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GNOMONIQUE DU POINT HORS-STYLE

Jean Pakhomoff

La lecture de la liste des cadrans solaires publiées par la SAF nous apprend que le style d’un cadran de Fontvieille a été tordu dans le but de lui faire indiquer l’heure d’été.

L’auteur de cette liste a ajouté un point d’exclamation pour souligner l’incongruité d’une telle manoeuvre.

1) Il n’est pas possible de tordre le style pour faire indiquer une heure précise en avance ou en retard constant par rapport à l’heure normalement calculée.

Si intuitivement on peut soupçonner que cette façon de faire n’est pas admissible encore faut-il démontrer pourquoi. Choisissons le cas très favorable où le point hors style est sur une horizontale parallèle au plan du cadran. Si notre affirmation est démontrée dans ce cas on pourra en déduire logiquement qu’elle sera tout autant valable pour le cas bien moins favorable d’un point quelconque de l’espace.

De par un point hors du style on peut faire pourtant donner toutes sortes d’indications des plus rigoureusement exactes. C’est par exemple le cas du style en forme de croix de Camargue dont le dessin m’a été procuré par Monsieur Serge Durand dit Trinquetaille prés d’Arles.

Dans le travail ci-dessous nous allons étudier ces deux intéressants problèmes.

Soit donc fig. 1 un style OO’ et un point K hors style répondant à la condition ci-dessus.

fig 1

Un cercle horaire de centre O coupe le cadran selon O’HH1H2. O’H1 est la ligne horaire correspondant à l’instant t. A cet instant t correspond l’azimut To dont le vertical coupe le cadran en ToH1. Le rayon solaire passant par O perce le cadran en H1. En faisant passer le même plan azimutal par K (coupant le cadran en T’oH’1) et en traçant le rayon solaire parallèle à OH1, celui-ci perce le cadran en H’1 montrant la ligne horaire O’H’1 correspondant à une autre heure que nous pouvons appeler tx.

Soit un autre moment de l’année à la même heure t. L’azimut fonction de la déclinaison a changé.

Plaçons nous dans le cas où il a augmenté pour la commodité du dessin.

A l’instant t d’angle tabulaire H horizontal et d’angle tabulaire vertical AO’H1 l’azimut est maintenant T1. Ce vertical coupe le cadran selon T’1H2. Le rayon solaire correspondant est OH2.

Par K faisons passer le vertical parallèle et menons dans celui-ci le rayon solaire KH’2 parallèle à OH2. Il perce le cadran en H’2 de façon que H2H’2 = OK. Donc H2H’2 = H1H’1.

On voit que la ligne horaire O’H’2 est < à celle attendue (H2H’2 < H2H’’2).

Donc la différence d’heure indiquée par un point stylaire et un point hors style varie chaque jour de l’année vue la variation de déclinaison du soleil.

Pour qu’un ou plusieurs points hors style donnent des indications gnomoniques valables sur le plan d’un cadran construit pour un style bien défini il est nécessaire de faire passer un axe du monde virtuel par ce ou ces différents points. Telle est l’étude rapportée dans le chapitre suivant.

2) Indications gnomoniques d’un point hors style.

Soit un style en forme de T que nous appellerons O’TOP où TP est perpendiculaire à OO’ (fig 2).

fig 2

Nous nous proposons de faire donner par les points P et T des indications complémentaires à celles données par le point O. L’implantation d’un style se fait habituellement en se servant du plan sous-stylaire OO’O’’ plutôt que par le plan méridien OAO’. Cela pour une question de facilité quand le mur décline. Ce style O’TOP sera donc posé sur ce plan sous-stylaire qui est le plan de projection orthogonale de l’axe du monde OO’ sur le plan du cadran. On appelle S l’angle fait sur le plan du cadran par l'intersection de ce plan sous-stylaire avec le plan méridien . On démontre par ailleurs sans difficulté que cet angle est lié à la latitude F et à la déclinaison gnomonique dg du cadran par la relation tg S = sin dg / tg F . Précisons que l’angle dg est compté comme angle dont a pivoté le plan du cadran par rapport à la ligne est ouest et occupons nous du point P les calculs étant identiques pour le point T.

Traçons le plan OO’P’P perpendiculaire au plan sous-stylaire OO’O’’. OP par hypothèse est perpendiculaire à OO’. Faisons glisser OP parallèlement à lui-même le long de OO’ jusqu’à ce qu’il touche le plan du cadran en O’P’. On obtient alors le rectangle OPP’O’. O’P’ forme donc avec l’horizontale O’Z un angle égal à S . En effet O’P’ est perpendiculaire au plan OO’O’’ et donc à O’O’’ et l’horizontale O’Z est perpendiculaire à la verticale O’A. Les angles AO’O’’ et P’O’Z sont donc égaux comme angles à côtés perpendiculaires.

On a OP = O’P’. On peut considérer que PP’ est le style d’un cadran virtuel PP’A’.

Projetons P’ en Z sur l’horizontale O’Z: on a ZP’ = O’P’ sin S = yn ; O'Z = O’P’ cos S = xn . O’P’ = OP d’où xn = OP cos S ; yn = OP sin S

Connaissant les coordonnées xn et yn de P’ point d’entrée de l’axe du monde dans le cadran en provenance du point hors style P on pourra alors tracer ce cadran virtuel de style de longueur

PP’ = OO’.

Le cadran correspondant au point T passera par T’ de mêmes coordonnées xn et yn mais celles-ci seront à placer en sens opposé sur les axes verticaux et horizontaux (O’A et O’Z).

