THEORIE ET PRATIQUE DES CADRANS ANALEMMATIQUES
CIRCULAIRES DE FOSTER ET LAMBERT
jean pakhomoff
deuxième prix international de gnomonique
En 1640 Vaulezard donne une méthode de construction du cadran analemmatique, projection de léquateur céleste sur lhorizon.
50 ans plus tard, Samuel Foster remarque quune même ellipse correspond à la projection de 2 cercles et donc quun même cercle projeté sur 2 plans perpendiculaires e
ntre eux puis sur leur symétrique par rapport à chacun de ces plans donne naissance à 2 ellipses différentes et à 2 cercles identiques à ce cercle origine.
Cest là je pense la première idée du cadran de J. Henri Lambert.
Lambert construisit ce cadran en 1777 année même de sa mort.
Soit donc fig.1 un plan horizontal x e y et un plan x e v faisant un angle E avec x e y. Donnons nous un plan x e u symétrique de x e v par rapport à x e y en prenant E = E.
FIGURE 1
Le plan x e v sera de même symétrique du plan x e w (prolongement du plan x e u) par rapport au plan x e z car p/2-E = p/2-E.
Le cercle O de rayon R de x e v projeté sur x e y donne lellipse de centre O,
de grand axe 2R et de petit axe 2R cos E.
Les projetantes redonnent sur le plan x e u le cercle O égal au cercle de centre O (la projection du cercle de centre O est en effet lellipse de centre O).
La projection du cercle de centre O de x e v sur le vertical x e z donne lellipse de centre Q de grand axe 2R et de petit axe 2R cos ( p/2-E);
les projetantes redonnent le cercle de centre Q égal au cercle de centre O sur le plan symétrique x e w.
Les plan x e z et x e y étant bissecteurs de plans faisant entre eux 2 angles supplémentaires sont donc perpendiculaires.
Là est le principe du cadran de Foster et Lambert analemmatique circulaire nord et sud.
Nous nous servirons ci-dessous de la démonstration de Terpstra (1951) pour ce qui concerne lanalemmatique elliptique de Vaulezard (1644).
Soit donc fig.2a une sphère céleste de centre O, son équateur céleste COD, son axe des pôles POP, le soleil le jour des équinoxes dans léquateur donc,
à un instant t matèrialisé par lintersection de 3 grands cercles de cette sphère:
FIGURE 2a
le cercle horaire PSPdangle horaire t, le cercle vertical ZSZ dangle azimutal T et le grand cercle de léquateur CSD de diamètre COD.
Le rayon solaire passant par lintersection du cercle horaire et du vertical est contenu entièrement dans léquateur et vient indiquer lheure correspondant à
linstant t sur la grande horloge équatoriale où 15° = 1 heure. Observons maintenant la figure 2b où le soleil se trouve au même instant à une époque différente des équinoxes.
FIGURE 2b
Dans ce cas de figure on se situe dans lhémisphère nord lorsque la déclinaison est>0.
Le rayon solaire SO, intersection du cercle horaire et du vertical passant par lastre nest plus contenu dans léquateur mais perce la sphère céleste en S.
Pour que ce rayon indique lheure sur la grande horloge équatoriale il convient de le déplacer parallèlement à lui-même dans le plan de son cercle horaire:
en le remontant lété et le descendant lhiver.
Lorsque ce rayon coupe léquateur en F il indique lheure t et coupe alors laxe des pôles en E. Cest là lidée de Terpstra.
OS et FE sont parallèles et toutes deux contenues dans le plan du cercle horaire t. Elles font donc avec le diamètre OF le même angle égal à la déclinaison .
La figure 3 montre une sphère céleste avec un horizon de latitude F , laxe des pôles perpendiculaire à léquateur et cet équateur faisant
avec cet horizon un angle égal à p/2- F . Choisissons un horizon de latitude Fn bissecteur du dièdre DOD et un horizon de latitude Fs bissecteur du dièdre COD.
Ces 2 horizons comme vu lors de létude de la figure 1 sont perpendiculaires entre eux.
On voit immédiatement que Fs= eOP= DOD = (p/2-F ) / 2 comme angles à côtés perpendiculaires.
De même Fn= F +COC= F + ( p/2-F ) / 2= ( p/2+F ) / 2
FIGURE 3
Léquateur projeté sur lhorizon Fn donne lellipse CD, de même que lhorizon F projeté sur Fn.
Pour mieux apprécier cela déplaçons CD et CD parallèlement à eux-mêmes de façon que C et C viennent en e (fig.4).
Puis, pour mieux distinguer les différentes parties des éléments, faisons glisser CD sur eD dune longueur e C et CD sur eD dune longueur eC de façon à ce que eC soit égal à eC.
On retrouve léquateur COD de la figure 2b avec le rayon solaire coupant laxe du monde en E et léquateur en F.
Le rayon de la sphère céleste étant R on a EO=R tg d.
Le jour de lété d est maximum et égal pendant encore de nombreuses années à 23.44°. E est alors en A.
De même le jour de lhiver d est à son minimum égal à -23.44° et E est en B.
On a KF = R sin t et OK = R cos t.
Projetons maintenant léquateur sur lhorizon Fn. On obtient un analemmatique classique de Vaulezard de centre O,
de grand axe 2R et de petit axe 2R cos(p/2-Fn) = 2R sin Fn = CD.
OK = OK cos (p/2-Fn) = OK sin Fn = R cos t sin Fn.
KF = KF et tg w = KF / O'K' = R sin t / R cos t sin Fn = tg t / sin Fn
FIGURE 4
Cest cet angle w qui désignera lheure t sur lellipse.
OE = OE cos Fn = R tg d cos Fn. Cest là la valeur de léchelle des dates (ou des déclinaisons).
Sur lhorizon F qui nous intéresse en tout premier plan puisque cest lhorizon sur lequel sera construit notre cadran on aura FK = FK=FK
comme distances constantes entre la projetante FFF et le plan méridien eDDD).
De OK = OK cos (p/2-Fn) = OK sin Fn on tire OK = OK / sin Fn = R cos t.
FK = FK = R sin t et tg w = FK / OK = R sin t / R cos t = tg t. Doù w = t.
OE = OE cos (p/2-Fn) car DeD = p/2-Fn et par hypothèse DeD = DeD.
Donc OE = OE sin Fn.
OE = OE / sin Fn = OE cos Fn / sin Fn = R tg d / tg Fn
et OE = R tg d / tg ((p/2 +F) / 2 )
Cest là la valeur de notre échelle de dates ou de déclinaisons sur notre analemmatique circulaire nord que nous appellerons Rn.
La verticale passant par E fait alors avec lhorizon F un angle EEe égal à p/2-(p/2-Fn) = Fn.
Cest la valeur de langle dinclinaison de notre gnomon orienté vers le nord. On a ainsi les éléments pour construire un cadran analemmatique nord de Foster et Lambert.