Le Gnomon Astroïde de Freeman (suite)
par Jean Pakhomoff
II - L’ASTROÏDE EN TANT QUE GNOMON DE CADRAN SOLAIRE.
La figure 2 représente la sphère céleste vue par sa partie occidentale. Dans le triangle parallactique ZPS, Z est le zénith, P le pôle et S le soleil.
PZ est le complément de la latitude f, PS le complément de la déclinaison d , ZS le complément de la hauteur h du soleil.
L’angle PZS est le supplément de l’azimut a de l’astre. Enfin l’angle ZPS est l’angle horaire t du soleil.
fig2
Les relations établies en trigonométrie sphérique permettent d’écrire:
cos z = cos(90-f) cos(90-d) + sin(90-f) sin(90-d) cos t z = 90-h d’où
sin h = sin f sin d + cos f cos d cos t (1)
sin (pi-a) / sin (pi/2 - d) = sin t / sin ( pi/2 - h). soit sin a cos h = sin t cos d (2)
sin z cos (pi - a) = cos (pi/2 - d) sin (pi/2 - f) - sin (pi/2 - d) cos (pi/2 - f) cos t
- sin z cos a = sin d cos f - cos d sin f cos t
sin z cos a = cos d sin f cos t - sin d cos f (3)
En divisant membre à membre (2) par (3) on obtient
tg a = sin t / ( sin f cos t - cos f tg d) (4)
Si a = pi/2 ou 3 pi/2 : tg a = +- l’infini .ce qui est le cas quand
cos t sin f = cos f tg d d’où cos t = tg d / tg f (5) : c’est l’instant de passage au premier vertical.
Enfin cos (pi/2 - d) = cos(pi/2 - f) cos z + sin (pi/2 - f) sin z cos (pi - a) ou
sin d = sin f sin h - cos f cos h cos a (6)
La figure 3 montre les triangles parallactiques occidental et oriental de l’hémisphère nord et leurs angles respectifs.
fig 3
Les formules classiques de la trigonométrie sphérique reliant déclinaison, azimut, latitude, angle horaire et hauteur restent identiques quel que soit le cas de figure.
La figure 4 montre l’hémisphère sud de la sphère céleste.
fig 4
Adoptons pour sens positifs les directions Sud Z P Nord Z’ P’, P P’, et Z Z’.
Les latitudes se comptant négativement dans l’hémisphère sud on a P’OS = - f et
Z’OP’ = p/2- P’OS = p/2 + f.
SZ’ = p - z d’où Z’S = -(p - z) = z - p. De même P’S = - p/2 - d (d avec son signe).
La figure 5 montre les triangles parallactiques occidental et oriental de l’hémisphère sud.
fig 5
Toutes démonstrations effectuées on obtient les mêmes relations reliant hauteurs, azimuts... quel
que soit l’endroit où l’on se situe sur la planète. Il suffit d’entrer dans ces relations le signe + pour les latitudes et déclinaisons nord, et le signe - pour les latitudes et déclinaisons sud.
Ces préambules trigonométriques étant effectués, découpons maintenant dans un morceau de carton où de tout autre matière un carré tel que OQMP de côté a montré
sur la figure 6 et découpons une astroïde QP que nous aurons tracée en nous servant de la relation x 2/3 + y 2/3 = a 2/3.
fig 6
Posons cette astroïde sur un plan horizontal, le point O sur une droite UV orientée nord-sud.
Le plan de l’astroïde est vertical. Orientons celle-ci dans le plan vertical contenant l’astre solaire.
Le rayon solaire ET tangent à l’astroïde va percer le plan horizontal en T. L’angle ETO représente la hauteur h du soleil , son azimut étant â.
ET étant, comme nous l’avons vu plus haut, constamment égal à a on a OT = ET cos h et
OT’ = OT sin a = a cos h sin a. D’après (2) on peut écrire OT’ = a cos d sin t.
L’extrémité de l’ombre de l’astroïde indiquera donc l’angle horaire t pour la déclinaison d.
C’est dans ce sens que l’astroïde peut servir de gnomon. La latitude f ne figurant pas dans la formule n’intervient donc pas dans la détermination de l’heure.