Remarque: Dans le cas de figure des déclinants EST les points comme P situés à l' EST auront leur correspondant P' sous l'horizonrale passant par O'; ceux situés à l' OUEST tels que T auront leur correspondant T' au-dessus de cette horizontale . La situation s' inverse pour les déclinants OUEST.

Voici une application des calculs ci-dessus à la construction du

cadran solaire de Mr Serge Durand dit Trinquetaille situé à Rousset.

Latitude 43°29’5’’ nord Longitude -5°37’33’’ est. Déclinaison gnomonique 23°15’52’’ est (336°44’8’’ selon la définition de la commission des cadrans solaires de la SAF).

O’

Les indications sont données par 5 points d’un style plat dit camarguais comme le montre le schéma ci-dessous, la droite FOO’ étant l’axe des pôles pénétrant le plan du cadran en O’.

La droite FOO’ indique les heures solaires.

Les valeurs horaires indiquées ci-dessous devront toutes être corrigées de la valeur de l’équation du temps en rapport avec la date donnée. Par exemple le 27 Avril le lever ayant lieu à 5h5’40’’ celui-ci a lieu en vérité à environ 5h 3’20’’ car la valeur de l’équation du temps est de 2’22’’ d’avance à midi TU.

Le point O décrit 4 arcs diurnes correspondants à 4 dates anniversaires: 27/4, 6/6, 13/9, 13/12 ainsi que la droite équinoxiale et la courbe d’équation du temps construite sur la méridienne.

27/4: durée du jour 13h 48’40’’ lever à 5h5’40’’ coucher à 18h 54’20’’. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h0’51’’

6/6: durée du jour 15h6’46’’ lever à 4h26’37’’ coucher à 19h33’23’’. Le soleil passe dans le plan du cadran à 5h19’46’’ et à 14h24’16’’.

13/9: durée du jour 12h28’17’’ lever à 5h45’51’’ coucher à 18h14’9’’. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h38’41’’.

13/12: durée du jour 8h48’32’’ lever à 7h35’44’’ coucher à 16h24’16’’. Lever et coucher sur le cadran.

Les jours d’équinoxes (20 mars et 23 Septembre en moyenne) la durée du jour est de 12 heures.

Lever à 6h et coucher à 18h. Lever sur le cadran. Passage derrière le cadran à 15h52’1’’.

Le point G’ décrit un arc diurne indépendant du point O et correspondant au solstice d’été le 21 Juin. Durée du jour 15h 14’14’’ lever à 4h22’53’’ coucher à 19h37’7’’. Passage du soleil dans le plan du cadran à 5h23’16’’ et à 14h20’47’’.

Ce point indique aussi la direction d’Arles qui est à 107.667° à l’ouest du méridien passant par le cadran. Ce même grand cercle vertical d’azimut passe par l’azimut 107.667 + 180 = 287.667° est.

La déclinaison de l’arc semi-diurne passant par cet azimut est de -12.678°. Pour toute déclinaison inférieure le soleil se lèvera trop au sud et ne pourra indiquer cet azimut correspondant à la direction opposée à Arles. Les conditions d’indication sont donc les dates comprises entre le 15 Février et le 27 Octobre. Durant cette période, lorsque l’ombre du point G’ touche la droite indiquée T sur le cadran, le soleil se situe à l’opposé de Arles dans le plan vertical soleil, droite T ,Arles.

Le point H’ décrit un autre arc diurne indépendant des points O et G’ correspondant au solstice d’hiver le 22 Décembre. Durée du jour 8h 45’46’’ lever à 7h37’7’’ coucher à 16h22’53’’.

Lever et coucher sur le cadran.

Le point G’’ est relié à la courbe indiquant le moment de la principale prière de l’Islam survenant vers le milieu de l’après-midi selon la définition choisie par le Prophète Mahomet: L’ASR survient lorsque la longueur de l’ombre d’un gnomon vertical est égale à la longueur du gnomon augmentée de la longueur de son ombre à midi.

Lorsque l’ombre du point G’’ touche la courbe du ASR il sera l’heure de faire cette prière 3 heures après. Il a été nécessaire d’anticiper cette heure de prière pour que la courbe soit entièrement contenue dans le cadran. Celle-ci est tracée à l’aide de 7 points pris sur les arcs diurnes de passage dans les différents signes du zodiaque en rapport avec le style passant par G’’.

Le point H’’ indique la direction de Jérusalem qui se situe dans l’azimut 286.737° à l’est du méridien passant par le cadran. La déclinaison de l’arc semi-diurne passant par cet azimut est de -12.0605°. Pour les mêmes raisons que données ci-dessus le soleil passera dans cet azimut du 17 Février au 25 Octobre. Durant cette période, lorsque l’ombre du point H’’ touchera la droite indiquée J sur le cadran, le soleil vu de face indiquera la direction de Jérusalem.

Arles et Jérusalem sont pratiquement en opposition par rapport au cadran.

Conversion des heures lues en heures légales :

En appelant EQ la valeur de l’équation du temps en minutes au jour de lecture (avec le signe + pour les avances et - pour les retards) et L la longitude du cadran en degrés (avec le signe - pour l’Est et + pour l’Ouest) on écrira que

heure de la montre = heure lue sur le cadran - EQ/60 +L/15 + C où C est la constante arbitraire de 1 ou 2 heures selon la pèriode d’heures d’hiver ou d’été.

Inversement l’heure lue sur le cadran sera égale à l’heures de la montre + EQ/60 -L/15 -C .

Pour revenir à l’exemple du lever du 27 Avril à 5h5’40’’ cette heure correspondra à

5h5’40’’ - 2’22’’/60 + (-5°37’33’’)/15 + 2 = 6h 40’ 48’’.

jean pakhomoff 19/11/2000

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