DATES CALCULEES POUR L'OBSERVATION D'UN LEVER OU
COUCHER DE SOLEIL SUR UN POINT CHOISI DE L'HORIZON
(EXEMPLE DU COUCHER SUR LE CANIGOU VU DE MARSEILLE)
PAR JEAN PAKHOMOFF
Cest, parmi d'autres, le cas dun coucher de soleil derrière le Mont Canigou dans la région de Perpignan vu depuis la basilique de Notre-Dame de la garde.
Cette observation fut faite en 1808 par le Baron Zach et publiée en 1838 dans le périodique "Le Magasin Pittoresque".
Les conditions d'observation dépendent de la distance séparant le lieu dobservation du lieu de lever ou de coucher et de leurs hauteurs respectives,
de la réfraction atmosphérique qui tend à relever la hauteur des astres sur lhorizon donc à modifier lazimut de leur lever ou coucher.
Sans elle le Mont Canigou ne pourrait être vu depuis Marseille se détachant devant le disque solaire.
Un dernier paramètre dépendra de la déclinaison du soleil car hors des limites quelle peut atteindre il ny a jamais (sauf au-delà des cercles polaires)
de lever ou de coucher de soleil sur des portions plus ou moins importantes de lhorizon, portions dont la grandeur est liée à la latitude du lieu dobservation.
CONVENTIONS:
Sur la figure 1 on considère que le lieu dobservation est en M, et le lieu du coucher en C. A partir de Greenwich les longitudes l sont comptées négativement
vers lest et positivement vers louest jusquau méridien de 180°.
sqr(a) signifiera "racine carrée de a" et * signifiera "multiplié par"; de même ab signifiera a*b.
Le triangle sphèrique PCM est situé sur la figure 1 dans lhémisphère nord où les latitudes f sont comptées positivement.
Dans lhémisphère sud les latitudes se comptent négativement.
Langle Z formé par le méridien PZ et la direction AC nous permettra de connaître lazimut A de C par rapport à
Z égal à pi - Z (azimut ouest)
fc et fm seront les latitudes de C et M.
Y donnant la direction de M par rapport à C correspondra à lazimut p + Y pour respecter les conventions en astronomie.
La valeur du rayon terrestre sera prise égale à 6368 km (valeur du rayon vecteur du géoïde terrestre à la latitude de 45°).
Soit donc la fig 1 avec le triangle sphérique MCP où P est le pôle terrestre nord.
Les côtés en sont PC = p/2 - fc, PM = p/2 -fm et CM = d distance entre M et C.
Les angles en sont Z, Y , et dl différence entre les longitudes fm de M et fc de C.
Remarquons que si C ou (et) M se trouve(nt) dans lhémisphère sud on a PC = p/2 - fc > p/2 de même que
PM = p/2 - fm > p/2 puisque fc ou fm < 0.
La relation principale de la trigonométrie sphérique nous permet décrire:
cos (p/2 - fc) = cos (p/2 - fm) cos d + sin (p/2 - fm) sin d cos Z doù
cos Z = (sin fc - sin fm cos d) / (cos fm sin d) (1)
De même cos d = sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl où dl = fm - fc
sin d / sin dl = cos fc / sin Z et sin d = (cos fc sin dl) / sin Z
Remplaçons dans (1) cos d et sin d par leur valeur: il vient
tg Z = cos fm cos fc sin dl /(sin fc - sin fm ( sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl)) (2)
doù Z et A = p - Z
La déclinaison d théorique du coucher est alors donnée par la relation classique
sin d = - cos fm cos A
Remarquons quà un coucher sur C vu de M correpond un lever sur M vu de C. A PMC = Z correspond langle PCM = Y.
En posant cos fm cos fc sin dl = V et sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl = W on aboutit aux formules
tg Z = V / (sin fc - sin fm * W) (3)
tg Y = V / (sin fm - sin fc * W) (4)
En (3) fm est la latitude du lieu dobservation et fc celle du lieu où se produit le phénomène (coucher). En (4) fc est la latitude du lieu dobservation et
fm celle du lieu où se produit le phénomène observé (lever). (3) et (4) sont donc des expressions identiques et Z ou Y sont alors donnés par une seule formule
en appelant fob la latitude du lieu dobservation et fph la latitude du lieu où se produit le phénomène observé.
On écrira alors
tg X = V / (sin fph - sin fob * W)
X donne alors la valeur de Z ou de Y selon le cas envisagé.
Dans le cas de lobservation des couchers, vers louest donc, on prend lazimut A = p - X.
Dans le cas des levers, vers lest, on prend comme nous lavons déjà vu A = p + X.
La déclinaison du lever ou coucher est donnée par la relation classique :
sin d = - cos fob cos A.
Signalons que, vu que cos (p+ X) = cos (p - X) , nous ne retiendrons dans le programme informatique dapplication que la valeur A = p - X.
Il nest cependant pas possible de connaître d aussi directement à cause du phénomène de réfraction atmosphérique et de la hauteur variable du lieu dobservation.
Etudions ces deux causes afin de trouver la déclinaison qui soit celle attendue pour lobservation du phénomène recherché.
