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DATES CALCULEES POUR L'OBSERVATION D'UN LEVER OU

COUCHER DE SOLEIL SUR UN POINT CHOISI DE L'HORIZON

(EXEMPLE DU COUCHER SUR LE CANIGOU VU DE MARSEILLE)

PAR JEAN PAKHOMOFF

 

C’est, parmi d'autres, le cas d’un coucher de soleil derrière le Mont Canigou dans la région de Perpignan vu depuis la basilique de Notre-Dame de la garde. Cette observation fut faite en 1808 par le Baron Zach et publiée en 1838 dans le périodique "Le Magasin Pittoresque".

Les conditions d'observation dépendent de la distance séparant le lieu d’observation du lieu de lever ou de coucher et de leurs hauteurs respectives, de la réfraction atmosphérique qui tend à relever la hauteur des astres sur l’horizon donc à modifier l’azimut de leur lever ou coucher. Sans elle le Mont Canigou ne pourrait être vu depuis Marseille se détachant devant le disque solaire.

Un dernier paramètre dépendra de la déclinaison du soleil car hors des limites qu’elle peut atteindre il n’y a jamais (sauf au-delà des cercles polaires) de lever ou de coucher de soleil sur des portions plus ou moins importantes de l’horizon, portions dont la grandeur est liée à la latitude du lieu d’observation.

CONVENTIONS:

Sur la figure 1 on considère que le lieu d’observation est en M, et le lieu du coucher en C. A partir de Greenwich les longitudes l sont comptées négativement vers l’est et positivement vers l’ouest jusqu’au méridien de 180°.

sqr(a) signifiera "racine carrée de a" et * signifiera "multiplié par"; de même ab signifiera a*b.

Le triangle sphèrique PCM est situé sur la figure 1 dans l’hémisphère nord où les latitudes f sont comptées positivement. Dans l’hémisphère sud les latitudes se comptent négativement.

L’angle Z formé par le méridien PZ et la direction AC nous permettra de connaître l’azimut A de C par rapport à

Z égal à pi - Z (azimut ouest)

fc et fm seront les latitudes de C et M.

Y donnant la direction de M par rapport à C correspondra à l’azimut p + Y pour respecter les conventions en astronomie.

La valeur du rayon terrestre sera prise égale à 6368 km (valeur du rayon vecteur du géoïde terrestre à la latitude de 45°).

Soit donc la fig 1 avec le triangle sphérique MCP où P est le pôle terrestre nord.

Les côtés en sont PC = p/2 - fc, PM = p/2 -fm et CM = d distance entre M et C.

Les angles en sont Z, Y , et dl différence entre les longitudes fm de M et fc de C.

Remarquons que si C ou (et) M se trouve(nt) dans l’hémisphère sud on a PC = p/2 - fc > p/2 de même que

PM = p/2 - fm > p/2 puisque fc ou fm < 0.

La relation principale de la trigonométrie sphérique nous permet d’écrire:

cos (p/2 - fc) = cos (p/2 - fm) cos d + sin (p/2 - fm) sin d cos Z d’où

cos Z = (sin fc - sin fm cos d) / (cos fm sin d) (1)

De même cos d = sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl où dl = fm - fc

sin d / sin dl = cos fc / sin Z et sin d = (cos fc sin dl) / sin Z

Remplaçons dans (1) cos d et sin d par leur valeur: il vient

tg Z = cos fm cos fc sin dl /(sin fc - sin fm ( sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl)) (2)

d’où Z et A = p - Z

La déclinaison d théorique du coucher est alors donnée par la relation classique

sin d = - cos fm cos A

Remarquons qu’à un coucher sur C vu de M correpond un lever sur M vu de C. A PMC = Z correspond l’angle PCM = Y.

