Les cadrans solaires
inclinés pyramidaux (suite 2)
jean pakhomoff
B – Coordonnées x et y du point V intersection d’un rayon solaire avec le plan de l’incliné déclinant pyramidal.
Nous avons choisi comme cas de figure le déclinant ouest.
I - Lignes du matin. (fig 2) Cest ce que nous nommons le iDWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest)
a) Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.
On peut voir sur la figure 2 un rayon de soleil d’angle horaire t donnant sur l’horizon f l’angle tabulaire H. Le vertical azimutal coupe l’horizon selon un angle T et le soleil dans ce plan azimutal fait avec l’horizon un angle de hauteur h.
Le plan du cercle horaire coupe l’incliné selon OGO’ et le plan azimutal coupe l’incliné selon OBK’ (le cadran vertical correspondant est coupé selon OB’K’).
Il nous faut calculer l’angle horaire tabulaire GO’S = Hi.
O’AS permet d’écrire O’S sin j = O’A = l sin f et O’S = l sin f / sin j
O’GS permet d’écrire GS / sin Hi = O’S / sin (pi – (V+Hi) = O’S / sin (V+Hi)
Et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
OO’S permet d’écrire OO’ / sin j = OS / sin (pi-(pi-j+f)) = OS / sin (j-f)
Et OS = l sin (j-f) / sin jOGS permet d’écrire GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2+d+H)) = OS / cos (d+H)
Et GS = l sin(j-f) sin H / cos (d+H) sin j = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) d’où
Sin f sin Hi cos (d+H) = sin (j-f) sin H sin (V+Hi)
Posons sin f cos (d+H) = A et sin (j-f) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (V+Hi) = B sin V cos Hi + B sin Hi cos V. Divisons par cos Hi. Il vient
A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi ( A - B cos V) = B sin V et
tg Hi = B sin V / (A – B cos V) ou
tg Hi = sin (j-f) sin H sin V / (sin f cos (d+H) – sin (j-f) sin H cos V)
b) Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe l’horizon et l’incliné selon OBK’ et le cadran vertical PO’P’ selon B’K’. Le rayon solaire passant par O arrive en P sur l’incliné à l’intersection des 3 plans (azimut, cercle horaire, cadran incliné).
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec BQ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi – (pi/2+d+T) = pi/2-(d+T)
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et
BB’ = l sin f tg i / cos (d+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K / B’B = l sin f / (l sin f tg I / cos (d+T)) et
tg j’ = cos (d+T) / tg i
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>
B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’)
Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’V (O’G + GV).
OBV ==> BV / sin h = OB / sin (pi-(j’+h)) = OB / sin (j’+h) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-d)) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2+d+T)) = OS / cos (d+T)= BS / sin T
OB = OS cos d / cos (d+T) = l sin (j-f) cos d / sin j cos (d+T)
BV = OB sin h / sin (j’+h) = l sin (j-f) cos d sin h / sin (j’+h) sin j cos (d+T)
O’GS ==> O’G / sin V = GS / sin Hi =
(l sin (j-f) sin H / cos (d+H) sin j) / sin Hi et
O’G = l sin V sin(j-f) sin H / cos (d+H) sin j sin Hi
En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGV ==> BGV = pi-(V+Hi) et BPG = pi-(pi-(V+Hi)+U) = V+Hi-U
BV / sin(pi-(V+Hi)) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V+Hi) d’où
GV = l sin (j-f) cos d sin h sin U / sin (j’+h) sin j cos (d+T) sin (V+Hi)
O’V = O’G + GV
Puis xV = O’V sin Hi
yV(o’) = O’V cos Hi en partant de O’
yV(s) = yV(o’) – O’ S en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
c- 3 cas particuliers. 1) Le soleil est dans le plan du cadran vertical d’origine (l’angle azimutal T=pi/2-d).
Examinons la figure 3.
Soit un plan ZOZ’ parallèle au vertical PO’P’. Il sera perpendiculaire au plan OKO’’ prolongement du dièdre T’KO’’ et au plan OKT’’ prolongement du plan OKO’’ où T’’ est l’intersection de OKT’’ avec ZOZ’ sur l’incliné QO’Q’ . La droite OT’’ commune à OKT’’ et à ZOZ’ est donc perpendiculaire à l’horizontale ZZ’ de ZOZ’.
Lorsque le soleil est dans le plan azimutal ZOZ’ le rayon solaire coupe ZZ’ en V.
Dans OT’T’’ rectangle en O, OT’’T’ = O’’KT’’ = i (angles alternes internes) et
OT’ / OT’’ = tg i
Dans OVT’’ rectangle en T’’ on a OT’’ / VT’’ = tg h ==> VT’’ = OT’’ / tg h
C’est notre valeur xP de ce cas particulier.
La ligne de XII heures O’S coupe la droite KT en un point actuellement indéterminé que nous appellerons W. Dans O’KW rectangle en K on a
O’K / KW = tg (pi/2-V) = 1 / tg V ==> KW = O’K tg V ; O’K = AO’’ = l cos f sin d et
KW = l cos f sin d / sin i tg d = l cos f cos d / sin i
Comparons cette grandeur à KT’’. KT’’ = KT’ + T’T’’
KT’ = l sin f / cos i = l sin f tg i / sin i
T’T’’ = OT’ / sin I = (l cos f cos d – l sin f tg i) / sin i et
KT’’ = (l sin f tg I + l cos f cos d – l sin f tg i) / sin I = l cos f cos d / sin I = KW
Donc W et T’’ sont un seul et même point et l’on pourra énoncer que :
La ligne de XII heures passe par l’intersection de la verticale abaissée du bout du style sur le plan de l’incliné.
