Tracé des cadrans solaires classiques
Jean Pakhomoff
Les cadrans solaires verticaux déclinants et inclinants représentent un cas particulier des cadrans solaires inclinés.
Dans notre travail sur ces derniers nous pourrons voir que les relations régissant les cadrans verticaux ou
horizontaux découlent des relations générales des cadrans inclinés. En prenant pour inclinaison i = 0 on retrouve
les relations propres aux verticaux et en prenant i = pi/2 avec une déclinaison gnomonique dg = 0 on retrouve les
relations propres aux horizontaux.
Soit la sphère céleste de centre O. L'axe du monde OO'.
On représente le soleil l'après midi. L'équateur Est Eq W fait avec l'horizon un angle pi/2-f et
l'axe du monde OO' fait avec l'horizon un angle égal à f.
Par O' on fait passer un plan A Ouest perpendiculaire à l'horizon et au plan méridien. Ce sera
notre cadran vertical plein sud. On fait pivoter celui-ci d'un angle dg donnant dans notre cas
de figure une déclinaison gnomonique dg ouest (cadran orienté à l'ouest).
Par le soleil S passe un vertical azimutal d'angle T. Ce plan perpendiculaire à l'horizon coupe
celui-ci en G donnant l'angle azimut T et coupe le cadran déclinant en G'.
Précisons ici que les angles horaires et d'azimut sont comptés de 0 à pi depuis le méridien
jusqu'à l'antiméridien en passant par l'ouest ou par l'est. Cela facilite les calculs et n'a pas
d'importance en gnomonique.
La hauteur du soleil sur le vertical ZSN est h = SG.
Par S passe également le cercle horaire O'SQ d'angle horaire t correspondant à l'heure t.
Ce cercle donne sur l'horizon l'angle tabulaire H et coupe le cadran déclinant selon O'O''
donnant la ligne horaire tabulaire O'O'' sur celui-ci.
Le rayon solaire passant par O, bout de notre style axe du monde, représente l'intersection
des deux cercle horaire et azimutal.
Ce rayon vient couper le plan du cadran en P.
La déclinaison du soleil est d, angle compris entre l'équateur céleste et le soleil sur son cercle horaire.
Connaissant d, f et t on calcule facilement h H,T puis les x et y de P ce qui permet de tracer les arcs zodiacaux.
Déterminons avant tout l'angle tabulaire horizontal H correspondant à l'instant t.
Sur la sphère de centre O l'axe polaire PP' sur l'horizon de latitude f forme le cadran solaire
horizontal OPA où PA est le style droit.
Le triangle sphérique PSB rectangle en S permet d'écrire tg SB / tg t = sin PS ou encore
tg H / tg t = sin (p – f) c'est-à-dire tg H = sin f tg t
1 Les cadrans verticaux déclinants
Dans les calculs qui vont suivre la déclinaison gnomonique dg d'un cadran sera l'angle égal au pivotement
du cadran vers l'est ou l'ouest. Cet angle sera donc toujours inférieur à pi/2.
Un cadran déclinant appelé DE aura pivoté de 0 à 90° vers l'est face au sud.
Un cadran déclinant ouest appelé DW aura pivoté de 0 à 90° vers l'ouest face au sud.
Un cadran inclinant ouest appelé IW aura pivoté de 0 à 90° vers l'ouest face au nord.
Un cadran inclinant appelé IE aura pivoté de 0 à 90° vers l'est face au nord.
Les lignes horaires tabulaires du matin sont appelées lignes ouest LW pour les déclinants et inclinants et
celles de l'après-midi sont appelées lignes est LE.
Ainsi l'appelation DWLE signifiera cadran déclinant à l'ouest lignes horaires de l'après-midi.
L'appelation IELW signifiera cadran inclinant à l'est lignes horaires du matin.
- cas d'un déclinant ouest lignes horaires est d'après-midi (DWLE)
le cercle horaire correspondant à l'instant t donne sur l'horizon l'angle tabulaire H où tg H = sin f tg t f étant la latitude.
Ce cercle horaire coupe le plan du cadran déclinant de dg selon la droite O'GP donnant l'angle tabulaire H' = AO'G. OO'A étant
le style primaire du cadran.
