Les cadrans solaires
inclinés declinants pyramidaux. (suite 4)
2è partie (i > iM)
par Jean Pakhomoff
Les conventions adoptées pour la première partie sont également retenues ici.
Nous allons étudier maintenant le 2è cas , celui où l’angle i d’inclinaison est devenu plus grand que iM.
(nous avons vu que tg iM = cos d / tg f). Ceci correspond au cas n° 6 de notre précédente étude.
La figure 1 montre ce type de cadran.
On incline le vertical origine PO’P’ d’un angle i en le faisant basculer en QO’Q’ sur l’horizontale passant par O’.
Le style OO’ de longueur l sort vers le ciel sur ce mur incliné comme une pyramide et comme dans le cas
précédent envisageons le cas du déclinant ouest en commençant d’abord par les lignes ouest du matin.
I – Cas de l’DWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest).
Sur la figure 1 est représenté un cadran incliné déclinant d’un angle d (déclinaison gnomonique du cadran)
vers l’ouest. OO’ axe du monde et style du cadran.
A projection de O sur le cadran vertical origine dans le plan méridien. Le style principal est alors OAO’ où
O’OA est l’angle égal à la latitude f.
O’’ projection orthogonale de O sur le cadran vertical origine et K projection de O’’ sur l’horizontale passant
par O’ et commune au plan du cadran vertical origine PO’P’ et au plan de lincliné O’QQ’.
Soit PP’ l’horizontale passant par A.
Faisons pivoter d’un angle i le cadran vertical PO’P’ autour de O’K.
On obtient alors le plan QO’Q’ de notre cadran incliné, la droite QQ’ étant l’horizontale de QO’Q’ balayant la
droite OA. QQ’ coupe le prolongement de OA en S.
O’S est alors la ligne de coupe du plan méridien sur QO’Q’, autrement dit la ligne de XII heures.
Soit T’ l’intersection du prolongement de OO’’ avec QQ’.
OO’’ perpendiculaire à PO’P’ est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en particulier
à la verticale KO’’ et à l’horizontale PP’ puis à QQ’ parallèle à PP’ dans le plan horizontal QPP’Q’
(contenant les horizontales PP’ et AS).
Le triangle KO’’T’ rectangle en O’’ perpendiculaire aux parallèles PP’ de POP’ et QQ’ de QOQ’
est le dièdre d’angle i de ces 2 plans.
A – Etude du style.
La projection de A sur QQ’ se fait en L et donne le dièdre AO’L d’angle i.
ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos d et le dièdre O’AL rectangle en A donne
AL / O’A = tg i d’où AL = l sin f tg i = AS cos d et AS = l sin f tg i / cos d
O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos i
Calculons les angles O’SA = j et O’SL = V.
O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos d / tg i
ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent
LS = AS sin d = l sin f tg i tg d
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i tg d = 1 / sin i tg d
On aura de même O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V
Remarquons que dans ASO’ , O’S = l sin f / sin j et qu’en comparant les 2 valeurs de O’S on conclue que
sin j = cos i sin V et donc sin V = sin j / cos i
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale et un angle V avec
l’horizontale passant par S dans le plan de l’incliné QO’Q’.
Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné
que nous allons maintenant calculer.
Dans le dièdre O’’KT’ vu ci-dessus abaissons une perpendiculaire de O sur le plan O’QQ’.
Elle coupe T’K en T.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T puisque OT est perpendiculaire à QO’Q’ et donc à toutes
les droites de ce plan et en particulier à O’T. On a O’’T’ / O’’K = tg i et
O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i
OT’ = O’’T’ – OO’’ = l sin f tg i – l cos f cos d
KT’O = pi/2 – i = OT’T d’où TOT’ = i
OT = OT’ cos i = l sin f tg i cos i – l cos f cos d cos i = l sin f sin i - l cos f cos d cos i
TT’ = OT’ sin i = l sin f tg i sin i – l cos f cos d sin i
KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i
Et KT = KT’ - TT’
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance
O’K = AO’’ = l cos f cos d de la ligne de plus grande pente O’L.
Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T pour construire notre style secondaire O’TO.
OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )
B- Coordonnées x et y du point C intersection d’un rayon solaire avec le plan de l’incliné déclinant pyramidal (i>iM).
1- Lignes du matin pour l’iDW. (iDWLW).
Observons la figure 2. C’est le cas où T<pi/2+d et H<pi/2+d.
a)- Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.
On retrouve les mêmes éléments donnant des triangles de même appellation que dans la première partie de l’étude.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j
O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(Hi + pi-V) = O’S / sin (V-Hi) et
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f)
et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi-(pi/2-d))) = OS / sin (pi/2-(d+H)) = OS / cos (d+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (d+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) d’où
sin Hi sin f cos (d+H) = sin H sin (V-Hi) sin (f-j)
Posons sin f cos (d+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (V-Hi) = B sin V cos Hi – B sin Hi cos V et en divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = B sin V – B cos V tg Hi
tg Hi (A + B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (d+H) + sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’
et de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi/2-(d+T)
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (d+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = cos (d+T) / tg i
- Calcul de U.
K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine PO’P’) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) et sin U = sin j’ / cos i
- Calcul de O’V (O’G –VG).
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2+d+T)) = OS / cos (d+T)
d’où OB = OS cos d / cos (d+T) = l sin (f-j) cos d / sin j cos (d+T)
BV = OB sin h / sin (h+j’) = l sin (f-j) cos d sin h / sin j sin (h+j’) cos (d+T)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi = l sin (f-j) sin H / sin j cos (d+H) / sin Hi
et OG’ = l sin V sin (f-j) sin H / sin j cos (d+H) sin Hi
En prenant l’autre valeur de GS on a
O’G = l sin V sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) sin Hi = l sin V sin f / sin j sin (V-Hi)
SGO’ = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BGV ==> BGV = pi-(V-Hi) et BVG = pi-(U+pi-(V-Hi)) = V-Hi-U
BV / sin (pi-(V-Hi) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V-Hi) d’où
GV = l sin (f-j) cos d sin h sin U / sin j sin (h+j’) cos (d+T) sin (V-Hi)
et O’V = O’G-VG
On aura ici à partir de O’ sur la ligne de XII heures et vers le haut :
xV = VC = O’V sin Hi
yV(o’) = O’C = O’V cos Hi
A partir de S vers O’ on a yV(s) = O’S – yV(o’)
c) – 3 cas particuliers.
1)- Le soleil est dans le plan du cadran vertical origine (T = pi/2-d). Examinons la figure 3.
Soit donc le vertical azimutal passant par O et parallèle à PO’P’. Il est donc perpendiculaire au dièdre KO’’T’
et coupe l’incliné selon l’horizontale ZZ’ ( ZZ’ est parallèle à KO’ par définition et de même direction car
perpendiculaires toutes deux au dièdre KO’’T’).
La verticale abaissée depuis O coupe ZZ’ en T’’.
Le rayon contenu dans ZOZ’ coupe le cadran en V sur ZZ’.
Dans OT’T’’ rectangle en O , OT’’T’ = O’’KT’’ = i (angles correspondants) et OT’ / OT’’ = tg i
OT’’ = OT’ / tg i
Dans OVT’’ rectangle en T’’ on a OT’’ / VT’’ = tg h ==> VT’’ = OT’’ / tg h
C’est notre valeur xV de ce cas particulier.
Comme dans le cas précédent on écrira que la ligne de XII heures O’S coupe KT’ en un endroit indéterminé
que nous appelons W. On peut écrire dans O’KW rectangle en K
KW / O’K = tg V ==> KW = O’K tg V O’K = AO’’ = l cos f sin d et en remplaçant tg V par
sa valeur KW = l cos f sin d / sin i tg d = l cos f cos d / sin i
Comparons cette valeur à KT’’ : KT’’ = KT’-T’’T’
KT’ cos i = O’’K = AO’ = l sin f et KT’ = l sin f / cos i = l sin f tg i / sin i
T’’T’ = OT’ / sin i = (l sin f tg i – l cos f cos d) / sin i et
KT’’ = (l sin f tg i - l sin f tg i + l cos f cos d) / sin i = l cos f cos d / sin i
KT’’ = KW <=> W et T’’ sont un seul et même point et l’on pourra énoncer que :
la ligne de XII heures passe par le point d’intersection de la verticale abaissée
du bout du style avec le plan de l’incliné.
