GNOMONIQUE DU POINT HORS-STYLE
Jean Pakhomoff
La lecture de la liste des cadrans solaires publiées par la SAF nous apprend que le style dun cadran de Fontvieille a été tordu dans le but de lui faire indiquer lheure dété.
Lauteur de cette liste a ajouté un point dexclamation pour souligner lincongruité dune telle manoeuvre.
1) Il nest pas possible de tordre le style pour faire indiquer une heure précise en avance ou en retard constant par rapport à lheure normalement calculée.
Si intuitivement on peut soupçonner que cette façon de faire nest pas admissible encore faut-il démontrer pourquoi. Choisissons le cas très favorable où le point hors style est sur une horizontale parallèle au plan du cadran. Si notre affirmation est démontrée dans ce cas on pourra en déduire logiquement quelle sera tout autant valable pour le cas bien moins favorable dun point quelconque de lespace.
De par un point hors du style on peut faire pourtant donner toutes sortes dindications des plus rigoureusement exactes. Cest par exemple le cas du style en forme de croix de Camargue dont le dessin ma été procuré par Monsieur Serge Durand dit Trinquetaille prés dArles.
Dans le travail ci-dessous nous allons étudier ces deux intéressants problèmes.
Soit donc fig. 1 un style OO et un point K hors style répondant à la condition ci-dessus.
fig 1
Un cercle horaire de centre O coupe le cadran selon OHH1H2. OH1 est la ligne horaire correspondant à linstant t. A cet instant t correspond lazimut To dont le vertical coupe le cadran en ToH1. Le rayon solaire passant par O perce le cadran en H1. En faisant passer le même plan azimutal par K (coupant le cadran en ToH1) et en traçant le rayon solaire parallèle à OH1, celui-ci perce le cadran en H1 montrant la ligne horaire OH1 correspondant à une autre heure que nous pouvons appeler tx.
Soit un autre moment de lannée à la même heure t. Lazimut fonction de la déclinaison a changé.
Plaçons nous dans le cas où il a augmenté pour la commodité du dessin.
A linstant t dangle tabulaire H horizontal et dangle tabulaire vertical AOH1 lazimut est maintenant T1. Ce vertical coupe le cadran selon T1H2. Le rayon solaire correspondant est OH2.
Par K faisons passer le vertical parallèle et menons dans celui-ci le rayon solaire KH2 parallèle à OH2. Il perce le cadran en H2 de façon que H2H2 = OK. Donc H2H2 = H1H1.
On voit que la ligne horaire OH2 est < à celle attendue (H2H2 < H2H2).
Donc la différence dheure indiquée par un point stylaire et un point hors style varie chaque jour de lannée vue la variation de déclinaison du soleil.
Pour quun ou plusieurs points hors style donnent des indications gnomoniques valables sur le plan dun cadran construit pour un style bien défini il est nécessaire de faire passer un axe du monde virtuel par ce ou ces différents points. Telle est létude rapportée dans le chapitre suivant.
2) Indications gnomoniques dun point hors style.
Soit un style en forme de T que nous appellerons OTOP où TP est perpendiculaire à OO (fig 2).
fig 2
Nous nous proposons de faire donner par les points P et T des indications complémentaires à celles données par le point O. Limplantation dun style se fait habituellement en se servant du plan sous-stylaire OOO plutôt que par le plan méridien OAO. Cela pour une question de facilité quand le mur décline. Ce style OTOP sera donc posé sur ce plan sous-stylaire qui est le plan de projection orthogonale de laxe du monde OO sur le plan du cadran. On appelle S langle fait sur le plan du cadran par l'intersection de ce plan sous-stylaire avec le plan méridien . On démontre par ailleurs sans difficulté que cet angle est lié à la latitude F et à la déclinaison gnomonique dg du cadran par la relation tg S = sin dg / tg F . Précisons que langle dg est compté comme angle dont a pivoté le plan du cadran par rapport à la ligne est ouest et occupons nous du point P les calculs étant identiques pour le point T.
Traçons le plan OOPP perpendiculaire au plan sous-stylaire OOO. OP par hypothèse est perpendiculaire à OO. Faisons glisser OP parallèlement à lui-même le long de OO jusquà ce quil touche le plan du cadran en OP. On obtient alors le rectangle OPPO. OP forme donc avec lhorizontale OZ un angle égal à S . En effet OP est perpendiculaire au plan OOO et donc à OO et lhorizontale OZ est perpendiculaire à la verticale OA. Les angles AOO et POZ sont donc égaux comme angles à côtés perpendiculaires.
On a OP = OP. On peut considérer que PP est le style dun cadran virtuel PPA.
Projetons P en Z sur lhorizontale OZ: on a ZP = OP sin S = yn ; O'Z = OP cos S = xn . OP = OP doù xn = OP cos S ; yn = OP sin S
Connaissant les coordonnées xn et yn de P point dentrée de laxe du monde dans le cadran en provenance du point hors style P on pourra alors tracer ce cadran virtuel de style de longueur
PP = OO.
Le cadran correspondant au point T passera par T de mêmes coordonnées xn et yn mais celles-ci seront à placer en sens opposé sur les axes verticaux et horizontaux (OA et OZ).
