Les cadrans solaires
inclinés pyramidaux (suite 3)
par jean pakhomoff
II- Lignes du soir. C’est ce que nous nommons les iDWLE (incliné déclinant ouest lignes est) .
Ceci est représenté par la figure 7.
iM, j et V répondent aux mêmes calculs de même que l’étude du style.
Lorsque l’azimut est < d l’angle U est aigu vers l’Est et quand T > d , U est aigu vers l’Ouest. (si T = d, U est droit le vertical azimutal étant dans le plan de plus grande pente KT’O’’). Les calculs faits dans ces cas sont identiques
et mènent aux mêmes formules. Nous les développerons pour le cas de la figure 7 où T > d.
a) – Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.
O’S est également donné par l sin f / sin j
GSO’ ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(pi-V+Hi)) = O’S / sin (V-Hi)
Et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2-d+H)) = OS / sin (pi/2+(d-H)) =
OS / cos (d-H).
OO’S ==> OO’ / sin (pi-j) = OS / sin (pi-(pi-j+f)) et OS = l sin (j-f) / sin j
La valeur de OS ne change pas du cas précédent et on a
GS = l sin (j-f) sin H / sin j cos (d-H)
En comparant les 2 valeurs de GS on a
l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) = l sin (j-f) sin H / sin j cos (d-H)
qui donne après les mêmes simplifications que dans le cas précédent :
tg Hi = sin (j-f) sin H sin V / sin f cos (d-H) + sin (j-f) sin H cos V
b)- Coordonnées x et y de V
- Calcul de j’.
B’BB’’ = SBO = pi-(pi/2-d+T) = pi/2 + (d-T)
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = BB’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / cos (d-T)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / (l sin f tg I / cos (d-T)) = cos (d-T) / tg i
- Calcul de U.
K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’ K’ / BK’
Sin U = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
- Calcul de O’V. Page 24
OBS ==> OB / sin (pi-d) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-d+T))
= OS / cos (d+T) = BS / sin T
OB = OS cos d / cos (d-T) = l sin (j-f) cos d / sin j cos (d-T)
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’) ==>
BV = OB sin h / sin (h+j’) et BV = l sin (j-f) cos d sin h / sin (j’+h) sin j cos (d-T)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi ==> O’G = GS sin V / sin Hi et
O’G =- l sin f sin His in V / sin j sin (V-Hi) sin Hi = l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)
BGV ==> BGV = O’GS = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BV / sin (V-Hi) = GV / sin U ==> GV = BV sin U / sin (V-Hi) et
GV = l sin (j-f) cos d sin h sin U / sin (j’+h) sin j cos (d-T) sin (V-Hi)
O’V = O’G + GV
xV = O’V sin Hi
yV (o’) = O’V cos Hi
yV (s) = yV (o’) – O’S
c)- Cas particuliers.
1) Le soleil est dans le plan du cadran vertical d’origine (l’angle azimutal T = pi/2+d). Examinons la figure 8.
L’azimut correpondant est égal ici à pi/2+d. On a vu que dans ce cas le vertical passant par O coupe le cadran incliné selon ZZ’ parallèle à QQ’, ZZ’ passant par T’’ à l’intersection de O’S et de KT’.
ST’T’’ rectangle en T’ ==> ST’’ cos (pi/2-V) = T’T’’ ==> ST’’ = T’T’’ / sin V
O’T’’ = O’S + ST’’ avec O’S = l sin f / sin j . C’est la valeur yP de ce cas particulier, xP étant la valeur de VT’’ sur l’horizontale ZZ’.
VO’T’’ ==> O’T’’ / sin (pi-(pi-V+Hi) = VT’’ / sin Hi = O’T’’ / sin ‘V-Hi)
Et après développement : tg Hi = sin V VT’’ / (cos V VT’’ + O’T’’)
C’est la valeur de Hi pour T = pi/2 + d
2)- Soleil derrière le cadran vertical origine et ligne horaire encore devant.
(T > pi/2+d ; H < pi/2+d)
Le cadran est illuminé si h > j’. Observons la figure 9.
a)- Calcul de Hi.
j, V et O’S donnent lieu aux mêmes calculs et ont même valeur.
O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(pi-V+Hi)) ==>
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
D’où même valeur pour
tg Hi = sin (j-f) sin H sin V / (sin f cos (d-H) + sin (j-f) sin H cos V)
b)- coordonnées x et y de P.
Dans B’BB’’ on a B’BB’’ = SBO = pi-(pi/2+d+pi-T) = (T-d)-pi/2
BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (T-d)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / -cos (T-d)) = -cos (T-d) / tg i
Dans K’B’B on a BK’ sin j’ = K’B’ ==> BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Et sin U = sin j’ / cos i
Valeurs de O’G et de GV :
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’) = OB / sin (h-j’)
OBS ==> OB / sin (pi/2+d) = OB / cos d =
OS / sin(pi-(pi-T+pi/2+d)) = OS / sin (T-d-pi/2) = OS / -cos (T-d)
Et OB = OS cos d / -cos (T-d) = l sin (j-f) cos d / -sin j cos (T-d)
BV = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (j-f) cos d sin h/ -sin j cos (T-d) sin (h-j’)
O’GS ==> O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi
O’ G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V-Hi) sin Hi
= l sin f sin V / sin j sin (V-Hi)
BGV ==> BGV = pi-O’GS = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BV / sin (V-Hi) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V-Hi)
GV = -l sin (j-f) cos d sin h sin U / sin j cos (T-d) sin (h-j’) sin (V-Hi)
O’V = O’G + GV
xV = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos Hi
yV(s) = yV(o’) – O’S
3- Cas où H = pi/2+d
Chaque cercle horaire correspond à 2 heures différents : t et t+pi.
Ainsi sur la figure 4 le cercle horaire t d’angle tabulaire horizontal H = pi/2-d (ou 2 pi-(pi/2-d) = 3 pi/2+d) est le même que celui correspondant à t+pi d’angle tabulaire horizontal
H+pi = pi/2+d (ou 3 pi/2+d+pi = 5 pi/2 + d = pi/2 +d)
La ligne horaire tabulaire sur le cadran est donc la même que celle étudiée dans le cas précédent pour H=pi/2-d.
Conclusion de le 1 ère partie :
Nous avons traité le cas particulier d’un incliné déclinant où tg i < cos d / tg f.
C’est l’un des cas les plus fréquents de construction d’un incliné.
La 2 è partie de notre étude portera sur le cas de l’incliné déclinant quand i > iM.
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