Domification de Régiomontanus (2è partie)
jean pakhomoff
B) alfa et delta des étoiles se levant ou se couchant à l’horizon en rapport avec un point choisi
du lever de l’écliptique .
Le point écliptique étant choisi sa longitude l est donc donnée. On peut alors trouver son ascension droite a
par la relation classique : tg a = tg l cos ep connaissant a on tire la déclinaison d correspondante par la
relation sin a = tg d / tg ep . Connaissant d on tire la valeur de l’angle horaire correspondant à l’arc semi-diurne de ce point écliptique:
t = arc cosinus (-tg d tg f). une fois obtenue la valeur de t on peut connaître la valeur du temps sidéral lors de ce lever : TS = a+t.
Une fois connu le temps sidéral nous pouvons chercher l’alfa et le delta d’une étoile arbitraire se levant
(ou couchant) à l’horizon. Considérons le triangle sphérique PEN de la figure 9.
fig 9
Ce triangle est rectangle en N intersection du plan méridien et de l’horizon, E étant une étoile d’azimut A arbitrairement choisi.
On a : NE = pi - (2pi - A) = A-pi PN = f latitude du lieu PE = pi/2 - d où d est la déclinaison de l’étoile E PNE = pi/2 NPE = t - pi
Dans un triangle rectangle sphérique on peut écrire tg (A - pi) / tg (t - pi) = sin f = tg A / tg t d’où
tg t = tg A / sin f
connaissant t on a a = TS - t
De même on peut écrire sin (t - pi) / sin (A - pi) = sin PNE / sin (pi/2 - d)
- sin t / - sin A = 1 / cos d et
cos d = sin A / sin t
d’où a et d de l’étoile choisie au moment du lever (ou coucher en ajoutant ou soustrayant pi) d’un point choisi de l’écliptique.
Remarquons que si l’étoile se lève au sud de l’équateur le triangle PE’S permet d’arriver aux mêmes formules : PE’ = pi/2 + d (ici d<0) PS = pi - f E’S = 2pi - A E’PS = 2pi - t
C) Connaissant l’a et la d d’une étoile, quelle est la longitude du lever (ou coucher) de l’écliptique au même instant ?
C’est la détermination du lever ou du coucher héliaque d’une étoile.
On recherche l’angle horaire du lever qui nous est donné par la formule classique de l’arc semi-diurne
asd = arc cosinus (-tg d tg f)
Au lever de l’étoile E son angle horaire t est donc égal à 2 pi - asd.
Le temps sidéral du lever est donc TS = t + a = 2pi - asd + a
Nous avons vu plus haut que, le TS étant connu, il nous était possible de calculer Lg donc de connaître la longitude du lever et du coucher de l’écliptique au moment du lever (ou du coucher) de l’étoile.
Exemple du lever de Sirius (d = - 16°42’7’’ = -16.70194° a = 6h 44’ 42’’ = 101.175° position 1990) à Marseille où f = 43.3°.
On tire de ci-dessus asd = 73.575° t = 286.425° TS = 27.6° = 1h 50’ 24’’.
De là on tire l’ascendant égal à 132.17° (signe et non constellation du Lion) et le descendant égal à 312.17°
(signe du verseau).
En consultant les éphémérides on voit qu’une longitude de 132.17° correspond à la période du 5 Août.
A ce moment le soleil se lèvera en même temps que Sirius : c’est le lever héliaque de Sirius (période caniculaire : le grand chien est caché à notre vue puisque perdu dans la lumière du soleil).
Le descendant correspond à la période du 2 Février. Ce jour là le soleil se couche lorsque Sirius se lève :
bonne période d’observation de cette étoile.
Pour obtenir le coucher héliaque on remarquera que l’angle horaire t est alors égal à l’asd d’où t = asd
et TS = t + a. Pour Sirius on a TS = 174.75° (11h 39’) ce qui correspond à un ascendant de
245.08° (signe du Sagittaire) et un descendant de 65.08° (signe des gémeaux).
Une longitude de 245.08° correspond d’aprés les éphémérides à la pèriode du 28 Novembre: à ce moment lorsque Sirius se couche le soleil se lève : bonne pèriode d’observation de l’étoile.
Une longitude de 65.08° correspond au 27 Mai : le soleil se couche en même temps que Sirius (coucher héliaque). Mauvaise pèriode d’observation.
