Le Gnomon Astroïde
de Freeman
par Jean Pakhomoff
Freeman a en 1978 utilisé un objet mathématique relativement complexe appelé astroïde comme cadran solaire.
Cadran inconnu jusqu’alors et ayant la propriété de fonctionner en tous les points de la planète (sauf dans de très rares exceptions que nous évoquerons plus loin).
Nous allons dans un premier chapitre faire l’étude analytique de l’astroïde et nous nous emploierons dans les quatre chapitres suivants à exposer la théorie de ce grand gnomoniste.
I -ETUDE ANALYTIQUE DE L’ASTROÏDE.
Conventions: pour simplifier la typographie le terme racine carré de... sera écrit sqr; la multiplication de 2 ou plusieurs termes reviendra a créer un espace entre ces termes;
la division sera définie par le signe /. a sera l’azimut du soleil et a sera le rayon du grand cercle de centre O défini ci-dessous.
Exemple: 2 a sqr (cos p/3) / sin p/5 se lira 2 X a X racine de cos p/3 divisé par sin p/5; sqr6 (cos a) se lira racine sixième de cos a.
Soit donc, fig.1, un quart de cercle de rayon a = OP=OQ où OP et OQ sont les axes de coordonnées d'un système orthogonal.
fig 1
Soit un petit cercle de centre O’ sur OP et de rayon O’P = a/4. O et O’ ont P commun. Imaginons que le cercle O’ se mette à rouler sur le cercle O
de façon que O’ vienne en O’’ sur OQ. P sera alors en Q vu que 2p a /4 = p a/2. Le périmètre du petit cercle O’ est égal au quart du périmètre du cercle O.
Si OP balaie un angle t, OP vient en OR et le point P vient en P’.
PR = RP’. O’ vient en U. PR = a t; RP’ = a a/4 d’où a a/4 = t a et a = 4 t = RUP’ .
Les coordonnées de U sont
X = OU cos t = (a-a/4) cos t = (3 a/4) cos t
Y = OU sin t = (3 a/4) sin t
Menons UQ’ perpendiculaire à OP. ROP = t. Menons P’P’’ perpendiculaire à UQ’.
On a OUP’’ = OUQ’ = p / 2 - t. OUP’ = 4 t - p.
P’UP’’ = p / 2 - t + OUP’ = p / 2- t + 4 t - p = 3 t - p / 2.
Donc UP’’ = UP’ cos(3 t - p/2) = (a/4) sin(3 t)
P’P’’ = UP’ sin(3 t - p/2) = (a/4) (-cos(3 t)) d’où coordonnées de P’:
x = X - P’P’’ = (3 a/4) cos t + (a/4) cos(3 t)
y = Y - UP’’ = (3 a/4) sin t - (a/4) sin(3 t)
cos 3 t = cos (2 t + t) = cos 2 t cos t - sin 2 t sin t = (cos² t - sin² t) cos t - 2 sin t cos t sin t =
(cos² t - 1 + cos² t) cos t - 2 sin² t cos t = cos³ t + cos³ t - cos t - 2 sin² t cos t =
2 cos ³ t - cos t - 2 (1 - cos² t) cos t = 2 cos³ t - cos t - 2 cos t + 2 cos³ t = 4 cos³ t - 3 cos t
donc x = (3 a/4) cos t + (a/4) (4 cos³ t - 3 cos t) = (a/4) (3 cos t + 4 cos³ t - 3 cos t) = (a/4) 4 cos³ t
x = a cos³ t
sin 3 t = sin (2 t + t) = sin 2 t cos t + sin t cos 2 t = 2 sin t cos t cos t + sin t (cos² t - sin² t) =
2 sin t (1 - sin² t) + sin t (1 - 2 sin² t) = 2 sin t - 2 sin³ t + sin t - 2 sin 3 t = 3 sin t - 4 sin³ t
donc y = (3 a/4) sin t - (a/4) (3 sin t - 4 sin³ t) = (a/4) (3 sin t - 3 sin t + 4 sin³ t = (a/4) 4 sin³ t
y = a sin³ t
x et y sont donc les coordonnées de P’ dans sa course de P en Q .
La courbe correspondante est appelée astroïde. Si on porte x et y au carré on pourra écrire que
x² = a² cos6 t et y² = a² sin6 t. Prenons les racines cubiques de ces expressions:
sqr³ (x²) = x2/3 = sqr³ (a²) sqr³ (cos6 t) = a2/3 cos² t de même y2/3 = a2/3 sin² t et
x2/3 + y2/3 = a2/3 (cos²t + sin² t) = a2/3
Démontrons maintenant une propriété de l’astroïde, capitale pour la suite de cette étude:
la tangente à l’astroïde garde une grandeur constante entre les axes OP et OQ quelle que soit la valeur de t.