ST’T’’ rectangle en T’ donne ST’’ cos (pi/2-V) = T’T’’ ==> ST’’ = T’T’’ / sin V et
O’T’’ = O’S + ST’’ (avec O’S = l sin f / sin j)
C’est notre valeur yV de ce cas particulier.
Recherchons l’angle horaire tabulaire correspondant :
Dans VO’T’’ on a O’T’’ / sin (pi-(V+Hi)) = VT’’ / sin Hi
Et O’T’’ / sin (V+Hi) = VT’’ / sin Hi
Sin V cos Hi VT’’ + sin Hi cos V VT’’ = O’T’’ sin Hi en divisant par cos Hi il vient
Sin V VT’’ + VT’’ cos V tg Hi = O’T’’ tg Hi
tg Hi (O’T’’ – VT’’ cos V) = sin V VT’’ et
tg Hi = sin V VT’’ / (O’T’’-VT’’ cos V)
Nous avons là l’angle horaire tabulaire sur l’incliné correspondant à l’instant de passage du soleil dans le plan du cadran vertical origine.
2)- Le soleil est derrière le cadran vertical origine PO’P’ (T > pi/2-d).
a) Cas où l’angle horaire H est égal à pi/2-d.
Dans ce cas sur la sphère céleste de centre O (figure 4) le cercle horaire L’PL, le vertical déclinant origine L’ZL et le cercle correspondant à l’incliné L’Z’L ont le même diamètre L’L et par conséquent le même plan bissecteur OZZ’Z’’.
Le triangle sphérique PLS permet d’écrire :
Cos PL = cos PS cos LS + sin PS sin LS cos PSL
PSL = pi/2 (angle méridien horizon) Ps = pi-f et
Cos PL = -cos f sin d d’où PL
De même PZL donne cos PZ = cos PL cos ZL + sin PL sin ZL sin ZLP
PZ = pi/2-f ; ZL = pi/2 ; d’où sin f = sin PL sin ZLP et sin ZLP = sin f / sin PL
ZLP est l’angle dièdre du vertical L’ZL et du cercle horaire L’PL.
Ce cercle horaire fait donc avec l’horizon un angle Delta = D = pi/2 – ZLP
Nous pouvons adapter cette représentation à un cadran solaire.
Nous avons une sphère céleste de centre O et nous représentons un cercle horaire t coupant l’horizon selon un angle tabulaire horizontal H.
Nous traçons le cadran solaire P1 déclinant de d1 et de style OAO’ dans le plan méridien. Le plan du cercle horaire t coupe ce cadran selon l’angle tabulaire AO’G.
Faisons pivoter, autour de AO’, P1 en P2 de déclinaison gnomonique d de façon à obtenir le cas de la figure 4 où la coupe du cadran et la coupe du cercle horaire sur l’horizon ont même direction.
A ce moment là G est repoussé à l’infini et O’G est parallèle à OG . Ce qui reste valable pour l’incliné P3 découlant de P2.
La ligne horaire tabulaire du cadran incliné ou non incliné lorsque H = pi/2-d est une horizontale.
Remarquons que l’instant correspondant est donné par la formule classique des horizontaux : tg H = tg t sin f = tg (pi/2-d) = 1/tg d et tg t = 1 / sin f tg d
La figure 4 montre que les intersections des cercles horaires et des verticaux azimutaux ne sont possibles que derrière le plan du cadran incliné L’Z’L.
A partir du moment où H > pi/2 – d le soleil est constamment derrière le plan du cadran.
b)- T> pi2-d mais H < pi/2-d.
Dans le cas du cadran vertical origine le soleil est derrière celui-ci. Mais lorsque le cadran s’incline de i le soleil peut alors être encore au-dessus du plan du cadran et l’éclairer. Ce, à condition que la hauteur du soleil soit supérieure à l’angle j’ vu ci-dessus et correspondant à l’angle de coupe du vertical azimutal avec l’horizon et le plan incliné. Observons la figure 6
Les calculs de tg Hi sont identiques au cas T < pi/2-d.
Dans SOB on a BSO = pi/2 – d ; SOB = pi – T ; SBO = pi-(pi/2-d+pi-T) =
d+T-pi/2 = B’BB’’. BB’B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i
sin (d+T-pi/2) = - cos (d+T) et BB’ = l sin f tg i / -cos (d+T)
K’B’B ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / - cos (d+T)) = - cos (d+T) / tg i
D’où j’. Ensuite K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i
Et sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
Calcul de O’V (= O’G + GV)
OBV ==> BV / sin (pi-h) = OB / sin(pi-(pi-h+j’)) et BV = OB sin h / sin (h-j’)
OBS ==> OB / sin (pi/2 – d) = OB / cos d =
OS / sin(pi-(pi/2-d+pi-T)) = OS / sin (d+T-pi/2) et
OB = OS cos d / -cos(d+T) = - l sin (j-f) cos d / sin j cos (d+T)
D’où BV = - l sin (j-f) cos d sin h / sin j sin (h-j’) cos (d+T)
O’G a la meme valeur que dans le cas où T<pi/2-d : on prend la valeur
O’G = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi)
BGV ==> BGV = pi – (pi-(V+Hi) = V+Hi
BV / sin(V+Hi) = GV / sin U et GV = BV sin U / sin (V+Hi) et
GV = - l sin (j-f) cos d sin h sin U / sin j sin (h-j’) cos (d+T) sin (V+Hi)
Pareillement xV = O’V sin Hi yV(o’) = O’V cos Hi et yV(s) = yV(o’) – O’S
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