En comparant ces différentes valeurs on peut conclure que la meilleure période d’observation de Sirius se situe entre le 28 Novembre et le 2 février et que la pèriode caniculaire où Sirius
est cachée à notre vue se situe entre le 27 Mai et le 5 Août.
C) Domification de Régiomontanus.
Les 3 domifications les plus utilisées par les astrologues sont celles dites de Placidus,
Campanus et Régiomontanus. La première, celle la plus connue des amateurs, du moins par son nom puisqu’on la trouve dans tous les commerces,
ne fait pas appel à la trigonométrie sphérique. Nous n’en parlerons pas dans ce travail.
Dans la domification de Régiomontanus les maisons sont des secteurs de sphère céleste limités par des grands cercles passant par les point Nord et Sud de l’horizon et coupant l’équateur céleste de
30 en 30° à partir du point Est de l’horizon dans le sens direct.
Celle de Campanus ressemble de trés prés à celle de Régiomontanus mais les grands cercles passent par le premier vertical.
a) Détermination de l’angle M (pointe-horizon)
Les maisons diurnes commencent à l’ascendant par la pointe de la maison 1 (qui elle est le grand cercle de l’horizon côté Est).
fig 10
Ensuite d’Est en Ouest on trouve la maison 12 , 11, 10 (la pointe de 10 étant le méridien ou milieu du ciel),
puis 9, 8, 7 (la pointe de 7 étant le grand cercle de l’horizon côté ouest ou descendant), puis les maisons nocturnes 6, 5, 4 (la pointe de 4 est l’anté-méridien ou fond du ciel), et 3, 2, 1.
Nous appellerons L (figures 11 et suivantes) le point de lever de l’écliptique, T le point Est de l’horizon,
N le point Nord, D le point Sud, E l’intersection d’un cercle de domification avec l’équateur et S l’intersection d’un tel cercle avec l’écliptique.
Nous appellerons M l’angle de secteur des pointes des maisons avec l’horizon (angle variant de 30° pour la maison 12 à 360° pour la maison 1).
TE sera l’angle correpondant sur l’équateur céleste. Par exemple pour la maison 12 , TE = 30° et pour la maison 3, TE = 300°.
fig 11
Le triangle sphérique NTE permet d’écrire
cos NE = cos NT cos TE + sin NT sin TE cos (pi/2 + f) d’où cos NE = -sin TE sin f (NT = pi/2)
cos TE = cos NE cos NT + sin NE sin NT cos M et
cos M = cos TE / sin NE
L’ordinateur donne les angles à partir de leurs arc tangentes. Il est donc nécessaire d’utiliser les formules de tranformation citées c-dessus.
Pour les maisons 12, 11 et 10 TE < pi/2, cos NE<0 =>NE > pi/2 , cos M > 0 et M < pi/2
Donc l’ordinateur fournira M = M (transformation de l’arc cosinus en arc tangente).
Pour les maisons 9, 8 et 7 pi/2< TE < pi. Dans ce cas cos NE < 0 <=> NE > pi/2 <=> sin NE > 0
cos TE < 0 => cos M < 0 On rajoutera donc pi à la valeur fournie par l’ordinateur
(exemple cos 2pi/3= x => l’arc tangente de transformation donne pour x un angle de - pi/3) . On écrira dans le programme M = M + pi.
Pour les maisons 6, 5 et 4 on a pi < TE < 3pi/2 on a sin TE < 0 et cos TE < 0 => cos NE > 0
et NE < pi/2 => sin NE > 0 => cos M < 0. Ici il nous faudra prendre M = pi - M (M étant < 0)
Pour les maisons 3, 2, 1 3pi/2<TE<2pi => sin TE < 0 et cos NE > 0 => NE < pi/2 et sin NE > 0
cos TE > 0 => cos M > 0. Il nous faudra prendre ici M = 2pi - M.
Notons que si TE = pi/2 cos M = 0 et M = pi/2
si TE = pi M = pi , TE = 3pi/2 => M = 3pi/2 et TE = 2pi => M = 0 ou 2pi
b) Position de gamma par rapport à l’horizon.
