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N° de dépôt 00037236

La courbe d'équation du temps

sur un cadran solaire

Jean Pakhomoff

 

Je vais donner ici quelques explications sur la signification des courbes en 8 allongées que l'on trouve sur les cadrans solaires.

Un cadran solaire paraît être presque toujours en retard ou en avance sur l'heure civile. S'il est gradué en heures solaires il y a tout lieu de penser que les passants n'y font pas attention car , sauf dans des cas de longitudes bien favorables, l'heure du cadran est éloignée tous les jours de l'heure de la montre. Si par contre le cadran est tracé en heures civiles l'avance ou le retard sera alors plus facilement appréciable car l'heure donnée par le cadran est proche de l'heure donnée par la montre.

1) Temps sidéral.

C'est le temps en rapport avec la rotation du globe terrestre ou de la sphère des fixes.

La sphère céleste, suite au mouvement diurne de la terre, fait un tour sur elle-même en 24 heures sidérales. Et de même tous les éléments qui la composent y compris les points Gamma et Gamma' intersections du grand cercle de l'équateur céleste ,sur lequel se comptent les ascensions droites, et de l'écliptique sur lequel se comptent les longitudes écliptiques du soleil.

La figure 1 représente une sphère céleste vue du côté ouest de l'horizon. Nous voyons l'équateur céleste coupant le grand cercle méridien en MM' ; l'écliptique coupant ce même cercle en EE' et les points Gamma Gamma' intersection de l'équateur et de l'écliptique. L'axe des pôles perpendiculaire à l'équateur fait un angle F avec le grand cercle de l'horizon. On a représenté le soleil à l'ouest en S sur le grand cercle écliptique. Par S passe le cercle horaire NSP d'angle horaire AH. La déclinaison d du soleil correspond sur ce cercle horaire à l'angle SOS'.

On dit qu'il est 0 heure sidérale quand le point Gamma (G) passe en M au méridien du lieu. On tire de la simple observation la relation TS = AR + AH : le temps sidéral est égal à la somme de l'ascension droite a (Ascensio Recta) d'une étoile quelconque et de son angle horaire AH.

Entre 2 passages du point G au méridien il s'écoule 24 heures sidérales.

2) Temps solaire vrai.

C'est le temps réel. L'heure juste du cadran solaire. L'heure de la nature. Il est midi lorsque le soleil passe au méridien.

3) Temps solaire moyen.

Le soleil passe au méridien avec des écarts de temps pouvant atteindre la demie-heure selon les époques de l'année. Le cadran sera en avance de 16 minutes début novembre et en retard de 15 vers la mi-février. Ces écarts sont rassemblés dans ce qu'on appelle l'équation du temps. Nous verrons ci-dessous que la valeur de cette équation du temps est égale à la somme de 2 valeurs variables l'une appelée équation du centre et l'autre la réduction à l'équateur.

Il a donc été nécessaire de créer un temps solaire moyen de 24 heures égales.

On se sert pour cela d'un soleil moyen fictif, proche du soleil réel situé lui sur l'écliptique, parcourant l'équateur céleste tout au long de l'année en partant de Gamma et se retrouvant au point Gamma aprés une durée de 1 an. L'observation a montré que ce retour en Gamma se faisait exactement aprés 336,2422 passages de Gamma au méridien du lieu de départ initial.

Le soleil fictif ayant pendant ce temps là avancé sur l'équateur de son mouvement propre dans le même sens contraire à Gamma aura alors fait un passage de moins à l'arrivée au méridien.

La figure 2 montre cela sur un exemple simple. Le point Gamma est le petit cercle noir. Le soleil fictif est le cercle rouge légèrement plus grand. Pour faciliter la compréhension on fait déplacer Gamma vers la droite et le soleil vers la gauche de façon qu'à chaque tour de gamma le soleil ait pivoté de 90°. Au départ Gamma et le soleil sont confondus. Au premier tour de gamma le soleil n'a fait que 3/4 de tour; au 2è tour de G le soleil a fait un tour et 1/2; au 3è tour le soleil a fait 2 tours 3/4 et au 4è tour le soleil a fait un tour de moins c'est-à-dire 3 tours.

On pourra alors dire que 366,2422 jours de temps sidéral équivalent à 365,2422 jours de temps solaire moyen d'où

1 jour solaire moyen = 366,2422/365,2422 = 1.002737909 jour sidéral = 24 h sidérales + 3'56,555'' sidérales.

Ces 3'56,555'' de temps sidéral correspondent au temps de retard pris par le soleil moyen équatorial sur gamma chaque fois que Gamma passe au méridien.

1 degré sur l'équateur valant 4' de temps ce temps équivaut donc à un angle de 3'56,555 / 4 = 0.98564583°

Cette valeur angulaire sera appelée moyen mouvement n du soleil fictif sur l'équateur céleste.

4) Variation dûe à l'équation du centre.