En posant cos fm cos fc sin dl = V et sin fc sin fm + cos fc cos fm cos dl = W on aboutit aux formules

tg Z = V / (sin fc - sin fm * W) (3)

tg Y = V / (sin fm - sin fc * W) (4)

En (3) fm est la latitude du lieu d’observation et fc celle du lieu où se produit le phénomène (coucher). En (4) fc est la latitude du lieu d’observation et fm celle du lieu où se produit le phénomène observé (lever). (3) et (4) sont donc des expressions identiques et Z ou Y sont alors donnés par une seule formule en appelant fob la latitude du lieu d’observation et fph la latitude du lieu où se produit le phénomène observé.

On écrira alors

tg X = V / (sin fph - sin fob * W)

X donne alors la valeur de Z ou de Y selon le cas envisagé.

Dans le cas de l’observation des couchers, vers l’ouest donc, on prend l’azimut A = p - X.

Dans le cas des levers, vers l’est, on prend comme nous l’avons déjà vu A = p + X.

La déclinaison du lever ou coucher est donnée par la relation classique :

sin d = - cos fob cos A.

Signalons que, vu que cos (p+ X) = cos (p - X) , nous ne retiendrons dans le programme informatique d’application que la valeur A = p - X.

Il n’est cependant pas possible de connaître d aussi directement à cause du phénomène de réfraction atmosphérique et de la hauteur variable du lieu d’observation.

Etudions ces deux causes afin de trouver la déclinaison qui soit celle attendue pour l’observation du phénomène recherché.

1) Erreur dûe à la réfraction atmosphérique. (fig 2)

L’indice de réfraction de l’air varie avec sa densité, celle-ci diminuant avec l’altitude.

Elle varie aussi avec la pression atmosphérique, la température et la hauteur zénithale de l’astre (angle fait entre l’astre et le zénith dans le vertical passant par l’astre). On peut trouver la formule donnant la valeur de la réfraction dans les ouvrages d’astronomie. Classiquement on utilise une valeur moyenne donnée par les tables de Radau égale à 36’36’’ ou 0.61°. A une altitude 0, à son lever ou coucher, le soleil comme tout autre astre céleste est donc surélevé sur l’horizon de 0.61°.

2) Erreur dûe à la dépression de l’horizon.

Nous trouvant en M à la surface de la terre (fig 2a), l’horizon astronomique tangente ce point M.

Si nous nous élevons à une altitude h en M’, l’horizon apparent tangente la terre en H. L’angle D fait entre l’horizon astronomique et l’horizon apparent est appelé dépression de l’horizon. Il est égal à l’angle M’OH comme angles à côtés perpendiculaires.

On peut écrire

OM’2 = OH2 + HM’2 HM’2 = (R+h)2 - R2 = 2Rh + h2 = 2Rh , h2 étant négligeable.

HM’ = sqr(2Rh) = sqr(2*6375)*sqr(h) = 113*sqr(h) tgD = M’H / OH = 113*sqr(h) / R =

(113/6375)*sqr(h) = 0.0177*sqr(h). (h en km.).

Prenons l’exemple de Notre-Dame de la Garde (ndg) et du Canigou (can).

L’altitude de ndg est de 0.162 km d ’où D = 0.40817° = 0.007123992 radian et

MH = R*M’OH = R*D radian = 45.415 km

En appliquant le même raisonnement au sommet C du Canigou de hauteur 2784 m on trouve

D = 0.02952443 radian. CH = 188.218 km

Donc la somme des distances visibles de ces 2 points se regardant face à face est de 188.218 + 43.379 = 233.597 km. Calculons la distance ndg-can en nous servant du triangle sphérique PMC de la figure 1:

cos MC = cos PC cos Pm + sin PC sin PM cos dL = sin Fc sin Fm + cos Fc cos Fm cos dL

Tous calculs faits on trouve MC = 252.783 km > 233.597 km. Il serait donc théoriquement impossible de voir le Canigou depuis Notre-Dame de la Garde. Cela l’est pourtant puisque de nombreuses observations l’attestent et ce, grâce au phénomène de réfraction atmosphérique.

C’est celle-ci qui incurve les rayons lumineux propagés dans l’atmosphère.