Le grand cercle azimutal coupe le plan du cadran selon HP et par l'intersection de ces deux droites de coupe passe
le rayon solaire OP de hauteut h contenu à la fois dans le cercle horaire et dans le cercle vertical d'azimut.
Le triangle AHO permet d'écrire AH / sin T = OA /sin AHO = OA / sin (pi/2 + dg - T) d'où l'on tire
AH = PP' = x = (l cos f sin T) / cos (dg-T)
de même OH / sin (pi/2 – dg) = AH / sin T et OH = l cos dg cos f / cos (dg – T)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = l cos dg cos f tg h / cos (dg – T)
tg H'= x / (y + O'A) = après les réductions nécessaires
tg H' = sin T / (cos dg tg h + tg f cos (dg – T))
H' angle tabulaire avec les x et y nécessaires au tracé des arcs diurnes.
On peut compter les y à partir de A ou de O'. Dans ce dernier cas il faut rajouter AO' = l sin f à la relation donnant y ci-dessus.
Les hauteurs s'obtiennent en appliquant sin h = sin f sin d + cos f cos d cos t
et les azimuts par tg T = sin t / (- cos f tg d + sin f cos t)
h = hauteur, T azimut, t angle horaire (11h ou 13h = 15°, 10h ou 14 h = 30°…), f latitude, d déclinaison
du soleil.
Pour les déclinants est les formules sont les mêmes mais celles du matin servent pour l'après-midi et
inversement.
- Cas d'un déclinant ouest lignes horaires ouest du matin (DWLW)
de AHO: AH / sin T = OA /sin AHO = OA / sin (pi/2 - (dg + T) d'où l'on tire
AH = PP' = x = (l cos f sin T) / cos (dg + T)
de même OH / sin (pi/2 + dg) = AH / sin T et OH = l cos dg cos f / cos (dg + T)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = l cos dg cos f tg h / cos (dg + T)
tg H' = x / (y + O'A) = après les réductions nécessaires:
tg H' = sin T / (cos dg tg h + tg f cos (dg + T))
Pour les déclinants ouest on a pour les heures du soir dg - T dans les relations donnant x, y et H'.
On a dg + T pour les heures du matin.
Pour les déclinants est le dessin est symétrique. On a pour les heures du soir dg + T dans les relations
donnant x, y et H' et dg - T pour les heures du matin.
Les relations restent les mêmes mais celles du matin servent pour l'après-midi et inversement.
2 Les cadrans verticaux inclinants
- Inclinant Ouest lignes Est (après-midi) IWLE
Le style O'O sort du cadran vers le haut. Comme vu précédemment le plan azimutal perce le cadran
en H selon l'angle pi-T par rapport à la méridienne et le cercle horaire passant par O perce le cadran
en G selon l'angle pi-H par rapport à la méridienne donnant l'angle tabulaire H' = AO'G.
Le triangle AHO permet d'écrire AH / sin (pi – T) = OA /sin AHO = OA / sin (dg + T – pi/2) d'où l'on tire
AH = PP' = x = (l cos f sin T) / -cos (dg + T)
de même OH / sin (pi/2 – dg) = AH / sin (pi - T) et OH =- l cos dg cos f / cos (dg + T)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = - l cos dg cos f tg h / cos (dg + T)
On a HP = AP' = y et tg H' = x / (O'A – y) Tous calculs faits on obtient
tg H' = - sin T / (tg f cos (dg + T) + cos dg tg h)
Voyons le cas où le soleil est devant le cadran mais la ligne horaire derrière celui-ci:
Le triangle AHO permet d'écrire AH / sin (pi – T) = OA /sin AHO = OA / sin (dg + T – pi/2) d'où l'on tire
AH = PP' = x = (l cos f sin T) / -cos (dg + T)
de même OH / sin (pi/2 – dg) = AH / sin (pi - T) et OH =- l cos dg cos f / cos (dg + T)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = - l cos dg cos f tg h / cos (dg + T)
On a HP = AP' = y et tg PO'P' = tg (pi – H') = - tg H' = x / (y - O'A) Tous calculs faits on obtient
tg H' = - sin T / (cos dg tg h + tg f cos (dg + T))
relation identique à la précédente.