Cette valeur moyenne varie selon la position de la terre sur son orbite dans des valeurs comprises entre 1,02° vers le 2 janvier (vitesse rapide prés du périhélie) et 0,952° début juillet (vitesse lente vers l'aphélie) donnant en conséquence des avances ou retards plus ou moins importants par accumulation journalière de ces différences. Ces différences entre position du soleil vrai et du soleil moyen s'annulent le 2 janvier et le 2 juillet. Les valeurs les plus grandes sont atteintes le 3 avril avec un angle de + 1°55' (avance du soleil vrai sur le soleil moyen) et le 1er octobre avec -1°55' (retard du soleil vrai). Approximativement ces valeurs correspondent à une sinusoïde d'équation C = 115' sin nt

où C est la valeur de l'équation du centre, n le moyen mouvement égal à 0.98564583° et t le nombre de jours à compter du 2 janvier instant du passage du soleil au périhélie. 115 ' <=> 1°55' .

5) Variation dûe à la réduction à l'équateur.

Chaque variation journalière en longitude sur l'écliptique donne lieu à une autre variation sur l'équateur en ascension droite. C'est cette dernière qui va directement influer sur la valeur de l'angle horaire du soleil comme nous l'avons vu ci-dessus (TS=AR+AH). Or pour des déplacements identiques en longitude écliptique on obtient des déplacements inégaux en ascension droite. Pour nous en convaincre observons la figure 3.

Sur celle-ci l'équateur est en vert, l'écliptique en orangé. On prend le cas de figure de l'intersection de ces deux cercles en Gamma'. Le soleil va se déplacer de g' vers H'. Prenons FH = HH' sur l'écliptique. Le triangle sphérique FNH nous permet d'écrire la relation

cos a = cos NF cos NH + sin NF sin NH cos FH . De même HNH' permet d'écrire cos a' = cos NH cos NH' + sin NH sin NH' cos HH'

FH = HH' ==> cos FH = cos HH' = A; NH étant commun aux 2 triangles on peut écrire cos NH = B et sin NH = C

On aura alors cos a = B cos NF + A C sin NF et cos a' = B cos NH' + AC sin NH'

On a NH' > NF > PI/2. Lorsque la valeur d'un angle compris entre PI/2 et PI augmente son cosinus diminue et son sinus diminue.

Donc cos NH' < cos NF et sin NH' < sin NF d'où a' étant < PI/2 , cos a' < cos a ==> à' > a <==> GG' > EG .

Nous allons dans la suite de ce travail et dans un souci de simplification typographique remplacer la longitude écliptique l par l, la déclinaison d par d, l'ascension droite a par a, la longitude écliptique b par b et l'angle d'inclinaison de l'écliptique e par e.

Dessinons pour cela une sphère céleste (fig 4) montrant l'équateur céleste faisant un angle e avec l'écliptique et g leur intersection origine des ascensions droites equatoriales et des longitudes écliptiques. Prenons un astre A de déclinaison d, d'ascension droite a, de longitude l et de latitude b.

 

Dans le triangle sphérique PQA on a QP = e , PA = PI/2 - d , QA = PI/2 - b , QPA = PI/2 + a , PQA = PI/2 - l

En lui appliquant les relations classiques de trigonométrie sphérique (formules de Gauss) on pourra écrire:

cos QA = cos QP cos PA + sin QP sin PA cos QPA <==>

cos (pi/2-b) = cos e cos (pi/2-d) + sin e sin (pi/2-d) cos (pi/2+a) d'où

sin b = cos e sin d - sin e cos d sin a (1)

de même sin QA cos PQA = cos PA sin QP - sin PA cos QP cos QPA <==>

cos b sin l = sin d sin e + cos d cos e sin a (2)

enfin sin QA sin PQA = sin PA sin QPA <== > cos b cos l = cos d cos a (3)

Ces 3 équations permettent de passer des coordonnées équatoriales d'un astre à ses coordonnées écliptiques. Pour passer des coordonnées écliptiques aux coordonnées équatoriales on prendra dans le même triangle QPA un autre système d'angle. Ainsi on aura

cos PA = cos PQ cos QA + sin PQ sin QA cos PQA <==> sin d = cos e sin b + sin e cos b sin l (4)

sin PA cos QPA = sin QP cos QA - cos QP sin QA cos PQA <==> cos d sin a = - sin e sin b + cos e cos b sin l (5)

On a également la relation (3). Si l'astre est positionné sur l'écliptique (cas du soleil) alors b = 0 et (3) devient cos l = cos d cos a (6)

de même (5) devient cos e sin l = cos d sin a (7) . En divisant membre à membre (7) par (6) on obtient cos e tg l = tg a (8)

La tangente de l'ascension droite est égale au produit de la tangente de la longitude par epsilon. Cependant si cette relation permet de connaître l'ascension droite du soleil à partir de sa longitude elle ne renseigne pas immédiatement sur la variation journalière de cette ascension droite en fonction de la position du soleil sur l'écliptique à une date précise de sa trajectoire. Il nous faut apprécier la différence angulaire entre la longitude du soleil fictif à une date donnée et la correspondance en ascension doite sur l'équateur. Cette différence sera la valeur de la réduction à l'équateur qui modifiera d'autant l'ascension droite moyenne du soleil fictif équatorial.