Terrien nous indique dans son cours d’optique théorique que ces rayons décrivent un cercle dont le rayon est égal à 6 fois le diamètre terrestre. Le point H de tangence à la terre du rayon lumineux en provenance de M’ à l’altitude h est alors "reculé" en H’ point de tangence avec la terre du cercle de centre O’ et de rayon 6R passant par M’.

Soit donc figure 3 la terre de centre O et de rayon R et le cercle de centre O’ de rayon 6R.

Les rayons OH’ et O’H’ sont sur une droite commune puisque tous deux perpendiculaires à la tangente aux cercles O et O’ en H’ commun aux deux cercles.

Posons M’O’H’ = a et OM’O’ = g. OH’ = R, O’H’ = O’M’ = 6R = b

OM’ = R+h = a; OO’ = O’H’ - R = 5R = c.

On a a+b+c = 2p où p est le demi-périmètre du triangle O’OM’. On peut alors écrire la relation

a2 = b2 + c2 - 2bc cos a

cos a = (b2 + c2 - a2) / 2bc = ( (b+c)2 -2bc - a2 ) / 2bc = ( (b+c+a)(b+c-a) - 2bc) / 2bc

b+c-a = b+c+a-2a = 2p - 2a

et cos a = ( 2p (2p-2a) - 2bc) / 2bc = ( ( 2p (p-a) ) / bc) - 1

2p = a+b+c = R+h+6R+5R = 12R + h

cos a =( (12R+h) ( (12R+h)/2 - (R+h)) ) / 6R*5R - 1

Après simplifications et en négligeant le terme h/2 très petit il vient: cos a = 1 - h / 30R

Lorsque l’angle exprimé en radian est très petit, ce qui est notre cas, son cosinus peut-être représenté par l’expression

cos a = 1 - a2 / 2 donc 1 - h / 30R = 1 - a2 / 2 et a2 = h / 15R

d’où a = sqr(h/15R)

M’H’ = O’M’ a = 6R*sqr ( h/15R) = sqr (36R2 * h / 15R) = sqr (2.4 * Rh) = sqr (2.4*6368)*sqr(h)

et M’H’ = 123.625*sqr(h)

Pour ndg, h = 162 m = 0.162 km. L’horizon apparent peut se voir jusqu’à 49.758 km

Pour can, h = 2784 m = 2.784 km. L’horizon apparent peut se voir jusqu’à 123.625*sqr(2.784) = 206.272 km.. Donc 49.758 + 206.272 = 256.030 km > 252.783 km distance ndg-can.

Grâce au phénomène de réfraction atmosphérique il est donc possible de voir le Mont Canigou dominant Perpignan depuis Notre-Dame de la Garde surplombant le vieux-port de Marseille.

Cette réfraction fait par contre diminuer la dépression de l’horizon de D en g. En effet l’horizon apparent n‘est plus la droite M’H tangentant la terre en H et faisant avec l’horizon astronomique l’angle D mais l’arc de cercle M’H’ de rayon 6R tangentant la terre en H’ et faisant avec l’horizon astronomique un angle matérialisé en M’ par la tangente en M’ avec l’arc M’H’ et l’horizon astronomique. Cet angle est égal à O’M’O comme angles à côtés perpendiculaires. Par les mêmes calculs que ci-dessus on obtient

cos g = ( 2p*(p-c) ) / ab

et g = sqr(5h/3R) On peut également trouver g en se servant directement de l’arc cosinus

(idem pour a). Dans ce cas

c2 = a2 + b2 - 2ab*cos g ou

25R2 = (R+h)2 + 36R2 - 2(R+h)*6R*cos g

En supprimant le terme h2 / 12R2 vu sa petitesse on aboutit à

g = arc cos (1 + h / 6R) / (1 + h / R)

Nous utiliserons cette dernière formule dans le programme informatique d’application.

