Les cadrans solaires inclinés (suite)
Jean Pakhomoff
Chapitre 2
Les cadrans iDW et iDE angle j inférieur à la latitude f (j
< f)
Les conventions adoptées pour la première partie sont
également retenues ici.
I Cas de figure de liDWLW (incliné déclinant ouest
lignes ouest).
fig 21
Nous faisons pivoter le cadran primitif dans le plan du 1er
vertical d'une déclinaison gnomonique égale à dg vers l'ouest.
Puis nous inclinons ce plan d'un angle i de façon à ce que
l'axe du monde, style de notre cadran, sorte vers le haut au
dessus
du plan du cadran (j<f).
Nous choisissons, pour la commodité du dessin, cet angle i de
façon à ce que le point S, point de rencontre de la ligne de
XII heures
(trace de l'intersection du cadran avec le plan méridien) soit sur le point M intersection du plan du cadran avec la méridienne sur la
sphère origine. (On a fait glisser S sur AO de A en S). Soit le soleil d'angle horaire t donnant sur l'horizon un angle horaire tabulaire H
et un angle azimutal T. Le cercle horaire passant par OO'
vient couper le plan du cadran incliné enOGO',
G se trouvant sur l'horizontale QQ' passant par S.
De même le plan azimutal B'OB passant par O coupe le plan du
cadran selon B'B et le rayon solaire intersection des 3 plans
cadran,
cercle horaire et cercle azimutal vient frapper le cadran en
P' intersection de O'G et de B'B.
D'où Hi angle horaire tabulaire, puis x et y que nous allons
maintenant calculer.
Etude du style.
On incline le vertical origine DOD dun angle i
en le faisant basculer en QOQ
sur lhorizontale passant par OK.
Fig 22
Le style OO de longueur l sort vers le ciel sur ce mur
incliné comme une pyramide et comme dans le cas précédent
prenons la configuration du déclinant ouest en commençant
dabord par les lignes ouest du matin.
Sur la figure 9 est représenté un cadran incliné déclinant
dun angle d (déclinaison gnomonique du cadran) vers
louest.
OO axe du monde et style du cadran. A projection de O
sur le cadran vertical origine dans le plan méridien.
Le style principal est alors OAO où OOA est
langle égal à la latitude f.
O projection orthogonale de O sur le cadran vertical
origine et K projection de O sur lhorizontale
passant par O et
commune au plan du cadran vertical origine POP et
au plan de l'incliné OQQ.
Soit PP lhorizontale passant par A et O''.
Faisons pivoter dun angle i le cadran vertical
DOD autour de OK.
On obtient alors le plan QOQ de notre cadran
incliné, la droite QQ étant lhorizontale de
QOQ balayant la droite horizontale OA.
QQ coupe le prolongement de OA en S.
OS est alors la ligne de coupe du plan méridien sur
QOQ, autrement dit la ligne de XII heures.
Soit T lintersection du prolongement de
OO avec QQ.
OO perpendiculaire à DOD est
perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en
particulier à la verticale KO et à
lhorizontale DD puis à QQ parallèle à
DD dans le plan horizontal QDDQ (contenant les
horizontales DD et AS).
Le triangle KOT rectangle en O
perpendiculaire aux parallèles DD de DOD et QQ
de QOQ est le dièdre dangle i de ces 2 plans.
La projection de A sur QQ se fait en L et donne le dièdre
AOL dangle i.
ALS rectangle en L permet décrire AL = AS cos dg et le
dièdre OAL rectangle en A donne AL / OA = tg i
doù
AL = l sin f tg i = AS cos dg et
AS = l sin f tg i / cos dg OL cos i = OA et OL
= l sin f / cos i Calculons les angles OSA = j et OSL
= V.
OAS rectangle en A donne tg j = OA / AS = cos dg / tg
i
ALS et OLS rectangles en L (OAL dièdre parallèle au
plan KOT) donnent LS = AS sin dg = l sin f tg i
tg dg
OL / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i
tg dg = 1 / sin i tg dg
On aura de même OS sin V = OL et OS = l sin f
/ cos i sin V
Remarquons que dans ASO , OS = l sin f / sin j et
quen comparant les 2 valeurs de OS on conclut que sin
j = cos i sin V et donc
sin V = sin j / cos i
OS, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un
angle j avec lhorizontale passant par S dans ce plan
méridien et un angle V
avec lhorizontale passant par S dans le plan de
lincliné QOQ.
Par commodité de construction on se servira dun style
secondaire OOT perpendiculaire au cadran incliné que nous
allons
maintenant calculer.
Dans le dièdre OKT vu ci-dessus abaissons une
perpendiculaire de O sur le plan OQQ. Elle coupe
TK en T.
On obtient alors le triangle OTO rectangle en T puisque OT
est perpendiculaire à QOQ et donc à toutes les
droites de ce plan
et en particulier à OT.