Lorsque H' > pi/2 la calculatrice donne la valeur la plus faible < 0. on rajoute alors pi pour avoir la
valeur de H'.
Lorsque la ligne tabulaire du cercle horaire sur l'horizon se confond avec le plan du cadran alors le
point G est à l'infini et la droite PO'G devient parallèle à l'horizontale HAG.
L'angle tabulaire H' est alors égal à pi/2.
En remarquant que H étant l'angle tabulaire horizontal on a tg H = sin f tg t
Le moment correspondant (ligne d'heure parallèle au sol) peut être retrouvé en faisant
tg (pi/2 + ou moins dg) = sin f tg t
d'où tg t = + ou – 1 / (tg d sin f)
A cet instant t précis la ligne horaire tabulaire sur le cadran est une horizontale.
- Inclinant Ouest lignes Ouest (matin)
Le triangle AHO permet d'écrire AH / sin (pi – T) = OA /sin AHO = OA / sin (T – dg - pi/2) d'où l'on tire
AH = PP' = x = - (l cos f sin T) / cos (T - dg)
de même OH / sin (pi/2 + dg) = AH / sin (pi - T) et OH =- l cos dg cos f / cos (T - dg)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = - l cos dg cos f tg h / cos (T - dg)
On a HP = AP' = y et tg H' = x / (O'A – y) Tous calculs faits on obtient
tg H' = - sin T / (tg f cos (T - dg) + cos dg tg h)
Voyons le cas où le soleil est devant le cadran mais la ligne horaire derrière celui-ci:
Le triangle AHO permet d'écrire AH / sin (pi – T) = OA /sin AHO = OA / sin (T - dg - pi/2) d'où l'on tire
AH = PP' = x = - (l cos f sin T) / cos (T - dg)
de même OH / sin (pi/2 + dg) = AH / sin (pi - T) et OH =- l cos dg cos f / cos (T - dg)
OHP rectangle en H permet d'écrire tg h = HP / OH et HP = y = - l cos dg cos f tg h / cos (T - dg)
On a HP = AP' = y et tg PO'P' = tg (pi – H') = - tg H' = x / (y - O'A) Tous calculs faits on obtient
tg H' = - sin T / (cos dg tg h + tg f cos (T - dg)) relation identique à la précédente.
Lorsque H' > pi/2 la calculatrice donne la valeur la plus faible < 0. on rajoute alors pi pour avoir la valeur de H'.
Calcul des Lignes horaires seules:
1 – Les déclinants
Soit le cadran OAO'. AO'B une ligne horaire H1 du méridional( non déclinant). AO'C une ligne horaire
H2 du matin du déclinant est et AO'D une ligne horaire H3 d'après-midi.
Lignes horaires du méridional:
Dans OAB: OA = l cos f tg H = AB / OA et AB = OA tg H tg H1 = AB / O'A = OA tg H / l sin f =
l cos f sin f tg t / l sin f = cos f tg t
Lignes horaires du déclinant ouest lignes ouest DWLW (matin)
Dans OAC: ACO = pi – (pi/2 + dg + H) = pi/2 – (dg + H)
AC / sin H = OA / sin ACO et AC = l cos f sin H / cos (dg + H)
tg H2 = AC / O'A = AC / l sin f = sin H / tg f cos (dg + H) = 1 / tg f ((cos dg / tg H) – sin dg)
Lignes horaires du déclinant oust lignes est DWLE (après-midi)
Dans OAD: ADO = pi – (pi/2 – dg + H) = pi/2 + (dg – H)
sin ADO / AO = sin H / AD et AD = l cos f sin H / cos (dg – H)
tg H3 = AD / O'A = AD / sin f = sin H / tg f cos (dg – H) = 1 / tg f ((cos dg / tg H) + sin dg)
On obtient les mêmes relations pour les déclinants est celles-ci étant inversées:
DWLW et DELE répondent à la relation tg H2 alors que DWLE et DELW répondent à la relation tg H3.