Cette valeur OT’ dépendant cependant de la déclinaison qui varie de 23.45° à - 23.45° le cosinus variera de 1 à 0.91740.
Freeman construit alors une échelle de déclinaison sur laquelle glissera le plan horizontal porteur de l’astroïde de façon à ce que la valeur de OT’,
repérée par une ligne de référence parallèle à l’axe nord-sud, corresponde à une ligne horaire sur l’échelle de déclinaison.
Rappelons que la valeur e = 23.45° qui est celle de l’angle d’inclinaison de l’équateur céleste sur l’écliptique est la valeur qu’avait cet angle au début du XXè siècle.
Elle varie selon un cycle d’environ 50000 ans et est en l’an 2000 égale à 23.438° . Cela n’a aucune importance pour le travail qui nous concerne car on ne recherche
nullement une grande précision. Seule la théorie est ici excessivement intéressante.
III- LA CONSTRUCTION DES LIGNES HORAIRES ET DE L’ECHELLE DE DECLINAISON.
fig 7
Remarquons tout d’abord que sin t = sin ( pi - t). OT’ aura donc la même valeur que t = 15° ou 180 - 15 = 165°. Chaque ligne horaire correspondra ainsi à 2 heures différentes:
1h à 11h, 2h à 10h etc...La partie Ouest porte les heures du matin et la partie Est celle de l’après-midi (l’astroïde étant orientée vers l’est le matin et vers l’ouest l’après-midi).
Prenons donc une planche (sur laquelle glissera la planche précédente comportant le gnomon astroïde et le tracé des lignes de références dont le nombre est laissé à
la discrétion de l’éventuel constructeur et qui ne sont en quelque sorte que des aides de "mise au point") et traçons la méridienne UV, U au sud, V au nord (fig. 7).
Prenons une droite CD perpendiculaire à UV située au sud et disons que cette droite correspond à la déclinaison d = 0. Portons sur celle-ci les différentes valeurs de OT’ d’heure en heure ou
de ½ heure en ½ heure ou de ¼ d’heure en ¼ d’h... Pour l’heure n on aura OT’n = a sin t cos 0 = a sin t
Si t = pi/2 ou 3 pi/2 on aura OT’n= a ou - a. On placera le point C en - a (6h du matin) et le point D en + a (6h du soir). Freeman désigne la valeur OT’n par FoFn sur CD.
Nous avons pris le cas où n = 1 mais on peut prendre n quelconque.
Par un point arbitraire F’o de UV faisons passer C’D’ perpendiculaire à UV. Sur C’D’ on porte les valeurs de OT’ pour d = 23.45° (valeur absolue de la déclinaison le jour des solstices).
Pour l’heure n on aura OT’ = a sin t cos 23.45 . On appellera sur C’D’ la valeur correspondante
F’oF’n. Le résultat ne change pas que d soit >0 ou <0 car cos d = cos -d. L’échelle est donc valable
pour le printemps et l’été comme pour l’automne et l’hiver.
La valeur OT’ obtenue pour une déclinaison quelconque sera donc comprise entre FoFn et F’oF’n.
Supposons que la ligne de référence correspondant à OT’ pour l’heure n vienne couper la ligne horaire n en Y. On fera passer IJ perpendiculaire à UV par Y. IYJ coupera UV en S et SY = OT’n
= a sin t cos d. Abaissons les perpendiculaires F’nY’’ et YY’ sur CD. Les triangles semblables
Y’’F’nFn et Y’YFn permettent d’écrire: YY’/Y’Fn = F’nY’’/Y’’Fn. YY’ = FoS et F’nY’’ = FoF’o.
Y’’Fn = FoFn - F’oF’n = a sin t - a sin t cos 23.45 = a sin t (1 - cos 23.45)
Y’Fn = FoFn - SY = FoFn - OT’ = a sin t - a sin t cos d = a sin t (1 - cos d)
d’où FoS = [a sin t (1 - cos d) FoF’o] / [a sin t (1 - cos 23.45) et FoS = FoF’o (1- cos d) / (1- cos 23.45)
avec FoF’o arbitraire.
On est alors à même de construire l’échelle de déclinaison.
On placera la ligne IJ par glissement sur la déclinaison correspondante et la ligne de référence passant par T bout de l’ombre indiquera alors l’heure.
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