On a OT / OK = tg i et
OT = OK tg i = OA tg i = l
sin f tg i
OT = OT OO = l sin f
tg i l cos f cos dg
TT = OT sin i = l sin f tg i sin i l cos f cos
dg sin i
KTO = pi/2 i = OTT doù TOT = i
OT = OT cos I = l sin f tg i cos i l cos f cos dg
cos i
= l sin f sin i - l cos f cos dg cos i
TT = OT sin i = l sin f tg i sin i l cos f cos
dg sin i = l sin i (sin f tg i cos f cos dg)
KT cos i = KO = OA = l sin f et KT
= l sin f / cos i Et KT = KT - TT
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus
grande pente située à la distance
OK = AO = LT' = l cos f sin dg de la ligne de plus grande pente OL. Il ne nous reste plus quà calculer OT
pour construire notre style secondaire OTO.
OO ² = l ² = OT ² + OT ² et OT = SQR ( l ²
- OT ² )
La relation est identique à celle du cas précédent (style vers
le bas j>f)
Pour faciliter le tracé et au titre de vérification on pourra
encore calculer SL et ST':
Dans SLA on a SL / LA = tg dg LA / OA = tg i et LA = l sin f tg i
alors
SL = l sin f tg i tg dg ST' = SL T'L= SL AO''
A propos de la sous-stylaire:
La sous-stylaire est la projection de l'axe du monde sur le plan
du cadran. Ici c'est
O'T projection de O'O. On peut rechercher la valeur de SO'T qui
nous donnera l'angle horaire
correspondant à la sous-stylaire.
tg KTO' = O'K / KT puis TO'K = pi/2 KTO' et SO'T = TO'K
V
KT = KT' TT' O'K = AO'' toutes ces valeurs sont connues
(voir ci-dessus)
On identifie alors SO'T avec l'angle tabulaire Hi dont la valeur
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f-j) sin
H cos V) est étudiée ci-dessous.
Après simplifications et en tenant compte que tg H = sin f tg t
il vient tg t = cos dg / ((sin (f j) sin V / tg Hi) + sin
f sin dg sin (f j) cos V)
Un raisonnement semblable permet de retrouver les angles horaires
correspondant aux
sous-stylaires dans les autres cas de cadrans inclinés.
Par exemple pour le cadran construit à Azille (11) on a:
latitude 43.2753°, déclinaison gnomonique = 67.485°,
inclinaison = 67.27°
V = 24.200° j = 9.11344°, KTO' = 52.18416° TO'K = 37.81583°
et
SO'T = Hi = 13.6155° d'où t = 19.831° ce qui correspond à
19.831/15 = 13h 19'
La sous-stylaire se projette sur 13h 19'.
La sous stylaire est, comme pour les cadrans verticaux,
perpendiculaire à l'équinoxiale.
La figure 22a montre cela.
fig 22a
On retrouve le cadran solaire O'AO, la projection de O en T sur
le plan du cadran.
O'T la sous-stylaire et l'hémi cercle horaire PPcPs contenant
cette sous-stylaire.
L'équinoxiale QQ' trace de l'intersection de l'équateur
céleste avec le plan du
cadran incliné SZ'QU'S'Z''Q'Uw.
Tous les cercles horaires étant perpendiculaires à l'équateur
céleste leurs traces sur
le plan du cadran le seront entre elles lorsque le cercle horaire
est en même temps
perpendiculaire au plan du cadran.
Pour tracer l'équinoxiale, à défaut de la calculer point par
point, on pourra calculer
simplement la quantité O'A. A étant le point d'impact du rayon
solaire passant par O
le jour de l'équinoxe avec la ligne de XII heures SS'. Par A on
mènera alors une
perpendiculaire sur la sous-stylaire précédemment calculée
coupant en A' celle-ci.
Coordonnées x et y du point C intersection dun rayon
solaire avec le plan
de lincliné déclinant (j<f).
Lignes du matin pour liDWLW.
fig23
a)- Calcul de langle horaire tabulaire Hi.
On retrouve les mêmes éléments donnant des triangles de même
appellation que dans la première partie de létude.
OAS ==> OS = l sin f / sin j
OGS ==> GS / sin Hi = OS / sin (pi-(Hi + pi-V) =
OS / sin (V-Hi) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OOS ==> OO / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS
/ sin(f-j) (AOO = f) et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi-(pi/2-dg))) = OS / sin
(pi/2-(dg+H))
= OS / cos (dg+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi /
sin j sin (V-Hi) doù
sin Hi sin f cos (dg+H) = sin H sin (V-Hi) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut
écrire
A sin Hi = B sin (V-Hi) = B sin V cos Hi B sin Hi cos V et
en divisant par cos Hi
on obtient A tg Hi = B sin V B cos V tg Hi
tg Hi (A + B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs
valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f-j) sin
H cos V)
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon
BK et l incliné selon BK.
De même le rayon solaire passant par O frappe lincliné en
V à lintersection du cercle horaire OGO et de
lazimutal correspondant BBK.
BK fait avec BB un angle j et avec QQ un
angle U.
-Calcul de j.