ST’T’’ rectangle en T’ ==> T’T’’ = ST’’ sin V et ST’’ = T’T’’ / sin V
O’T’’ = O’S-ST’’ (avec O’S= l sin f / sin j)
C’est là notre valeur yV de ce cas particulier.
Recherchons l’angle horaire correspondant :
VO’T’’ ==> O’T’’ / sin (pi-(Hi+pi-V) = O’T’’ / sin (V-Hi) = VT’’ / sin Hi et
sin V cos Hi VT’’ – sin Hi cos V VT’’ = sin Hi O’T’’ en divisant par cos Hi il vient
sin V VT’’ – tg Hi cos V VT’’ = tg Hi O’T’’
tg Hi (O’T’’ + cos V Vt’’) = sin V VT’’ et
tg Hi = sin V VT’’ / (O’T’’ + cos V VT’’)
Nous avons là l’angle horaire tabulaire sur l’incliné correspondant à l’instant de passage
du soleil dans le plan du cadran vertical origine.
Jusque là les lignes horaires sont au-dessus de l’horizontale O’K car les intersections des plans
des cercles horaires et des cercles azimutaux se font entre les horizontales QQ’ et O’K.
2)- Le soleil est derrière le cadran vertical origine (T>pi/2-d)
a)- Cas où H angle tabulaire horizontal est < pi/2-d. La figure 4 montre un tel cas.
Le vertical azimutal d’angle tabulaire T coupe l’incliné selon BK’ et le vertical origine selon B’K’.
Le cercle horaire OGO’ d’angle t et d’angle tabulaire H coupe l’incliné selon GO’ et le rayon solaire
passant par O et commun à ces deux plans passe par leur intersection en V avec l’incliné. Le cadran est éclairé
si la hauteur h du soleil est supèrieure à j’.
Il n’y a pas de changement pour le calcul de tg Hi.
Dans SOB on a BSO = pi/2-d ; SOB = pi-T ; SBO = d+T-pi/2 = B’BB’’
B’BB’’ rectangle en B’’ (dièdre K’B’B’’) ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i
sin (d+T-pi/2) = -cos(d+T) et BB’ = l sin f tg i / -cos(d+T)
K’B’B ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / -cos(d+T)) = - cos(d+T) / tg i
K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et sin U = B’’K’ / BK’ =
(l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
Calcul de O’V (= O’G-VG)
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’) et BV = OB sin h / sin (h-j’)
OBS ==> OB / sin (pi/2-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-d+pi-T))= OS / sin (d+T-pi/2) et
OB = OS cos d / - cos (d+T) = - l sin (f-j) cos d / sin j cos (d+T) et
BV = - l sin (f-j) cos d sin h / sin j sin (h-j’) cos (d+T)
O’G a la même valeur que dans le cas où T<pi/2-d et on prendra
O’G = l sin V sin f / sin j sin (V-Hi)
BGV ==> BGV = SGO = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BV / sin (V-Hi) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V-Hi)
GV = - l sin (f-j) cos d sin h sin U / sin j sin (h-j’) cos (d+T) sin (V-Hi)
D’où O’V = O’G-VG et
xV(o’) = VC = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos Hi
yV(s) = O’S – yV(o’)
b)- Cas où H = pi/2-d
Nous avons étudié ce cas dans la première partie. On a vu que la ligne horaire tabulaire est l’horizontale
passant par O’ sur le cadran.
