul de O’V.
OBS ==> OB / sin (pi/2-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-d+T)) = OS / cos (d-T)
OB = OS cos d / cos (d-T) = l sin (f-j) cos d / sin j cos (d-T)
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’)
BV = OB sin h / sin (h+j’) = l sin (f-j) cos d sin h / sin (h+j’) sin j cos (d-T)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi
O’G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin Hi sin (V+Hi) = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGV ==> BGV = pi-O’GS = pi-(pi-(V+Hi)) = V+Hi
BV / sin (V+Hi) = GV / sin U ==> GV = BV sin U / sin (V+Hi)
GV = l sin (f-j) cos d sin h sin U / sin (h+j’) sin j cos (d-T) sin (V+Hi)
O’V = O’G – GV
xV = O’V sin Hi yV(o’) = O’V cos Hi (de O’ vers S)
yV(s) = O’S – yV(o’) (de S vers O’)
b) – Cas où T = pi/2 + d regardons la figure 7.
On retrouve le même plan azimutal que dans le cas précédent mais V sur ZZ’ est cette fois à l’est de la ligne
de XII heures SO’. On connaît déjà yV(o’) = O’T’’ = O’S-ST’’.
Pareillement xV = OT’’ / tg h
- Valeur de Hi = SO’V.
VO’T’’ ==> O’T’’ / sin (pi-(V+Hi)) = O’T’’ / sin (V+Hi) = VT’’ / sin Hi et
sin V cos Hi VT’’ + cos V sin Hi VT’’ = O’T’’ sin Hi divisons par cos Hi
sin V VT’’ + cos V tg Hi VT’’ = O’T’’ tg Hi
tg Hi (O’T’’ – VT’’ cos V) = VT’’ sin V
tg Hi = VT’’ sin V / (‘O’T’’ – VT’’ cos V)
c) – Cas où T > pi/2+d et H < pi/2+d. (Fig 8). Le cadran est éclairé si h>j’.
- Calcul de tg Hi. j, V et O’S sont connus.
O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(V+Hi)) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
De même on a pour les triangles OGS et OO’S les mêmes rapports que dans le cas où
T < pi/2 + d d’où même deuxième valeur de GS et on retrouve la même formule
tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / (sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (d-H))
- Calcul de x et y de V.
- Calcul de j’.
B’BB’’ ==>B’BB’’ = SBO = pi-(pi-(pi/2-d)+pi-T) = T-d-pi/2 (AOB = T et AOG = pi-H)
BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / - cos (T-d)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / B’B = - cos (T-d) / tg i
- Calcul de U.
BK’ sin j’ = B’K’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et
sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
- Valeur de O’G et GV.
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’)) = OB / sin (h-j’)
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-d)) = OB / cos d = OS / sin SBO = OS / - cos (T-d)
OB = OS cos d / - cos (T-d) = l sin (f-j) cos d / - cos (T-d) sin j
BV = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (f-j) cos d sin h / - cos (T-d) sin j sin (h-j’)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi
O’G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V+Hi) sin Hi = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGV ==> BGV = O’GS = pi-(V+Hi)
BV / sin (pi-(V+Hi)) = BV / sin (V+Hi) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V+Hi)
GV = l sin (f-j) cos d sin h sin U / - cos (T-d) sin j sin (V+Hi) sin (h-j’)
O’V = O’G – GV
xV = O’V sin Hi yV(o’) = O’V cos Hi à partir de O’
yV(s) = O’S – yV(o’) à partir de S
d) - Cas où H = pi/2 +d. C’est ce que montre la figure 9.
Nous avons ici la même ligne horaire que pour le cas préc
edent (H=pi/2-d). C’est l’intersection du cercle horaire avec l’horizon dans la même direction que
l’orientation du cadran. Un rayon solaire dans son azimutal perce cette ligne en V.
V et K’ sont confondus.
AOB’ ==>AB’/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2+d) = AO / - cos (T- d)
AB’ = O’V = xV(o’) = l cos f sin T / - cos (T- d) i ci yV = 0 et Hi = pi – V
e) – Cas où T>pi/2+d et H> pi/2+d. C’est le cas de la figure 10.
j, V et O’S sont connus.
1)- Calcul de tg Hi
Ici Hi est le supplément de GO’S. Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en V par où passe le rayon solaire OV.
Si nous menons la perpendiculaire VZ sur QQ’ nous remarquons que dans ZVB rectangle en Z on a
ZVB = pi/2-U et que dans ZVG on a ZVG = pi/2-ZGV.
Or ZVB < ZVG et pi/2-U < pi/2-ZGV <=> U > ZGV et GV passant par O’ de l’horizontale K’O’ et
BV par K’ à l’est de O’ sur cette même horizontale <=> l’intersection de BV et de GV a lieu sous cette horizontale.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + pi-V)) =
O’S / sin (Hi+V-pi) et GS = l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f)
et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-d)) = OS / sin (d+H-pi/2) = OS / -cos (d+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (d+H) = l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V) d’où
-sin Hi sin f cos (d+H) = - sin H sin (Hi+V) sin (f-j)
Posons sin f cos (d+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (Hi+V) = B sin V cos Hi + B sin Hi cos V et en divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi (A - B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (d+H) - sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’. De même le rayon solaire
passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’ et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’’BB’ = pi-(pi-T+pi-(pi/2-d)) = T-d-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’’BB’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / -cos (T-d)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (T-d) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’V ( = GV-O’G).
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-d)) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi-(pi/2-d)+pi-T)) = OS / - cos (T-d)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos d / - cos (T-d) = - l sin (f-j) cos d / sin j cos (T-d)
BV = OB sin h / sin (h-j’) = - l sin (f-j) cos d sin h / sin (h-j’) sin j cos (T-d)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (d+H) sin j ) / sin Hi et
O’G = - l sin V sin(f-j) sin H / cos (d+H) sin j sin Hi
En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / - sin j sin (Hi+V)
BGV ==> BGV = SGO’ = pi-(pi-V+pi-Hi) = Hi+V-pi
BV / sin (Hi+V-pi) = GV / sin (pi-U) et GV = BV sin U / sin (Hi+V-pi) = BV sin U / - sin (Hi+V)
GV = l sin (f-j) cos d sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T-d) sin (Hi+V)
O’V = GV-O’G
Puis xV = O’V sin (pi-Hi)
yV(o’) = O’V cos (pi-Hi) en partant de O’
yV(s) = O’ S + yV(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Ici Hi est constamment > pi/2car l’angle compris entre O’S et l’horizontale est déjà > pi/2 et on a vu que
O’V se situait sous l’horizontale. Sur SO’ les points C se trouveront donc toujours sous O’.
Rappelons que les équations des iDWLW et iDELE sont semblables de même que celles des iDWLE et iDELW.
Nous allons maintenant voir dans la 3è partie le cas des inclinés inclinants pyramidaux.