Géométrie des cadrans solaires
inclinés pyramidaux
Jean Pakhomoff
Novembre 2004-Mars 2005
J’avais présenté ce sujet voilà bientôt une quinzaine d’années à la Commission des Cadrans
Solaires lors de sa tenue annuelle au siège de la SAF.
Je me souviens que Monsieur Sagot avait dit : <<Oui, c’est une méthode…une méthode géométrique.>>.
Bien sûr parmi d’autres et de plus élégantes.
Certains participants furent intéressés par l’exposé. J’ai pensé que les lecteurs de Cadran -Info pourraient trouver
quelque intérêt à cette étude qui me paraît être sur le plan pédagogique un bon exercice d’application pratique de
trigonométrie et de géométrie dans l’espace. Aussi, après l’avoir quelque peu remaniée et simplifiée
je vous la livre.
Nous allons étudier le cas des cadrans inclinés face tournée vers le ciel que nous appellerons cadrans pyramidaux.
Ils s’ inclineront d’un angle i déterminé s’ouvrant par le bas vers le sud (déclinant) ou le nord (inclinant).
Nous n’envisagerons pas le cas des cadrans inclinés face vers le sol (cadrans anti-pyramidaux) car leur construction est
relativement improbable donc leur intérêt moindre. On pourrait cependant aborder leur étude par le même type de raisonnement.
Comme pour les déclinants ou inclinants non inclinés nous envisageons 2 parties par rapport au plan méridien :
la partie Est contenant les lignes horaires d’après-midi et la partie Ouest contenant les lignes horaires du matin.
Nous calculerons ici l’iDW (incliné déclinant ouest) et l’iIW (incliné inclinant ouest) sachant que, par analogie,
on obtient l’iDE (incliné déclinant est) et l’iIE (incliné inclinant est) par les mêmes équations : l’iDE lignes est répondant
aux mêmes équations que l’iDW lignes ouest et l’iDELW répondant aux équations de l’iDWLE etc….
Conventions :
On appelle déclinaison gnomonique du cadran l’angle d correspondant au pivotement du cadran vers l‘est ou vers l’ouest
depuis le premier vertical.le On dira que le cadran décline ou incline à l'Est si le tracé regarde l'Est. Il dt.
Sqr (…) signifiera racine carrée de (…). Le rouge sera associé généralement aux cercles horaires et aux plans dièdres ;
le jaune chamois aux cercles azimutaux.
Les angles horaires t comme les azimuts T sont comptés depuis le méridien jusqu’à l’anté-méridien de 0 à 180° côté est
comme côté ouest.
Ainsi 19 h ==> angle de 105° vers l’ouest en partant du méridien et 7h du matin ==> à un même angle de 105° vers l’est.
On développera ce travail en 3 parties que nous tirerons de l’observation de la figure A.
On peut y voir 12 cas de cadrans définis comme ci-dessous :
Cas n° 1 : déclinant non incliné
Cas n° 2 : inclinant non incliné
Cas n° 3 : déclinant incliné pyramidal style vers le sol (i < iM)
Cas n° 4 : inclinant incliné anti-pyramidal style vers le ciel
Cas n° 5 : inclinant incliné anti-pyramidal style vers le sol
Cas n° 6 : déclinant incliné pyramidal style vers le ciel (i > iM)
Cas n° 7, 9, 11 : déclinant incliné anti-pyramidal style vers le sol
Cas n° 8, 10, 12 : inclinant incliné pyramidal style vers le ciel
Les cas 3, 4, 6, 8, 10 et 12 nous paraissent les mieux disposés à la construction de cadrans sur plans inclinés et nous
pourrons alors nous atteler à rechercher les équations qui leurs sont propres.
Le cas n° 3 fera l’objet de la 1 ère partie de notre étude.
Le cas n° 6 fera l’objet de la 2 è partie.
Les cas 8, 10 et 12 qui ne font finalement qu’un seul et unique cas, l’axe du monde restant toujours du même côté du
plan du cadran, feront l’objet de la 3 è et dernière partie de notre étude. Nous avons vu plus haut que les cadrans
anti-pyramidaux, face vers le sol, ne seront pas étudiés.