1) gamma sur l’horizon (fig 12)
fig 12
On a vu qu’ici l’écliptique au lever coupait l’horizon dans sa partie nord. Le triangle LTg permet d’écrire
sin (pi/2 + f) / sin Lg = sin ep / sin LT d’où sin LT = sin ep sin Lg / cos f
ep et f sont connus et le début de cette étude nous permet de calculer Lg.
On considérera la quantité LN = pi/2 - LT (quand g passe au méridien Lg > gT).
2) gamma sous l’horizon (fig 13).
fig 13
Dans l’hémisphère nord l’écliptique coupe dans ce cas l’horizon vers le sud. De LTg on tire
sin ep / sin Lt = sin (pi/2 + f) / sin (2pi - Lg) et sin LT = - sin ep sin Lg / cos f
On considérera la quantité LN = pi/2 + LT ( quand gamma’ passe au méridien Lg’<Tg’ et par suite Lg’<p/2).
c) Calcul de la grandeur d’arc d’écliptique compris dans le secteur d’une maison. (figure 14)
fig 14
On connaît L, LT, LN et M. Considérons le triangle sphérique LSN.
On a sin NS / sin (pi/2 + L) = sin sin LS / sin M d’où sin NS = sin LS cos L / sin M
cos LS = cos NS cos NL + sin NS sin NL cos M et
cos NS = (cos LS - sin NS sin NL cos M) / cos NL en remplaçant sin NS par sa valeur on obtient
cos NS = [cos LS - (sin LS cos L / sin M) sin NL cos M ] / cos NL
De même cos NS = cos LS cos NL + sin LS sin NL cos (pi/2 +L)
= cos LS cos NL - sin LS sin NL sin L
et en comparant les 2 valeurs de cos NS il vient
cos LS - (sin LS cos Lsin M) sin NL cos M = cos² NL cos LS - sin LS sin NL cos NL sin L
divisons par cos LS
1- (tg LS cos L / sin M) sin NL cos M = cos² NL - tg LS sin NL cos NL sin L
sin² NL = tg LS cos L sin NL cos M / sin M - tg LS sin NL cos NL sin L
sin NL = tg LS cos L cos M / sin M - tg LS cos NL sin L
= tg LS cos L / tg M - tg LS cos NL sin L
sin NL tg M = tg LS cos L - tg LS cos NL sin L tg M
= tg LS (cos L - cos NL sin l tg M)
tg LS = sin NL tg M / (cos L - cos NL sin L tg M) = sin NL / (cos L/ tg M - cos NL sin L)
tg LS = 1 / (cos L / tg M sin NL - sin L / tg NL)
si M tend vers pi/2 ou 3pi/2 tg M tend vers + ou - l’infini et tg LS tend vers sinNL/-cosNLsinL = -tg NL / sin L
d) Variations de la grandeur LS en fonction des maisons considérées.
On tiendra compte de la pèriode de la tangente dans l’appréciation de LS.
1) Cas des maisons 12, 11, 10 (valeurs de LS (12), LS(11), LS(10) )
tg LS > 0 => LS < pi/2 on prend LS = LS
tg LS < 0 => LS > pi/2 on prend LS = pi + LS
2) Cas des maisons 9, 8 et 7 (LS(9) ...)
Ici LS < ou = pi. Si tg LS >0 (LS < pi/2) on pred LS = LS; si tg LS < 0 (LS > pi/2) on prend LS = pi + LS
3) Cas des maisons 6,5,4,3,2 et 1 (LS(6)...): ici LS > pi peut être > ou < à 3pi/2.
Si tg LS > 0 (LS est compris entre pi et 3pi/2) on prend LS = PI + LS
si tg LS < 0 (LS compris entre 3pi/2 et 2pi on prend LS = 2pi + LS (l’ordinateur fournissant l’arc tangente le plus faible).
Par exemple tangente -1.732 <=> arc tangente- 60 et 300. L’ordinateur donne -60 : on rajoutte 360.
Si tangente LS = 0 on prendra LS = 0 pour la pointe de la maison 1 (ascendant) ou LS = pi pour la pointe de la maison 7 (descendant).
La portion d’écliptique liée à chaque maison se trouvera en soustrayant les différentes valeurs de LS calculées pour chaque pointe de maison:
par exemple la portion d’écliptique revenant à la maison XII sera valeur de LS(12) - longitude de l’ascendant (Lg),
la portion revenant à la maison XI sera la différence entre L(11) et L(12) etc...