D’une façon plus imagée c’est le cas d’une échelle glissant le long d’un mur dans un plan à la fois perpendiculaire au mur et au sol.
Cette tangente coupe les axes de coordonnées en T et E (fig 1). Démontrons que TE = OP = OQ = a
ce quel que soit t.
La dérivée de la fonction astroïde y = f(x) au point x,y est égale à la valeur de l’angle fait par la tangente au point x,y de l’astroïde avec l’axe positif des abscisses (angle ETP).
Nous sommes ici dans le cas d’une dérivée de fonction paramétrique x = f(t), y = g(t).
Dérivons alors x par rapport à t puis y par rapport à t et formons le rapport dy / dx = y’t / x’t
x’t = -3 a sint cos² t , y’t = 3 a cos t sin² t d’où
dy / dx = (- 3 a cos t sin² t) / ( 3 a sin t cos² t) = - tg t
La valeur de cette dérivée est égale au coefficient angulaire de la tangente à l’astroïde. La géométrie analytique nous donne l’équation de cette tangente:
(y - y1) / (x - x1) = k
Ici y1 = a sin³ t , x1 = a cos³ t et k = - tg t d’où
(y - a sin³ t ) / (x - a cos³ t) = - tg t
et y = a sin³ t - x tg t + a cos³ t tg t = -x tg t + a sin³ t + a cos² t sin t =
-x tg t + a sin t (sin² t + cos² t) = - x tg t + a sin t
Si x = 0, y = a sin t; si y = 0, x = a sint / tg t = a cos t d’où x² + y² = a² (cos² t + sin² t) = a²
Donc ET = OP = OQ = a = constante
On peut écrire que ETP = ATN (- tg t) = - t = p - t (pèriode de la tangente).
ITO = p - ( p -t) = t. ITO est donc un triangle isocèle . I étant le point d’intersection de la tangente ET et du rayon vecteur OR. IT = IO.
OIT = p - 2 t et EIO = p - ( p - 2 t) = 2 t. OEI = p - (p/2 - t + 2 t) = p/2 - t.
EIO est donc aussi un triangle isocèle et quel que soit le point P’de l’astroïde: IT = IE = IO = OR/2.
Le point I est donc le centre d’un parallélépipède EOTR. Ses coordonnées sont x = (a/2) cos t et
y = (a/2) sin t. I se déplace sur un cercle de centre O et de rayon OI.
Lorsque P arrive en Q après un tour complet du cercle O’ le point P a parcouru la distance 2 p O’P = 2 p a/4. C’est la longueur de l’astroïde.
Remarquons que la tangente ET à l’astroïde se situe sur une droite infinie DD’ . C’est cette seule partie ET qui reste invariablement égale à a = OP = OQ.
Lorsque le cercle O’ se déplace de O’ en O’’, OP décrit l’astroïde point par point et en fin de course, aprés que l’angle PÔR soit passé de 0 à p/2,
la partie QL de DD’ est devenue égale à la longueur de l’astroïde qui est comme nous venons de le voir égale à a p/2.
En quelque sorte, pour que l’échelle posée contre un mur décrive totalement (point par point) l’astroïde il faudrait que celle-ci soit à rallonge.
Sinon l’échelle glisse le long de l’astroïde entre les 2 axes de coordonnées que seraient le mur vertical et le sol horizontal.
Donnons une représentation analytique de cet état de fait en trouvant une relation entre la valeur de t et l’accroissement TC de la grandeur invariable ET
puis dans un second temps on tentera de trouver une équation du lieu géométrique décrit par l’accroissement de OP en QL.
1) Prenons le point de tangence P’. L’étude ci-dessus permet d’écrire PP’ = P’C = (a/4) X 4 t = a t avec 0<t<p/2.