2 – Les inclinants.
Lignes horaires du septentrional (plein nord)
Dans BAO rectangle en A on a:
AB / OA = tg (pi – H) et AB = - l cos f tg H Dans O'AB on a tg H1 = AB / O'A = - l cos f tg H / l sin f =
- l cos f sin f tg t / l sin f et tg H1 = - cos f tg t
lignes horaires de l'inclinant ouest lignes est IWLE (après-midi)
Dans OAC on a ACO = pi – (pi/2 – dg + pi – H) = dg + H – pi/2
AC / sin (pi – H) = OA / sin (dg + H – pi/2) et AC = l cos f sin H / - cos (dg + H)
O'AC rectangle en A donne tg H2 = AC / AO' = - sin H / tg f (cos (dg + H)) et
tg H2 = - 1 / tg f ((cos dg / tg H) – sin dg)
lignes horaires de l'inclinant ouest lignes ouest IWLW (matin)
Dans OAD on a ADO = pi – (pi/2 + dg + pi – H) = H – dg – pi/2
AD / sin (pi – H) = OA sin (H – dg – pi/2) et AD = l cos sin H / - cos (H – dg)
Dans O'AD on a tg H3 = AD / AO' et tous calculs faits
tg H3 = - 1 / tg f ((cos dg / tg H) + sin dg)
On obtient les mêmes relations pour les inclinants est celles-ci étant inversées:
IWLW et IELE répondent à la relation tg H3 alors que IWLE et IELW répondent à la relation tg H2.
Cas où la ligne horaire n'est pas sur le cadran alors que le plan azimutal du soleil coupe celui-ci.
Prenons le cas de l'IWLE (heures de l'après-midi)
On a vu ci-dessus que l'angle de la ligne tabulaire était supérieur à pi/2.
AC / sin H = AO / sin ACO = AO / sin (pi/2 – (dg + H)) et AC = l cos f sin H / cos (dg + H)
tg AO'C = tg (pi – H2) = AC / AO' = 1 / tg f (cos dg / tg H – sin dg))
d'où tg H2 = - 1 / tg f ((cos dg / tg H) – sin dg)
C'est la même relation que pour la ligne horaire devant le cadran. On conserve donc une seule
formule pour les cas semblables. On rajoutera pi a la valeur fournie par l'ordinateur car celui-ci
donne la valeur inférieure négative quand l'angle > pi/2.
De même que pour les déclinants ces relations sont interchangeables: la relation
tg H2 = - 1 / tg f ((cos dg / tg H) – sin dg) qui est celle des lignes horaires de l'inclinant ouest lignes est
IWLE (après-midi) sera également utilisée pour les inclinants Est lignes ouest du matin (IELW) et la
relation
tg H3 = - 1 / tg f ((cos dg / tg H) + sin dg) sera utilisée pour les inclinants ouest lignes ouest IWLW
(matin) et pour les inclinants est lignes est IELE (après-midi).
2 méthodes d'application de ces résultats:
A) On peut dresser un tableau récapitulatif donnant x, y et tg H dans les différents cas de figures en posant:
A = l cos f sin T B = l cos f cos dg tg h C = sin T D = cos (T – dg) = cos (dg – T)
E = cos (T + dg) K = cos dg tg h G = tg f D H = tg f E
****DWLE/DELW DWLW/DELE IWLE/IELW IWLW/IELE
X A / D A / E - A / E - A / D
Y B / D B / E - B / E - B / D
tg H C / (K + G) C / (K + H) - C / (K + H) - C / (K + G)
Pour les inclinants on rajoutera pi lorsque l'angle H est < 0
B) Une méthode plus générale:
En remarquant que cos (dg - T) = cos (T - dg) = cos (T + (-dg))
on pourra se servir dans tous les cas des 3 relations générales propres aux DWLW ou DELE
x = (l cos f sin T) / cos (dg + T) (a)
y = l cos dg cos f tg h / cos (dg + T) (b)
tg H = sin T / (cos dg tg h + tg f cos (dg + T)) (c)
On utilisera ensuite le signe de dg adapté à chaque cas et on redonnera aux x, y et tg H
le signe attendu de leurs relations initiales .