Première partie
I – Cas de l’DWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest).
Sur la figure 1 est représenté un cadran incliné déclinant d’un angle d (déclinaison gnomonique du cadran) vers l’ouest.
OO’ axe du monde et style du cadran.
A projection de O sur le cadran dans le plan méridien. Le style principal est alors OAO’ où O’OA est l’angle de la latitude.
O’’ projection orthogonale de O sur le cadran.
Soit PP’ l’horizontale passant par A et O’K l’horizontale passant par O’.
Faisons pivoter d’un angle i le cadran vertical PO’P’ autour de O’K.
On obtient alors le plan QO’Q’ de notre cadran incliné, la droite QQ’ étant l’horizontale de QO’Q’ balayant la droite OA.
QQ’ coupe OA en S.
O’S est alors la ligne de coupe du plan méridien sur QO’Q’, autrement dit la ligne de XII heures.
Remarquons que lorsque S arrive en O le style OO’ est contenu en entier dans le plan du cadran incliné QO’Q’.
Cela correspond à ce que nous pouvons appeler l’inclinaison maximum im. Au-delà de im le style ne sort plus vers le sud
mais vers le nord et ce cas sera celui de la deuxième partie de de notre étude.
.QQ’ balaie AO de A en O passant par S et O’’O passant par T’.
OO’’ perpendiculaire à PO’P’ est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en particulier à la verticale KO’’ et à
l’horizontale PP’ puis à QQ’ parallèle à PP’ dans le plan horizontal QPP’Q’ (contenant les horizontales PP’ et AS).
Le triangle KO’’T’ rectangle en O’’ est le dièdre d’angle i des plans PO’P’ et QO’Q’. PP’ et QQ’ lui sont perpendiculaires
comme elles le sont à tous les autres dièdres de ces plans.
On a tg im = OO’’ / O’’K = OO’’ / O’’A = l cos f cos d/ l sin f = cos d / tg f
A – Etude du style.
ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos d et le dièdre O’AL rectangle en A donne AL / O’A = tg i
d’où AL = l sin f tg i = AS cos d et AS = l sin f tg i / cos d
O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos i
a) Calcul des angles O’SA = j et O’SL = V.
O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos d / tg i
ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent
LS = AS sin d = l sin f tg i tg d
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i tg d = 1 / sin i tg d
On aura de même O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale et un angle V avec l’horizontale
passant par S dans le plan de l’incliné QO’Q’.
Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné que
nous allons maintenant calculer.
Projetons O en O’’ sur le vertical PO’P’ ; KO’’ est la verticale passant par O’’, K étant pris sur l’horizontale K’O’.
OO’’K formé par l’ horizontale OO’’ et la verticale O’’K est un plan vertical.
QQ’ coupe perpendiculairement OO’’ en T’ (QQ’ et PP’ parallèles) et QT’ est perpendiculaire à toutes les droites
du vertical OO’’K en particulier à T’K. De même KO’ est perpendiculaire à toutes les droites de OO’’K et en
particulier à O’’K et à KT’. L’angle O’’KT’ égal à i est le dièdre des plans PO’P’ et QO’Q’.
(O’’KT’ étant une partie du plan O’’KT).
Depuis O abaissons une perpendiculaire en T sur le prolongement de la ligne KT’ du dièdre O’’KT’.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T puisque OT est perpendiculaire à QO’Q’ et donc à toutes les
droites de ce plan et en particulier à O’T. On a O’’T’ / O’’K = tg i et O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i
OT’ = OO’’ - O’’T’ = l cos f cos d - l sin f tg i
KT’O = pi/2 - i = OT’T d’où TOT’ = i
OT = OT’ cos i = l cos f cos d cos i - l sin f sin i
TT’ = OT’ sin i = l cos f cos d sin i - l sin f tg i sin i
KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i
Et KT = KT’ + TT’
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance
O’K = AO’’ = l cos f cos d de la ligne de plus grande pente O’L.
Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T pour construire notre style secondaire O’TO.
OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )
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