P’T2 = JT2 +JP’2 = (OT - x)2 + y2 . Puisque h = t , OT = a cos t
On a vu que x = a cos3 t et y = a sin3 t d’où P’T2 = (a cos t - a cos3 t)2 + a2 sin6 t =
[a cos t(1 - cos2 t)]2 + a2 sin6 t = a2 cos2 t sin4 t + a2 sin6 t
P’T2 = a2 sin4 t (cos2 t + sin2 t) = a2 sin4 t et P’T = a sin2 t
TC = P’C - P’ T = a t - a sin2 t = a(t - sin2 t)
Le triangle OTC nous permet d’écrire (h étant égal à t): OC2 = OT2 + TC2 - 2 OT OC cos (p - t) =
a2 cos2 t + a2 (t - sin2 t)2 - 2 a cos t a (t - sin2 t) cos (p - t) =
a2 cos2 t + a2 t2 + a2 sin4 t - 2 a2 t sin2 t + 2 a2 cos2 t t - 2 a2 sin2 t cos2 t =
a2 ( cos2 t + t2 + sin4 t - 2 t sin2 t + 2 cos2 t t - 2 sin2 t cos2 t ) =
a2 [ cos2 t + (t - sin2 t)2 + 2 cos2 t (t - sin2 t)] = a2 [cos2t + (t - sin2 t) (t - sin2 t + 2 cos2 t) =
a2 [cos2 t + (t - sin2 t) (cos2 t - sin 2 t + t + cos2 t)] = a2[cos2 t + (t - sin2 t) (cos 2 t + t + cos2 t)
et OC = a SQR[cos2t + (t - sin2 t) (cos 2 t + t + cos2 t)]
Si t = 0 on a OC = a et si t = p/2 OC = a (p/2 - 1) C étant alors en L .
On a bien QL = a + OL = a p/2
Connaissant TC et OC, OTC permet d’écrire (sin p/2 - v) / TC = (sin p - t) / OC d’où
cos v = (TC / OC) sin t ; TC et OT étant fonction de t on a donc v pour un t donné.
2) Essayons de donner une équation au lieu géométrique obtenu par le déplacement de P en L.
On peut considérer les droites PO et OL comme deux axes de coordonnées orthonormés et OC comme un rayon vecteur.
Imaginons le déplacement de ce rayon vecteur de OL en OP selon un angle v croissant de 0 à p/2.
Ce rayon vecteur va croître de OL = a(p/2-1) à OP = a. Ceci rappelle la spirale dorée logarithmique d’équation r = rf2t/p où r
tend vers f r quand t varie de 0 à p/2 , f étant le nombre d’or 1.618.
En posant OC = l et en disant qu’à une variation relative dl/l du rayon vecteur correspond un accroissement K dv de v, où K est une constante, on pourra écrire:
dl / l = K dv En intégrant cette équation on a (l variant de a(p/2 -1) à a et v de 0 à p/2
S dl / l = S K dv
Log l + C1 = K v + C2 où C1 et C2 sont des constantes d’intégration (la primitive de 1/x étant log népèrien de x).
En posant C = C2 - C1 on a Log l = K v + C (1)
Lorsque l = a (p/2 -1) , v = 0 et Log [a(p/2 - 1)] = Log [a(p - 2)/2] = C (2)
Lorsque l = a , v = p/2 et Log a = K p/2 + C (3)
En faisant (3) - (2) on obtient Log a - Log [a(p/2-1)] = K p/2
Log [ a / a(p/2-1)] = Log [ 1/ (p/2-1)] = Log [ 2 / (p-2)] = K p/2
2/p Log [2 / (p - 2)] = K = Log [ 2 / (p - 2)] 2/p d’où puisqu C = Log [a(p -2)/2] (2) en reportant dans (1) les valeurs de K et C on a :
Log l = Log [ 2 / (p - 2)] 2/p v + Log [a ( p - 2 ) / 2] = Log [ 2 / (p - 2)] 2v/p + Log [a ( p - 2 ) / 2]
= Log [a ( p - 2 ) / 2] [ 2 / (p - 2)] 2v/p et
l = [a ( p - 2 ) / 2] [ 2 / (p - 2)] 2v/p
ce qui nous donne
l = a [ 2 / (p - 2)] ((2v/p) - 1)
Signalons qu’il est aussi possible d’obtenir une astroïde en faisant tourner sans glisser un cercle de rayon 3 r à l’intérieur et sur celui-ci, d’un cercle de rayon 4r.
On remarquera ici que l’angle t peut-être indifféremment ETO ou ROP puisque ces angles sont égaux. De ce fait nous appellerons h dans la suite de l’étude l’angle ETO.
Cet angle h correspondra à la hauteur du soleil sur l’horizon.
L’angle que nous appellerons t sera alors l’angle horaire du soleil au moment de la lecture du cadran de Freeman.
II - L’ASTROÏDE EN TANT QUE GNOMON DE CADRAN SOLAIRE.