Pour cela écrivons dans (8) cos e en fonction de l'arc moitié. Nous aurons en appelant tg e/2 = t , cos e = (1-t²) / (1+t²)

et tg a = tg l (1-t²) / (1+t²) => tg a + tg a t² = tg l - tgl t² => tg a - tg l = - t² (tg a + tg l) =>

sin a / cos a - sin l / cos l = - t² (sin a / cos a + sin l / cos l) ==> sin a cos l- sin l cos a = - t² (sin a cos l + sin l cos a) ==>

sin (a - l) = - t² sin (a + l) ; la valeur maximum de sin (a + l) étant 1 la valeur absolue de sin (a-l) est t² <==> tg² (23,45/2) = 0,208²

= 0,0431 ce qui correspond à un angle de 2° 28' <==> 148' d'arc. Cet angle étant petit on peut l'identifier à son sinus (en radian) et donc dire que sin (a - l) = - 148' sin (a + l) = a - l ; a étant toujours proche de l on pourra simplifier en écrivant

a - l = - 148' sin 2l = R --(9). C'est l'expression de la réduction à l'équateur différence entre l'ascension doite équatoriale et la longitude du soleil moyen écliptique (l'angle de cette longitude étant identique à l'ascension droite équatoriale du soleil fictif équatorial servant à déterminer l'heure solaire moyenne ).

On obtient l'heure civile en corrigeant l'heure solaire moyenne de la valeur de l'équation du temps et de celle de la longitude géographique).

En fin de compte l'heure solaire moyenne va varier tous les jours avec l'heure vraie du soleil de la valeur E de l'équation du temps qui est la somme des 2 variations étudiées (pour l'essentiel). On aura donc

E = C + R = 115' sin nt - 148' sin 2 l .

1' d'angle équivaut à 4'' de temps d'où en temps E = 460 sin nt - 592 sin 2 l--- (10) .

On compte les longitudes à partir du 2 janvier jour de passage au périhélie. La longitude du soleil est alors d'environ 282°. Cette longitude s'accroît de 50'' par an par le phénomène de précession des équinoxes et d'encore 11'' par le mouvement propre du périhélie. (62 '' par an).

Le 1er janvier 2000 elle était de 282°55'59'' = 282,93306°.

On obtiendra la longitude du soleil pour le calcul de E par la formule ci-dessous déduite des considérations ci-dessus:

l = la + nt + 115' sin nt

où la est la longitude actualisée au 2 janvier de l'année considérée, n le moyen mouvement égal à 0.98564583° et t le nombre de jours depuis le 2 janvier. la = 282,93306° + (millésime de l'année - 2000) X 62''/3600

En fin de compte (10) peut s'écrire E = 460 sin nt - 592 sin 2 (la + nt + 115 sin nt)

L'équation du temps a 4 maximums: le soleil avance de 16'23'' le 4 novembre, de 3'47'' le 15 mai.

Son retard est de 14'22'' le 11 février et de 6'23'' le 27 juillet. A quelques secondes prés.

En transformant les valeurs de l'équation du temps en angles horaires on peut tracer celle-ci sur les cadrans solaires.

Il est l'heure de la ligne horaire sur laquelle elle est construite lorsque l'ombre du point stylaire correspondant la touche à la date de lecture.

Pour terminer montrons les variations des 3 quantités étudiées au cours de l'année sur un graphique tiré de l'Astronomie Générale de Bakouline Kononovitch et Moroz (Editions Mir de Moscou):

...et quelques courbes d'équation du temps réalisées sur différents cadrans solaires.

sur un cadran septentrional

sur la méridienne d'un bifilaire horizontal

sur un vertical à polo (1h 30) et sur un bifilaire

vertical qui lui est perpendiculaire (11h 45)

sur midi solaire d'un vertical avec

également la courbe graphique

J'ai tiré des calculs ci-dessus le progamme informatique suivant qui permet de connaître les valeurs de E chaque jour de l'année

avec une trés bonne approximation. Je donne aussi un programme permettant le passage de l'heure lue au cadran à l'heure civile et inversement.

bibliographie:

Cours de Monsieur Georges Faure + (Société Flammarion Marseille).

L' Astronomie Générale de Bakouline Kononovitch et Moroz (Editions Mir de Moscou)

Traité de Cosmographie de A. Grignon Editions Vuibert et Nony - Paris 1904

Programme informatique pour le calcul de l'équation du temps

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