Remarque: Dans le cas de figure des déclinants EST les points comme P situés à l' EST auront leur correspondant P' sous l'horizonrale passant par O'; ceux situés à l' OUEST tels que T auront leur correspondant T' au-dessus de cette horizontale . La situation s' inverse pour les déclinants OUEST.
Voici une application des calculs ci-dessus à la construction du
cadran solaire de Mr Serge Durand dit Trinquetaille situé à Rousset.
Latitude 43°295 nord Longitude -5°3733 est. Déclinaison gnomonique 23°1552 est (336°448 selon la définition de la commission des cadrans solaires de la SAF).
O
Les indications sont données par 5 points dun style plat dit camarguais comme le montre le schéma ci-dessous, la droite FOO étant laxe des pôles pénétrant le plan du cadran en O.
La droite FOO indique les heures solaires.
Les valeurs horaires indiquées ci-dessous devront toutes être corrigées de la valeur de léquation du temps en rapport avec la date donnée. Par exemple le 27 Avril le lever ayant lieu à 5h540 celui-ci a lieu en vérité à environ 5h 320 car la valeur de léquation du temps est de 222 davance à midi TU.
Le point O décrit 4 arcs diurnes correspondants à 4 dates anniversaires: 27/4, 6/6, 13/9, 13/12 ainsi que la droite équinoxiale et la courbe déquation du temps construite sur la méridienne.
27/4: durée du jour 13h 4840 lever à 5h540 coucher à 18h 5420. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h051
6/6: durée du jour 15h646 lever à 4h2637 coucher à 19h3323. Le soleil passe dans le plan du cadran à 5h1946 et à 14h2416.
13/9: durée du jour 12h2817 lever à 5h4551 coucher à 18h149. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h3841.
13/12: durée du jour 8h4832 lever à 7h3544 coucher à 16h2416. Lever et coucher sur le cadran.
Les jours déquinoxes (20 mars et 23 Septembre en moyenne) la durée du jour est de 12 heures.
Lever à 6h et coucher à 18h. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h521.
Le point G décrit un arc diurne indépendant du point O et correspondant au solstice dété le 21 Juin. Durée du jour 15h 1414 lever à 4h2253 coucher à 19h377. Passage du soleil dans le plan du cadran à 5h2316 et à 14h2047.
Ce point indique aussi la direction dArles qui est à 107.667° à louest du méridien passant par le cadran. Ce même grand cercle vertical dazimut passe par lazimut 107.667 + 180 = 287.667° est.
La déclinaison de larc semi-diurne passant par cet azimut est de -12.678°. Pour toute déclinaison inférieure le soleil se lèvera trop au sud et ne pourra indiquer cet azimut correspondant à la direction opposée à Arles. Les conditions dindication sont donc les dates comprises entre le 15 Février et le 27 Octobre. Durant cette période, lorsque lombre du point G touche la droite indiquée T sur le cadran, le soleil se situe à lopposé de Arles dans le plan vertical soleil, droite T ,Arles.
Le point H décrit un autre arc diurne indépendant des points O et G correspondant au solstice dhiver le 22 Décembre. Durée du jour 8h 4546 lever à 7h377 coucher à 16h2253.
Lever et coucher sur le cadran.
Le point G est relié à la courbe indiquant le moment de la principale prière de lIslam survenant vers le milieu de laprès-midi selon la définition choisie par le Prophète Mahomet: LASR survient lorsque la longueur de lombre dun gnomon vertical est égale à la longueur du gnomon augmentée de la longueur de son ombre à midi.
Lorsque lombre du point G touche la courbe du ASR il sera lheure de faire cette prière 3 heures après. Il a été nécessaire danticiper cette heure de prière pour que la courbe soit entièrement contenue dans le cadran. Celle-ci est tracée à laide de 7 points pris sur les arcs diurnes de passage dans les différents signes du zodiaque en rapport avec le style passant par G.
Le point H indique la direction de Jérusalem qui se situe dans lazimut 286.737° à lest du méridien passant par le cadran. La déclinaison de larc semi-diurne passant par cet azimut est de -12.0605°. Pour les mêmes raisons que données ci-dessus le soleil passera dans cet azimut du 17 Février au 25 Octobre. Durant cette période, lorsque lombre du point H touchera la droite indiquée J sur le cadran, le soleil vu de face indiquera la direction de Jérusalem.
Arles et Jérusalem sont pratiquement en opposition par rapport au cadran.
Conversion des heures lues en heures légales :
En appelant EQ la valeur de léquation du temps en minutes au jour de lecture (avec le signe + pour les avances et - pour les retards) et L la longitude du cadran en degrés (avec le signe - pour lEst et + pour lOuest) on écrira que
heure de la montre = heure lue sur le cadran - EQ/60 +L/15 + C où C est la constante arbitraire de 1 ou 2 heures selon la pèriode dheures dhiver ou dété.
Inversement lheure lue sur le cadran sera égale à lheures de la montre + EQ/60 -L/15 -C .
Pour revenir à lexemple du lever du 27 Avril à 5h540 cette heure correspondra à
5h540 - 222/60 + (-5°3733)/15 + 2 = 6h 40 48.
jean pakhomoff 19/11/2000