Nous pourrons donc connaître quelle portion du zodiaque et quels objets célestes qui y sont attachés se trouvent dans chacune des maisons.
e) Cas d’une domification de l’hémisphère Sud.
La figure 15 montre que le grand cercle de l’horizon de latitude fn partage la sphère céleste en 2 hémisphères.
L’hémisphère supèrieur en rapport avec l’hémisphère nord et l’hémisphère infèrieur avec l’antipode de l’hémisphère sud à la même latitude australe fs.
fig 15
Le coucher de l’écliptique sur fn correspond au lever du même point sur fs.
La partie zodiacale contenue dans la 7è maison septentrionale dont la pointe est le descendant est alors contenue dans la 1 ère maison australe dont la pointe est l’ascendant. Et ainsi de suite.
Le milieu du ciel boréal devient le fond du ciel austral et le fond du ciel boréal devient le milieu du ciel austral.
Au temps sidéral TSn sur fn correspond TSs = TSn + 12 heures sur fs.
On va rechercher le temps sidéral correspondant à un instant donné (naissance par exemple) en tenant compte de la longitude et en utilisant le facteur de conversion temps solaire moyen temps sidéral.
Si l’on se trouve dans l’hémisphère sud on rajoute 12 heures pour avoir le temps sidéral correspondant au même instant dans l’hémisphère sud. Si TSs ou TSn >24h on retranche 24 heures.
La position de l’écliptique n’étant pas modifiée, on peut domifier à partir de TSs et on adapte ensuite les valeurs de domification trouvées à l’hémisphère sud selon le procédé décrit ci-dessus sans calculs supplémentaires.
f) Précisions sur les facteurs de conversion temps sidéral <=> temps solaire moyen.
La durée du jour sidéral est fixée à 24 heures <=> 86400 secondes. Or, vu le déplacement du soleil en ascension droite, il faut en moyenne 236.555 secondes supplémentaires pour
que celui-ci repasse au méridien. Il faudra donc 86636.555 secondes de temps moyen pour voir le soleil repasser au méridien.
On en déduit que le jour sidéral vaut 86400 / 86636.555 = 0.99726957 jour solaire moyen et qu’à l’inverse 1 jour solaire moyen = 1 / 0.99726957 jour sidéral = 1.002737906 jour sidéral.
Donnons deux exemples : 1) Soit une naissance survenant à 14 H 30 ‘ le 20 Juillet 1974 à Melbourne par exemple (fs = 38° Sud et l = -145° ou 9 h 40’ Est).
Le fuseau est le 10è à l’Est donc avance par rapport à Greenwich.
Le TU = 14h 30 - 10h = 4h 30 : tranformation en temps sidéral = 4.5 X 1.002737906 = 4h 30’ 44’’.
En ajoutant la longitude on obtient 14h 10’ 44’’. Les tables d’éphémérides montrent qu’à Greenwich le
20 7 1974 à 0h le temps sidéral est de 19h 49’ 35’’ . Le temps sidéral du moment de la naissance est de
14h 10’ 44’’ + 19h 49’ 35’’ = 34h 0’ 19’’. C’est-à-dire 12h 0’ 19’’. Etant dans l’hémisphère sud le TS correspondant dans l’hémisphère nord sera de 24h 0’ 19 ‘’.
Le temps sidéral à prendre en considération pour établir notre domification sera donc 0h 0’ 19’’.
2) Même lieu mais l’heure de naissance est 5 heures du matin.
TU = -5h <=> 19h mais du 19 7 1974. Aprés transformation en temps sidéral on trouve 19h 3’ 10’’.
En ajoutant la longitude on obtient 28h 43’ 10’’ <=> 4h 43’ 10’’. Les tables d’éphémérides montrent qu’à Greenwich le 19 7 1974 à 0h le temps sidéral est de 19h 45’ 38’’.
Le temps sidéral de naissance est donc de 19h 45’ 38’’ + 4h 43’ 10’’ = 24h 28’ 48’’ <=> 0h 28’ 48’’ ce qui correspond à un temps sidéral de 12h 28’ 48’’
dans l’hémisphère nord dont nous nous servirons pour établir la domification.
Levers et couchers des étoiles
Domification de Placidus: étude géométrique
Couchers de Vénus et Jupiter
le 25 11 1984 à Marseille
