Géométrie des cadrans solaires
inclinés pyramidaux
Jean Pakhomoff
Novembre 2004-Mars 2005
Javais présenté ce sujet voilà bientôt une quinzaine dannées à la Commission des Cadrans
Solaires lors de sa tenue annuelle au siège de la SAF.
Je me souviens que Monsieur Sagot avait dit : <<Oui, cest une méthode une méthode géométrique.>>.
Bien sûr parmi dautres et de plus élégantes.
Certains participants furent intéressés par lexposé. Jai pensé que les lecteurs de Cadran -Info pourraient trouver
quelque intérêt à cette étude qui me paraît être sur le plan pédagogique un bon exercice dapplication pratique de
trigonométrie et de géométrie dans lespace. Aussi, après lavoir quelque peu remaniée et simplifiée
je vous la livre.
Nous allons étudier le cas des cadrans inclinés face tournée vers le ciel que nous appellerons cadrans pyramidaux.
Ils s inclineront dun angle i déterminé souvrant par le bas vers le sud (déclinant) ou le nord (inclinant).
Nous nenvisagerons pas le cas des cadrans inclinés face vers le sol (cadrans anti-pyramidaux) car leur construction est
relativement improbable donc leur intérêt moindre. On pourrait cependant aborder leur étude par le même type de raisonnement.
Comme pour les déclinants ou inclinants non inclinés nous envisageons 2 parties par rapport au plan méridien :
la partie Est contenant les lignes horaires daprès-midi et la partie Ouest contenant les lignes horaires du matin.
Nous calculerons ici liDW (incliné déclinant ouest) et liIW (incliné inclinant ouest) sachant que, par analogie,
on obtient liDE (incliné déclinant est) et liIE (incliné inclinant est) par les mêmes équations : liDE lignes est répondant
aux mêmes équations que liDW lignes ouest et liDELW répondant aux équations de liDWLE etc .
Conventions :
On appelle déclinaison gnomonique du cadran langle d correspondant au pivotement du cadran vers lest ou vers louest
depuis le premier vertical.le On dira que le cadran décline ou incline à l'Est si le tracé regarde l'Est. Il dt.
Sqr ( ) signifiera racine carrée de ( ). Le rouge sera associé généralement aux cercles horaires et aux plans dièdres ;
le jaune chamois aux cercles azimutaux.
Les angles horaires t comme les azimuts T sont comptés depuis le méridien jusquà lanté-méridien de 0 à 180° côté est
comme côté ouest.
Ainsi 19 h ==> angle de 105° vers louest en partant du méridien et 7h du matin ==> à un même angle de 105° vers lest.
On développera ce travail en 3 parties que nous tirerons de lobservation de la figure A.
On peut y voir 12 cas de cadrans définis comme ci-dessous :
Cas n° 1 : déclinant non incliné
Cas n° 2 : inclinant non incliné
Cas n° 3 : déclinant incliné pyramidal style vers le sol (i < iM)
Cas n° 4 : inclinant incliné anti-pyramidal style vers le ciel
Cas n° 5 : inclinant incliné anti-pyramidal style vers le sol
Cas n° 6 : déclinant incliné pyramidal style vers le ciel (i > iM)
Cas n° 7, 9, 11 : déclinant incliné anti-pyramidal style vers le sol
Cas n° 8, 10, 12 : inclinant incliné pyramidal style vers le ciel
Les cas 3, 4, 6, 8, 10 et 12 nous paraissent les mieux disposés à la construction de cadrans sur plans inclinés et nous
pourrons alors nous atteler à rechercher les équations qui leurs sont propres.
Le cas n° 3 fera lobjet de la 1 ère partie de notre étude.
Le cas n° 6 fera lobjet de la 2 è partie.
Les cas 8, 10 et 12 qui ne font finalement quun seul et unique cas, laxe du monde restant toujours du même côté du
plan du cadran, feront lobjet de la 3 è et dernière partie de notre étude. Nous avons vu plus haut que les cadrans
anti-pyramidaux, face vers le sol, ne seront pas étudiés.
Première partie
I Cas de lDWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest).