Ce programme s’arrêtera avec un message d’impossibilité si, ho étant l’altitude du lieu d’observation, hp l’altitude du lieu du lever ou du coucher et a la distance angulaire entre ces 2 lieux, la distance géographique de ces lieux est supèrieure à 123.693*(sqr(ho) + sqr(hp)) km. (si cela était, ces lieux ne pourraient pas être visibles l’un depuis l’autre).

Le soleil, à son lever ou coucher, se trouve donc relevé sur l’horizon d’un angle égal à 0.61° + g

Connaissant l’angle S fait par l’arc diurne du soleil et le grand cercle de l’horizon il nous sera alors possible de calculer la variation d’azimut entraînée par la surélévation 0.61°+g .

Traçons alors la sphère céleste correpondant à l’horizon de latitude F avec son axe des pôles PP’, l’équateur céleste et un arc semi-diurne de l’astre A de déclinaison d. Plaçons l’astre A à son coucher c’est-à-dire à l’intersection de son arc semi-diurne avec l’horizon (fig 4).

On pourrait penser que l’angle fait par le cercle de déclinaison de l’astre avec l’horizon est égal à celui fait avec l’équateur céleste et l’horizon puisque ces 2 cercles coupent l’horizon dans des plans parallèles. Il n’en est cependant rien car ces 2 cercles ne sont pas de même nature: l’équateur étant un grand cercle et tout cercle de déclinaison hors l’équateur est un petit cercle de la sphère céleste.

Rappelons que l’angle fait entre l’équateur et l’horizon est égal à p/2 - F .

Il va de soi que toutes les tangentes en un point de la sphère, que celui-ci soit commun à des grands ou petits cercles, sont dans un même plan tangent à la sphère en ce point. Menons alors le cercle PAP’ et le vertical Zénith A Nadir . Menons, dans leur plan respectif, les tangentes en A au cercle horaire PAP’, à l’arc semi-diurne de déclinaison d, au vertcal ZAZ’ et au grand cercle de l’horizon.

Les angles des cercles sont égaux aux angles de leur tangente. L’angle EAF n’est autre que l’angle p du triangle parallactique ZPA. Nous en connaissons les côtés:

PZ = p/2 - F , PA = p/2 - d , ZA = z complément de la hauteur de l’astre A.

Ici z = p/2 car cas du coucher (ou du lever) et la hauteur de A est nulle. L’angle APZ est l’angle horaire t et l’angle PZA est le supplément de l’azimut A de A et donc égal à p - A.

EA est perpendiculaire à AG puisque les cercles de déclinaisons sont perpendiculaires aux cercles horaires. De même AF est perpendiculaire à AH les verticaux étant perpendiculaires au plan de l’horizon. Ces tangentes étant perpendiculaires 2 à 2 elles forment des angles égaux et EAF = GAH.

L’angle cherché S est donc égal à p.

On obtient p en appliquant la formule de trigonométrie sphérique dite des 5 éléments (fig 4a):

sin (p/2 - d ) cos p = sin z cos (p/2 - F ) - cos z sin (p/2 - F ) cos (p - A) et

cos d cos p = sin z sin F + cos z cos F cos A Ici z = p/2 donc cos d cos p = sin F et

cos p = sin F / cos d

comme p = S on a S = arc cos ( sin F /cos d )

Ainsi pour assister à un lever ou coucher de soleil sur un point d’horizon d’azimut p - X, comme vu ci-dessus, il nous faudra diminuer cet azimut théorique de la valeur dA (fig 5) du fait du réhaussement D de l’astre A sur l’horizon F conséquence de la réfraction atmosphérique et de la dépression de l’horizon: D = 0.61° + g

Les angles étant petits on peut assimiler les cordes aux arcs et écrire, D et dA étant exprimés en radians: tg S = D / dA

ou dA = D / tg S

La nouvelle déclinaison sera alors donnée par sin d = - cos fob cos (A - dA).

Connaissant d on trouve facilement les dates correspondantes à l’aide des tables d’éphémérides.

On peut se demander quelle est la valeur de S dans l’hémisphère sud.

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