Ainsi:
(DWLE) et (DELE) prendre dg < 0 dans (a), (b) et (c)
(DWLW) et (DELE) dg >0
IWLE IELW LH devant dg >0 x = -x y = -y tg H' = - tg H'
IWLE IELW LH derrière idem: dg >0 x = -x y = -y tg H' = - tg H'
IWLW IELE LH devant dg < 0 x =- x y = -y tg H' = - tg H'
IWLW IELE LH derrière idem dg < 0 x = -x y = -y tg H' = - tg H'
Lignes horaires seules:
formule générale: on prend la valeur de tg H3
tg H = 1 / tg f ((cos dg / tg H) + sin dg) et on observe que sin dg = - sin -dg et cos dg = cos -dg
Lignes horaires du méridional:
tg H1 = cos f tg t
1 – Les déclinants
DWLW et DELE on prend dg < 0 dans tg H
DWLE et DELW on prend dg > 0
2 – Les inclinants.
Lignes horaires du septentrional (plein nord)
tg H1 = - l cos f tg t
IWLE et IELW dg < 0 et tg H2 = - tg H
IWLW et IELE dg > 0 et tg H3 = - tg H
On peut mettre cela sous la forme du tableau suivant:
relations générales
x = (l cos f sin T) / cos (dg + T) (a)
y = l cos dg cos f tg h / cos (dg + T) (b)
tg H = sin T / (cos dg tg h + tg f cos (dg + T)) (c)
DELW DWLE * DWLW DELE * IELW IWLE * IWLW IELE
dg < 0 * > 0 * > 0 * < 0
x x * x * - x * - x
y y * y * - y * - y
tg H tg H * tg H * - tg H * - tg H
Lignes horaires seules:
relation générale: tg H = 1 / tg f ((cos dg / tg H) + sin dg)
DELW DWLE * DWLW DELE * IELW IWLE * IWLW IELE
dg > 0 < 0 < 0 >0
tg H tg H tg H - tg H - tg H
- Heures d'apparition et disparition du soleil sur le cadran
On pourra se référer au travail fait en 2017 que l'on trouvera ici:
http://www.pakhomoff.net/INTER1.html
ou, ci-dessous une approche différente peut-être plus rudimentaire mais plus simple d'application.
Le soleil est en M à l'intersection de son arc semi-diurne avec le cercle horaire et le cercle vertical
d'azimut. Le point P de l'axe des pôles et le point Z de l'axe zénith nadir donnent avec le point M
le triangle parallactique PZM qui permet d'écrire les relations classiques
sin ZM / sin t = sin (pi/2 – d) / sin (pi – a) où t est l'angle horaire du soleil, d sa déclinaison et a son
azimut. Rappelons qu'en gnomonique on peut compter les angles horaires et les azimuts de 0 à pi
depuis le méridien en est comme en ouest.
Cette relation devient sin ZM sin a = cos d sin t (1)
Ia relation dite des 5 éléments donne sin ZM cos (pi – a) = cos f sin d - sin f cos d cos t
ou encore sin ZM cos a = sin f cos d sin f – cos f sin d (2)
et en divisant (1) par (2) on obtient
tg a = sin t / (sin f cost – cos f tg d) (3) ou tg a sin f cos t – tg a cos f tg d – sin t = 0
Connaissant a = pi/2 + ou moins dg (orientation du cadran) il nous faut trouver les 2 angles
horaires correspondant au passage du soleil devant et derrière le cadran.
Nous nous servons pour cela de l'arc moitié en posant tg (t/2) = k
on a alors cos t = (1 – k²) / (1 + k²) et sin t = 2 k / (1 + k²)
Portons ces valeurs dans (3) tg a sin f (1 – k²) / (1 + k²) - tg a cos f tg d - 2 k / (1 + k²) = 0
qui devient tg a sin f (1 – k²) - tg a cos f tg d (1 + k²) – 2 k = 0 (4)
Après développement on obtient
(tg a sin f +tg a cos f tg d) k² + 2 k + tg a cos f tg d – tg a sin f = 0
équation de la forme A k² + B k + C = 0 dont on extrait les racines.
