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Etude des heures utiles

d'un cadran solaire

et

généralisation à un astre de

déclinaison quelconque

par Jean Pakhomoff

Deuxième prix international de gnomonique

 

Selon l'orientation et la latitude du lieu d'implantation du cadran tous les points d'heures ne seront pas utiles. Il convient alors de ne tenir compte que des heures où le cadran est susceptible d'être ensoleillé.

Nous nous plaçons dans le cas de l'hémisphère Nord. Il conviendra d'apporter les corrections nécessaires pour obtenir les résultats concernant l'hémisphère Sud. Ceci tient compte du simple bon sens et ne demande pas de nouveaux calculs.

De même nous envisageons le cas des verticaux déclinants. Les heures de passage dans le plan du cadran pour ceux-ci sont bien évidemment les mêmes que pour les verticaux inclinants : heures d'apparition pour les uns, de disparition pour les autres.

2 possibilités vont se présenter.

a) Le cadran est dans la zone des levers ou couchers. Tous les levers ou couchers n'auront pas lieux sur le cadran. Le cercle horaire PL passant par l'intersection du cadran avec l'horizon est celui correspondant à l'heure maximum d'ensoleillement du cadran. En effet pour une déclinaison plus septentrionale , lorsque le soleil émerge de derrière le cadran il le fait sur un cercle horaire d'angle horaire infèrieur à PL puisque plus proche de la méridienne (selon notre façon explicitée plus haut de compter les angles horaires). Pour des déclinaisons plus australes la sortie de dessous l'horizon se fera pareillement sur un cercle horaire plus proche de la méridienne.

fig 3

J'appelle la déclinaison dm pour laquelle le soleil fait son lever ou son coucher dans le plan du cadran déclinaison magnifique dm du cadran. Ici, sur un cadran vertical déclinant, la ligne horaire tabulaire se confond avec la ligne d'azimut dans une horizontale parallèle au plan du cadran et lui appartenant.

La connaissance de cette dm va nous permettre de connaître l'heure correspondante au lever ou au coucher et c'est la valeur de ces heures qui nous permettra de tracer les heures utiles du cadran.

b) L'azimut du lever ou du coucher est fonction, comme nous le verrons plus bas, de la latitude et de la déclinaison. Si de par sa déclinaison gnomonique le cadran est hors des zones de levers ou couchers il n'aura pas de déclinaison magnifique. Les levers ou couchers se feront tous devant ou derrière le cadran. Observons les figures 4 et 5 .

fig 4 : les levers______________fig 5 : les couchers

Sur la figure 4 le cadran dans son vertical orienté vers l'Ouest et passant par le zénith Z est de couleur marron, les arcs semi-diurnes du matin également, les cercles horaires sont en rouge, l'équateur en vert.

Sur la figure 5 le cadran orienté vers l'Est et les arcs semi-diurnes de l'après-midi sont en bleu.

Sans entrer dans le calcul des différents angles horaires correspondants au même azimut pour des déclinaisons variables les figures ci-dessus montrent clairement que plus on descend en déclinaison plus les angles horaires des cercles horaires coupant le cadran augmentent. On prendra donc la déclinaison correspondant à l'hiver (- e) pour calculer l'angle horaire correspondant à l'azimut en rapport avec la déclinaison gnomonique du cadran.

 

Calcul de la déclinaison magnifique dm.

Le triangle paralactique ZPM (fig 6)

fig 6

dont les sommets sont : le pôle P , le zénith Z et l'astre M; les angles : l'angle horaire t, le supplément de l'azimut T et l'angle paralactique M; les côtés le complément de la déclinaison, le complément de la latitude f et le complément Z de la hauteur fournit diverses relations issues de la tigonométrie sphérique. Deux d'entre elles vont nous permettre de trouver dm :

cos d sin t = sin Z sin A (1)

et sin d = sin f cos Z - cos f sin Z cos A (2)

lorsque la hauteur est nulle, Z est sur l'horizon et Z = p / 2 (levers ou couchers); ces relations se simplifient et

(1) devient sin t = sin A / cos d

(2) devient sin d = - cos f cos A

avec A = p / 2 + ou - dg ==> si le lever dans le plan du cadran correspond à d alors le coucher correspondra à - d dans ce même plan et inversement : en effet

cos (p / 2 - A) = - cos (p / 2 + A) et arc sin (sin d) = - arc sin (sin - d)

(2) va donc nous donner dm puis (1) nous donnera l'angle horaire t correspondant.

 

Calcul de l'heure de passage du soleil

dans le plan du cadran

(généralisation à un astre quelconque)

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