1) Erreur dûe à la réfraction atmosphérique. (fig 2)
Lindice de réfraction de lair varie avec sa densité, celle-ci diminuant avec laltitude.
Elle varie aussi avec la pression atmosphérique, la température et la hauteur zénithale de lastre (angle fait entre lastre et le zénith dans le vertical passant par lastre).
On peut trouver la formule donnant la valeur de la réfraction dans les ouvrages dastronomie.
Classiquement on utilise une valeur moyenne donnée par les tables de Radau égale à 3636 ou 0.61°.
A une altitude 0, à son lever ou coucher, le soleil comme tout autre astre céleste est donc surélevé sur lhorizon de 0.61°.
2) Erreur dûe à la dépression de lhorizon.
Nous trouvant en M à la surface de la terre (fig 2a), lhorizon astronomique tangente ce point M.
Si nous nous élevons à une altitude h en M, lhorizon apparent tangente la terre en H. Langle D fait entre lhorizon astronomique et lhorizon apparent est appelé dépression de lhorizon.
Il est égal à langle MOH comme angles à côtés perpendiculaires.
On peut écrire
OM2 = OH2 + HM2 HM2 = (R+h)2 - R2 = 2Rh + h2 = 2Rh , h2 étant négligeable.
HM = sqr(2Rh) = sqr(2*6375)*sqr(h) = 113*sqr(h) tgD = MH / OH = 113*sqr(h) / R =
(113/6375)*sqr(h) = 0.0177*sqr(h). (h en km.).
Prenons lexemple de Notre-Dame de la Garde (ndg) et du Canigou (can).
Laltitude de ndg est de 0.162 km d où D = 0.40817° = 0.007123992 radian et
MH = R*MOH = R*D radian = 45.415 km
En appliquant le même raisonnement au sommet C du Canigou de hauteur 2784 m on trouve
D = 0.02952443 radian. CH = 188.218 km
Donc la somme des distances visibles de ces 2 points se regardant face à face est de 188.218 + 43.379 = 233.597 km.
Calculons la distance ndg-can en nous servant du triangle sphérique PMC de la figure 1:
cos MC = cos PC cos Pm + sin PC sin PM cos dL = sin Fc sin Fm + cos Fc cos Fm cos dL
Tous calculs faits on trouve MC = 252.783 km > 233.597 km. Il serait donc théoriquement impossible de voir le Canigou depuis Notre-Dame de la Garde.
Cela lest pourtant puisque de nombreuses observations lattestent et ce, grâce au phénomène de réfraction atmosphérique.
Cest celle-ci qui incurve les rayons lumineux propagés dans latmosphère.
Terrien nous indique dans son cours doptique théorique que ces rayons décrivent un cercle dont le rayon est égal à 6 fois le diamètre terrestre.
Le point H de tangence à la terre du rayon lumineux en provenance de M à laltitude h est alors "reculé" en H point de tangence avec la terre du cercle de centre O et de rayon 6R passant par M.
Soit donc figure 3 la terre de centre O et de rayon R et le cercle de centre O de rayon 6R.
Les rayons OH et OH sont sur une droite commune puisque tous deux perpendiculaires à la tangente aux cercles O et O en H commun aux deux cercles.
Posons MOH = a et OMO = g. OH = R, OH = OM = 6R = b
OM = R+h = a; OO = OH - R = 5R = c.
On a a+b+c = 2p où p est le demi-périmètre du triangle OOM. On peut alors écrire la relation
a2 = b2 + c2 - 2bc cos a
cos a = (b2 + c2 - a2) / 2bc = ( (b+c)2 -2bc - a2 ) / 2bc = ( (b+c+a)(b+c-a) - 2bc) / 2bc
b+c-a = b+c+a-2a = 2p - 2a
et cos a = ( 2p (2p-2a) - 2bc) / 2bc = ( ( 2p (p-a) ) / bc) - 1
2p = a+b+c = R+h+6R+5R = 12R + h
cos a =( (12R+h) ( (12R+h)/2 - (R+h)) ) / 6R*5R - 1
Après simplifications et en négligeant le terme h/2 très petit il vient: cos a = 1 - h / 30R
Lorsque langle exprimé en radian est très petit, ce qui est notre cas, son cosinus peut-être représenté par lexpression
cos a = 1 - a2 / 2 donc 1 - h / 30R = 1 - a2 / 2 et a2 = h / 15R
doù a = sqr(h/15R)
MH = OM a = 6R*sqr ( h/15R) = sqr (36R2 * h / 15R) = sqr (2.4 * Rh) = sqr (2.4*6368)*sqr(h)
et MH = 123.625*sqr(h)
Pour ndg, h = 162 m = 0.162 km. Lhorizon apparent peut se voir jusquà 49.758 km
Pour can, h = 2784 m = 2.784 km. Lhorizon apparent peut se voir jusquà 123.625*sqr(2.784) = 206.272 km.. Donc 49.758 + 206.272 = 256.030 km > 252.783 km distance ndg-can.
Grâce au phénomène de réfraction atmosphérique il est donc possible de voir le Mont Canigou dominant Perpignan depuis Notre-Dame de la Garde surplombant le vieux-port de Marseille.