2 valeurs de k vont donner 2 valeurs correspondantes de t.
On retiendra la valeur qui correspond à la valeur pi/2 + ou moins dg (orientation du cadran).
Cette façon de faire ne présente pas de difficulté particulière en programmant une calculette.
Donnons un exemple numérique:
Vertical déclinant ouest de dg = 15° : heure d'apparition du soleil sur le plan du cadran.
On se donne f = 43°, a =pi/2 – dg = 75°, d = + 12°
(tg 75 sin 43 + tg 75 cos 43 tg 12) k² + 2 k + tg 75 cos 43 tg 12 – tg 75 sin 43 = 0
3.12541 k² + 2 k -1.96509 = 0
2 racines: R1 = 0.535097 R2 = - 1.17501
L'angle correspondant à R est donc le double de l'arc tangente R1: 56.302° ce qui correspond à
un angle horaire = de 56.302/15 = 3.75348 heures. Le matin nous déduisons cette quantité à 12 h
et nous obtenons 8.24652 h ou 8h 14' 47''.
Avec R2 nous obtiendrions un angle de 80.799° ce qui correspond à 6h36'48''.
On peut penser que R1 est la meilleure solution. Pour s'en assurer entrons cette valeur dans
la relation donnant l'azimut. Nous devrions trouver 90 – 15 = 75°
tg a = sin t / (sin f cost – cos f tg d) => tg a = sin 56.302 / (sin 43 cos 56.302 – cos 43 tg 12) = 75°
C'est donc bien 8h 14' 47'' l'heure de passage du soleil sur le cadran.
Cas particuliers:
1) Le cadran ne décline (n'incline) pas. C'est le cas des méridionaux ou septentrionaux. On a
a = pi/2 puisque dg = 0 et (4) n'est plus applicable. De (3) on déduit que lorsque tg a = 8
alors sin f cost – cos f tg d = 0 et cos t = cos f tg d / sin f = tg d / tg f d'où t
(passage au premier vertical)
2) A l'équateur.
La méridienne NS sert de style car la latitude est nulle. Tous les arcs diurnes de déclinaison sont perpendiculaires à l'horizon.
L'équateur est devenu le premier vertical et le soleil est constamment dans un plan parallèle à l'équateur.
Les heures sont donc données de 15 en 15° par l'ombre de l'axe vertical NOS sur le plan du cadran équatorial.
On peut voir sur la figure ci-dessus qu'un cadran déclinant ou inclinant ne pourra donner lieu à une apparition ou disparition
qu'à la condition que sa déclinaison gnomonique soit supérieure à la valeur absolue de la déclinaison. Si dg < IdI alors le soleil
est constamment devant le cadran.
Au pôle l'axe terrestre se confond avec l'axe zénith nadir alors que l'équateur terrestre se confond avec l'horizon et les cercles horaires
coupent le plan d'un cadran d'orientation quelconque selon des droites verticales donnant sur le sol des lignes horaires marquant les heures
de 15 en 15°.
3) On remarque que le cadran DW et son opposé IE ont la même heure de passage du soleil dans leur plan commun.
Apparition le matin sur le DW et disparition sur l'IE puis disparition l'après-midi sur le DW et réapparition sur l'IE.
A condition que les levers ou couchers se fassent face au cadran considéré ce qui selon l'orientation du cadran ou la
déclinaison du soleil n'est pas toujours le cas. On comparera les azimuts des levers et couchers à l'angle de déclinaison
gnomonique ajouté ou retranché à pi/2 selon le cas de figure.
Il en est de même pour le DE et son opposé IW dans le même plan.
de sin d = sin f cos z – cos f sin z cos a on tire lorsque z = pi/2 (hauteur = 0) : sin d = - cos f cos a
d'où la déclinaison du lever ou du coucher.
Lorsqu'on se donne a = pi/2 + ou – dg et f on peut alors déduire pour quelle déclinaison le soleil restera toute la journée
devant le cadran DW ou DE sur l'horizon.
- Cas du lever ou du coucher dans le plan du cadran.