Mais ici le cadran , si h>j’ , peut être éclairé car le soleil est au-dessus du cadran
La figure 4a montre bien cela. OZD cercle bissecteur, L’Z’L grand cercle correspondant au plan du cadran de
la première partie de notre étude (i<im), L’PZ’L grand cercle horaire dans l’orientation du cadran,
L’Z’’’L grand cercle correspondant au cadran de la présente étude i>im.
le plan de l’incliné (en vert) est sous le plan du cercle horaire ayant même diamètre LL’ et conséquemment
les coupes des verticaux sur ce cercle horaire équivaudront à autant de rayons de soleil passant par
le point O du style du cadran et au-dessus de celui-ci.
En d’autres termes pour une déclinaison et une latitude donnée il pourra y avoir des parties d’arc semi-diurne du soleil
qui donneront un éclairement du cadran alors que H > pi/2-d ou H = pi/2-d. Dans ce dernier cas ces rayons couperont
la ligne horaire horizontale comme le montre la figure 4b.
AOB’ ==>AB’/sin (pi-t) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2-d) = AO / - cos (T+d)
AB’ = O’V = xV(o’) = l cos f sin T / - cos (T+d)
Ici yV = 0 et Hi = V
c)- Cas où H>pi/2-d.
Dans le cas de figure de l’incliné déclinant (i<iM) où le style sort du plan vers la terre on a vu que le soleil,
si H>pi/2-d, ne pouvait être devant le plan du cadran car les intersections du vertical azimutal avec
le cercle horaire se faisaient derrière le plan du cadran.
Mais comme nous venons de le voir, ici, ces intersections peuvent avoir lieu au-dessus du plan
de l’incliné et celui-ci sera alors éclairé par le rayon de soleil correspondant.
Ceci tant que h>j’. Voyons la figure 5.
1)- Calcul de tg Hi
Ici Hi est le supplément de GO’S. Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en V par où passe le rayon solaire OV.
Si nous menons la perpendiculaire VZ sur QQ’ nous remarquons que dans ZVB rectangle en Z on a
ZVB = pi/2-U et que dans ZVG on a ZVG = pi/2-ZGV.
Or ZVB < ZVG et pi/2-U < pi/2-ZGV <=> U > ZGV et GV passant par O’ de l’horizontale K’O’ et BV par K’
à l’ouest de O’ sur cette même horizontale <=> l’intersection de BV et de GV a lieu sous cette horizontale.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + V) =
O’S / sin (Hi-V) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f)
et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-d)) = OS / sin (d+H-pi/2) = OS / -cos (d+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (d+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V) d’où
-sin Hi sin f cos (d+H) = sin H sin (Hi-V) sin (f-j)
Posons sin f cos (d+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire
-A sin Hi = B sin (Hi-V) = B sin V cos Hi – B sin Hi cos V et en divisant par cos Hi on obtient
-A tg Hi = B sin V – B cos V tg Hi
-tg Hi (A - B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (d+H) - sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’ et
de l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi-(pi-T+pi/2-d) = T+d-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / -cos (d+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (d+T) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’V ( = GV-O’G).
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi/2-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-d+pi-T)) = OS / - cos (d+T)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos d / - cos (d+T) = - l sin (f-j) cos d / sin j cos (d+T)
BV = OB sin h / sin (h-j’) = - l sin (f-j) cos d sin h / sin (h-j’) sin j cos (d+T)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (d+H) sin j) / sin Hi et
O’G = - l sin V sin(j-f) sin H / cos (d+H) sin j sin Hi <=>
En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGV ==> BGV = SGO’ = pi-(V+pi-Hi) = Hi-V et BVG = pi-(pi-(Hi-V+pi-U) = Hi-V-U+pi
BV / sin (Hi-V) = GV / sin (pi-U) et GV = BV sin U / sin (Hi-V) d’où
GV = - l sin (f-j) cos d sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (d+T) sin (Hi-V)
O’V = GV-O’G
Puis xV = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos Hi en partant de O’
yV(s) = O’ S - yV(o’)en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et yV(o’) < 0 (à tracer vers le bas sur SO’).