THEORIE ET PRATIQUE DES CADRANS ANALEMMATIQUES
CIRCULAIRES DE FOSTER ET LAMBERT (suite)
jean pakhomoff
Adoptons le même principe de projection pour le calcul de lanalemmatique circulaire sud et revoyons la figure 3.
On va projeter léquateur CD sur lhorizon Fs bissecteur entre léquateur et lhorizon F qui nous intéresse.
On obtient lellipse de petit axe UUqui est aussi celle obtenue par la projection de F sur Fs.
De même que dans le cas du circulaire nord déplaçons CD et DC parallèlement à eux-mêmes de façon à ce que C et D viennent en e puis
faisons glisser CD et DC dune même quantité Ce = eD (Fig.5).
Au point e langle plat p = p/2-F + 2 ( p/2-Fs) doù Fs = ( p /2 -F) / 2
ce que la figure 3 nous avait dailleurs déjà montré.
On retrouve OE = R tg d et OE = OE cos Fs = R tg d cos Fs valeur de léchelle des dates ou des déclinaisons.
Ici COF = t; de même KF = R sin t et OK = R cos t; OK = OK cos (p/2-Fs) = OK sin Fs =
R cos t sin Fs
KF = KF et tg w = KF/OK = R sin t / R cos t sin Fs = tg t / sin Fs . Cest langle qui désignera lheure t sur lellipse située sur Fs.
Sur lhorizon F où se porte notre intérêt on a FK = FK = FK (distances constantes entre les projetantes et le plan méridien eDUC).
OK = OK cos(p/2-Fs) = OK sin Fs
OK = OK/sinFs = R cos t.
tg w = FK/ OK = R sin t / R cos t = tg t
doù w = t
De même OE = OE cos (p/2-Fs) = OE sin Fs.
OE = OE/sin Fs = OE cosFs / sin Fs = R tg d / tg Fs = R tg d / tg ((p/2 - F)/2)
Cest la valeur de léchelle des dates ou des déclinaisons sur notre analemmatique circulaire sud.
Dans ce cas de figure la déclinaison a été choisie négative.
On remarquera que, comme pour les analemmatiques elliptiques ou circulaires
FIGURE 5
nord, les dates correspondantes aux déclinaisons négatives se tracent vers le sud dans lhémisphère nord. En remarquant que (p/2-F)/2 = p/2 - (p/2+F)/2 on peut écrire que
tg ((p/2- F) / 2) = 1 / tg ((p/2+F) / 2)
Doù OE = R tg d tg ((p/2+F) / 2) que nous appellerons Rs.
La verticale passant par E fait avec lhorizon F un angle égal à p/2-(p/2-Fs) = Fs.
Cest la valeur de langle dinclinaison de notre gnomon orienté vers le sud.
Ainsi, si les rayons des cercles analemmatiques nord et sud ont même valeur, la valeur de la table des dates ou des déclinaisons varie par contre dans le rapport
Rn / Rs = [R tg d / tg((p/2 + F)/2)] / Rtg d / tg((p/2 - F)/2)
ce qui après développement donne: Rn/Rs = (1-sin f) / (1+sin f)
Pour le circulaire nord la figure 4 montre que le midi solaire se situe au nord alors que la figure 5 montre aisément que le midi solaire se situe au sud pour le circulaire sud .
Je nai rien trouvé dans la littérature concernant la vie ou les travaux de Samuel Foster.
Il est fait mention de Vaulezard dans le livre de René R.J. ROHR "Les cadrans solaires".
Jai trouvé par contre quelques renseignements des plus intéressants concernant J.Henri Lambert dans le
Dictionnaire universel dhistoire et de géographie de Bouillet 32è édition 1901 Librairie Hachette Paris. Jen tire la photocopie ci-dessous.
Pour terminer ce travail je ferai un aparté à propos du tracé de lellipse point par point (ou au moins de demi heure en demi heure) à partir de langle w dont il a été question ci-dessus (fig.6).
Soit Oxy un système daxes orthonormés. Portons sur Ox le grand axe 2a et sur Oy le petit axe 2b.
a et b seront 2 rayons de cercles concentriques en O.
Menons un rayon OF faisant avec laxe Ox un angle T dans le sens trigonométrique.
Ce rayon coupe le petit cercle en Q. Par F menons la perpendiculaire à Ox et par Q la perpendiculaire à Oy. Ces deux perpendiculaires se coupent en F. Les coordonnées de F sont
x = OF cos T = a cos T
y = OQ sin T = b sin T
Le point F est donc sur lellipse de centre O, de grand axe 2a et de petit axe 2b, ses coordonnées correspondant à léquation paramétrique de lellipse.
FIGURE 6
Le point F fait avec laxe Ox un angle T tel que tg T = y/x = (b/a) tg T.
Considérons maintenant que laxe Oy est la méridienne et laxe Ox la direction est-ouest.
Considérons quun angle horaire t se compte matin comme aprés-midi de façon arbitraire à partir de la méridienne. Nous aurons ainsi 13 h = 11 h <=> 15° etc...
les points dheure de laprés-midi se trouveront dans les secteurs 1 et 4 du cercle trigonométrique et langle T à considérer sera égal à p/2-w sachant que tg w = tg t/ sin F comme nous lavons vu ci-dessus.
Les points dheure du matin se trouvent dans les secteurs 2 et 3 et langle T à considérer est alors égal à w + p/2. On retrouve dans les deux cas langle T par la relation tg T = (a/b) tg T.
Puis x et y par les équations paramétriques.
Lorsque les points dheure sont en 1 et 4 il ny a aucune ambiguité:
En 1, p/2-w correspond à un angle compris entre 0 et 90°.
En 4, p/2-w sera <0. T sera compris entre 0 et -90° et x et y auront les valeurs correspondantes à la position de F.
En 2, on aura un angle w + p/2 compris entre 90 et 180°. On rajoutera donc p à la valeur de larc tangente.
En 3, w + p/2 sera compris entre 180 et 270°. La calculatrice donnera donc un angle compris entre 0 et 90° et il conviendra dajouter aussi 180°.
Les cadrans analemmatiques elliptiques horizontaux et verticaux
Cadran bifilaire avec deux cadrans de
Foster Lambert nord et sud sur ma tombe du cimetière
Saint-Pierre à Marseille
Au centre un analemmatique elliptique