Cette réfraction fait par contre diminuer la dépression de lhorizon de D en g.
En effet lhorizon apparent nest plus la droite MH tangentant la terre en H et faisant avec lhorizon astronomique langle D mais larc de cercle MH de rayon 6R tangentant la terre en H
et faisant avec lhorizon astronomique un angle matérialisé en M par la tangente en M avec larc MH et lhorizon astronomique.
Cet angle est égal à OMO comme angles à côtés perpendiculaires. Par les mêmes calculs que ci-dessus on obtient
cos g = ( 2p*(p-c) ) / ab
et g = sqr(5h/3R) On peut également trouver g en se servant directement de larc cosinus
(idem pour a). Dans ce cas
c2 = a2 + b2 - 2ab*cos g ou
25R2 = (R+h)2 + 36R2 - 2(R+h)*6R*cos g
En supprimant le terme h2 / 12R2 vu sa petitesse on aboutit à
g = arc cos (1 + h / 6R) / (1 + h / R)
Nous utiliserons cette dernière formule dans le programme informatique dapplication.
Ce programme sarrêtera avec un message dimpossibilité si, ho étant laltitude du lieu dobservation, hp laltitude du lieu du lever ou du coucher et
a la distance angulaire entre ces 2 lieux, la distance géographique de ces lieux est supèrieure à 123.693*(sqr(ho) + sqr(hp)) km.
(si cela était, ces lieux ne pourraient pas être visibles lun depuis lautre).
Le soleil, à son lever ou coucher, se trouve donc relevé sur lhorizon dun angle égal à 0.61° + g
Connaissant langle S fait par larc diurne du soleil et le grand cercle de lhorizon il nous sera alors possible de calculer la variation dazimut entraînée par la surélévation 0.61°+g .
Traçons alors la sphère céleste correpondant à lhorizon de latitude F avec son axe des pôles PP, léquateur céleste et un arc semi-diurne de lastre A de déclinaison d.
Plaçons lastre A à son coucher cest-à-dire à lintersection de son arc semi-diurne avec lhorizon (fig 4).
On pourrait penser que langle fait par le cercle de déclinaison de lastre avec lhorizon est égal à celui fait avec léquateur céleste et lhorizon puisque ces 2 cercles
coupent lhorizon dans des plans parallèles. Il nen est cependant rien car ces 2 cercles ne sont pas de même nature:
léquateur étant un grand cercle et tout cercle de déclinaison hors léquateur est un petit cercle de la sphère céleste.
Rappelons que langle fait entre léquateur et lhorizon est égal à p/2 - F .
Il va de soi que toutes les tangentes en un point de la sphère, que celui-ci soit commun à des grands ou petits cercles, sont dans un même plan tangent à la sphère en ce point.
Menons alors le cercle PAP et le vertical Zénith A Nadir . Menons, dans leur plan respectif, les tangentes en A au cercle horaire PAP, à larc semi-diurne de déclinaison d,
au vertcal ZAZ et au grand cercle de lhorizon.
Les angles des cercles sont égaux aux angles de leur tangente. Langle EAF nest autre que langle p du triangle parallactique ZPA. Nous en connaissons les côtés:
PZ = p/2 - F , PA = p/2 - d , ZA = z complément de la hauteur de lastre A.
Ici z = p/2 car cas du coucher (ou du lever) et la hauteur de A est nulle. Langle APZ est langle horaire t et langle PZA est le supplément de lazimut A de A et donc égal à p - A.
EA est perpendiculaire à AG puisque les cercles de déclinaisons sont perpendiculaires aux cercles horaires.
De même AF est perpendiculaire à AH les verticaux étant perpendiculaires au plan de lhorizon. Ces tangentes étant perpendiculaires 2 à 2 elles forment des angles égaux et EAF = GAH.
Langle cherché S est donc égal à p.
On obtient p en appliquant la formule de trigonométrie sphérique dite des 5 éléments (fig 4a):
sin (p/2 - d ) cos p = sin z cos (p/2 - F ) - cos z sin (p/2 - F ) cos (p - A) et
cos d cos p = sin z sin F + cos z cos F cos A Ici z = p/2 donc cos d cos p = sin F et
cos p = sin F / cos d
comme p = S on a S = arc cos ( sin F /cos d )
Ainsi pour assister à un lever ou coucher de soleil sur un point dhorizon dazimut p - X, comme vu ci-dessus, il nous faudra diminuer cet azimut théorique de la valeur dA (fig 5)
du fait du réhaussement D de lastre A sur lhorizon F conséquence de la réfraction atmosphérique et de la dépression de lhorizon: D = 0.61° + g
Les angles étant petits on peut assimiler les cordes aux arcs et écrire, D et dA étant exprimés en radians: tg S = D / dA
ou dA = D / tg S
La nouvelle déclinaison sera alors donnée par sin d = - cos fob cos (A - dA).
Connaissant d on trouve facilement les dates correspondantes à laide des tables déphémérides.
On peut se demander quelle est la valeur de S dans lhémisphère sud.
croix au sommet du canigou