Dans ce cas l'angle tabulaire et l'angle d'azimut sont confondus: le cercle horaire, le cercle
azimutal ainsi que l'arc semi-diurne se rencontrent sur le grand cercle de l'horizon.
On a tg (pi/ 2 + - dg) = tg H = sin f tg t
Connaissant t et appliquant la relation sin ZM sin a = cos d sin t avec ZM = pi/2 (coucher ou lever)
on a cos d = sin a / sin t d'où la date des levers et couchers dans le plan du cadran.
EQ = équateur céleste
MA = arc semi-diurne
QA = déclinaison du soleil
PM = cercle horaire du lever
t = angle horaire du lever
VZM = vertical contenant le cadran
En prenant l'exemple ci-dessus du cadran DW le lever se fera dans le plan du cadran à
tg t = tg 75 / sin 43 = 5.47223 t = 79.644° <=> t = 12h - 5h 18' 34'' = 6h 41' 25''
Dans le cas des DW les azimuts < pi/2 correspondent à des arcs semi diurnes dont la
déclinaison est négative. Dans le triangle parallactique les rapports deviennent donc
sin t / sin ZM = sin (pi – a) / sin (pi – (-d)) Ici ZM = pi/2 et
sin t = sin a / cos - d d'où cos - d = sin 75 / sin 79.644 = 0.98192 arc cosinus – d = 10.91125°
d'où d = - 10.91125 = - 10° 54' 41'' ce qui correspond aux dates moyennes des 20 février
et 21 octobre.
Pour terminer la relation sin d = sin f cos z – cos f sin z cos a tirée du triangle parallactique
se simplifie lorsque z = pi/2 (levers et couchers) en sin d = - cos f cos a.
Connaissant la déclinaison gnomonique du cadran on peut ainsi connaître directement
la date de lever ou coucher du soleil dans le plan du cadran.
La relation cos z = sin f sin d + cos f cos d cos t lorsque z = pi/2 donne cos t = - (tan f tang d)
C'est la valeur de l'arc semi-diurne dont le double est la durée du jour.
Cas de l'hémisphère sud
Lorsque dans l'hémisphère nord HN on fait face au pôle nord on a l'est à notre droite et l'ouest à notre gauche.
C'est l'inverse quand dans l'hémisphère sud HS on fait face au pôle sud.
Le tracé du cadran va donc être inversé et la partie des lignes LH ouest du matin construites à la gauche du cadran
dans l'HN devra être dessinée à droite dans l'HS.
Pareillement les lignes LH de l'après midi à droite dans l'HN devront être reportées à gauche dans l'HS.
On tiendra compte également du changement de signe de la déclinaison solaire en inversant l'appellation des arcs diurnes:
l'arc d'été devenant celui d'hiver et celui d'hiver devenant celui d'été.
On fera la même chose pour les arcs intermédiaires (zodiacaux par exemple) en traçant l'arc de l'HN avec la déclinaison de l'HN
mais en le nominant par le nom de son opposé:
Exemple:
Le 21 juin jour de l'été, passage dans le Cancer, sera construit avec la déclinaison 23° 26' et sera appelé Capricorne.
Le 22 décembre jour de l'hiver, passage dans le Capricorne, sera construit avec la déclinaison -23° 26' et sera appelé Cancer.
Ensuite les Gémeaux et le Cancer dans leur zone zodiacale céderont leur place au Sagittaire et au Capricorne;
puis le Taureau et le Lion feront de même avec le Scorpion et le Verseau etc…
Ci-dessous un déclinant est HN avec son homologue est HS issu de la même photo par retournement
(le nom des signes comme leur symbole devra être bien sûr changé).
...
On pourra trouver des études complémentaires sur les cadrans solaires en consultant cette page:
http://www.pakhomoff.net/trvp.html
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16 3 2021
Cadran inclinant à l'ouest
Cadran déclinant à l'est
Cadran déclinant à l'ouest
Cadran inclinant à l'ouest
Cadran déclinant à l'ouest
Cadran déclinant à l'ouest
Cadran déclinant à l'est
Cadran inclinant à l'est