Sur la figure 1 est représenté un cadran incliné déclinant dun angle d (déclinaison gnomonique du cadran) vers louest.
OO axe du monde et style du cadran.
A projection de O sur le cadran dans le plan méridien. Le style principal est alors OAO où OOA est langle de la latitude.
O projection orthogonale de O sur le cadran.
Soit PP lhorizontale passant par A et OK lhorizontale passant par O.
Faisons pivoter dun angle i le cadran vertical POP autour de OK.
On obtient alors le plan QOQ de notre cadran incliné, la droite QQ étant lhorizontale de QOQ balayant la droite OA.
QQ coupe OA en S.
OS est alors la ligne de coupe du plan méridien sur QOQ, autrement dit la ligne de XII heures.
Remarquons que lorsque S arrive en O le style OO est contenu en entier dans le plan du cadran incliné QOQ.
Cela correspond à ce que nous pouvons appeler linclinaison maximum im. Au-delà de im le style ne sort plus vers le sud
mais vers le nord et ce cas sera celui de la deuxième partie de de notre étude.
.QQ balaie AO de A en O passant par S et OO passant par T.
OO perpendiculaire à POP est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en particulier à la verticale KO et à
lhorizontale PP puis à QQ parallèle à PP dans le plan horizontal QPPQ (contenant les horizontales PP et AS).
Le triangle KOT rectangle en O est le dièdre dangle i des plans POP et QOQ. PP et QQ lui sont perpendiculaires
comme elles le sont à tous les autres dièdres de ces plans.
On a tg im = OO / OK = OO / OA = l cos f cos d/ l sin f = cos d / tg f
A Etude du style.
ALS rectangle en L permet décrire AL = AS cos d et le dièdre OAL rectangle en A donne AL / OA = tg i
doù AL = l sin f tg i = AS cos d et AS = l sin f tg i / cos d
OL cos i = OA et OL = l sin f / cos i
a) Calcul des angles OSA = j et OSL = V.
OAS rectangle en A donne tg j = OA / AS = cos d / tg i
ALS et OLS rectangles en L (OAL dièdre parallèle au plan KOT) donnent
LS = AS sin d = l sin f tg i tg d
OL / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i tg d = 1 / sin i tg d
On aura de même OS sin V = OL et OS = l sin f / cos i sin V
OS, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec lhorizontale et un angle V avec lhorizontale
passant par S dans le plan de lincliné QOQ.
Par commodité de construction on se servira dun style secondaire OOT perpendiculaire au cadran incliné que
nous allons maintenant calculer.
Projetons O en O sur le vertical POP ; KO est la verticale passant par O, K étant pris sur lhorizontale KO.
OOK formé par l horizontale OO et la verticale OK est un plan vertical.
QQ coupe perpendiculairement OO en T (QQ et PP parallèles) et QT est perpendiculaire à toutes les droites
du vertical OOK en particulier à TK. De même KO est perpendiculaire à toutes les droites de OOK et en
particulier à OK et à KT. Langle OKT égal à i est le dièdre des plans POP et QOQ.
(OKT étant une partie du plan OKT).
Depuis O abaissons une perpendiculaire en T sur le prolongement de la ligne KT du dièdre OKT.
On obtient alors le triangle OTO rectangle en T puisque OT est perpendiculaire à QOQ et donc à toutes les
droites de ce plan et en particulier à OT. On a OT / OK = tg i et OT = OK tg i = OA tg i = l sin f tg i
OT = OO - OT = l cos f cos d - l sin f tg i
KTO = pi/2 - i = OTT doù TOT = i
OT = OT cos i = l cos f cos d cos i - l sin f sin i
TT = OT sin i = l cos f cos d sin i - l sin f tg i sin i
KT cos i = KO = OA = l sin f et KT = l sin f / cos i
Et KT = KT + TT
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance
OK = AO = l cos f cos d de la ligne de plus grande pente OL.
Il ne nous reste plus quà calculer OT pour construire notre style secondaire OTO.
OO ² = l ² = OT ² + OT ² et OT = SQR ( l ² - OT ² )
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