SBO = B'BB = pi/2-(dg+T)
BBB rectangle en B ==> BB
sin BBB = BB = AL = l sin f
tg i et BB
= l sin f tg i / cos (dg+T)
KBB rectangle en B ==> tg j =
BK / BB = l sin f / B'B = cos (dg+T) / tg i
- Calcul de U.
KB = KB sin j et KB = l sin f / sin
j
BBK rectangle en B
(BKB dièdre de lincliné et du
cadran vertical origine BOB) ==>
BK = KB sin U = BK / cos i
= l sin f / cos i et
sin U = BK / KB = (l sin f / cos i) / (l
sin f / sin j) et sin U = sin j / cos i
- Calcul de OP' (OG P'G).
OBP' ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(h+j)) = OB / sin
(h+j) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg) = OB / cos d = OS / sin
(pi-(pi/2+dg+T))
= OS / cos (dg+T)
doù OB = OS cos d / cos (dg+T) = l sin (f-j) cos d / sin j
cos (dg+T)
BP' = OB sin h / sin (h+j) = l sin (f-j) cos dg sin h / sin
j sin (h+j) cos (dg+T) OGS ==>
OG / sin (pi-V) = GS / sin Hi = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) / sin Hi
( Rappel: GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) ) et
O'G = l sin V sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) sin Hi
En prenant lautre valeur de GS on a
OG = l sin V sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) sin Hi = l sin
V sin f / sin j sin (V-Hi)
SGO = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BGP' ==> BGP' = pi-(V-Hi) et BP'G = pi-(U+pi-(V-Hi)) = V-Hi-U
BP' / sin (pi-(V-Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin
(V-Hi) doù
GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin j sin (h+j) cos
(dg+T) sin (V-Hi)
et OP' = OG-GP'
On aura ici à partir de O sur la ligne de XII heures et
vers le haut : xP' = P'C = OP' sin Hi
yP'(o) = OC = OP' cos Hi
A partir de S vers O on a yP'(s) = OS
yP'(o)
Lorsque le soleil se trouve dans le plan méridien le point P' se trouve sur O'S (ligne de XII heures) (fig 23a).
fig 23a
SOO' ==> OO'S = pi - (j + pi - f) = f - j
Dans OO'P' on a OP'O' = pi - (OO'S + P'OO') = pi - (f - j + pi -
f - h) = j + h
sin (j + h) / OO' = sin (pi - f - h) / O'P' et O'P' = y = l sin
(f+h) / sin (j + h)
Même relation que pour les j > f donnant la position du point
de midi pour les arcs diurnes.
cas particuliers.
1)- Le soleil est dans le plan du cadran vertical origine (T =
pi/2-d).
Hi ne change pas.
fig 24
On fait passer par O un plan vertical ZOZ' parallèle à ce
cadran vertical origine AO'KO''.
ZZ' est l'intersection de ce plan avec l'incliné. Par O on abaisse dans le plan méridien la perpendiculaire à ZZ'
coupant la ligne de 12 h en T''.
On a OS = AS OA = l sin f / tg j - l cos f
On remarque que OT'' / OS = tg j et OT'' = OS tg j = l sin f - l
cos f tg j
O'S = O'A / sin j = l sin f / sin j ST'' = OS / cos j = l sin f
/sin j l cos f / cos j O'T'' =
O'S ST'' = l sin f / sin j - (l sin f /sin j l
cos f / cos j) et
O'T'' = l cos f / cos j
P'T''O' permet d'écrire sin P'T''O' / O'P' = sin T''P'O' / O'T''
ou
sin (pi V) / O'P' = sin (pi (pi V + Hi) /
O'T''
et O'P' = sin V O'T'' / sin (V Hi) = l sin V cos f / (sin
(V - Hi) cos j)
Puis x = O'P' sin Hi, y (O') = O'P' cos Hi et y (S) = O'S
y
(O'S = l sin f / sin j)
2)- Le soleil est derrière le cadran vertical origine
(T>pi/2-dg)
- Cas où H angle tabulaire horizontal est < pi/2 - dg.
fig 25
Le vertical azimutal dangle tabulaire T coupe
lincliné selon BK et le
vertical origine selon BK.
Le cercle horaire OGO dangle t et dangle
tabulaire H coupe lincliné selon GO et le rayon
solaire passant par O
et commun à ces deux plans passe par leur intersection
en P' avec lincliné. Le cadran est éclairé si la hauteur
h du soleil est supérieure à j.
Il ny a pas de changement pour le calcul de tg Hi.
Dans SOB on a BSO = pi/2-dg; SOB = pi-T; SBO = dg+T-pi/2 =
BBB
BBB rectangle en B (dièdre
KBB) ==> BB sin
BBB = BB =
AL = l sin f tg i sin (dg+T-pi/2) = -cos(dg+T) et BB = l
sin f tg i / -cos(dg+T)
KBB ==> tg j = BK / BB = l
sin f / (l sin f tg i / -cos(dg+T))
= - cos(dg+T) / tgi (RT = J')
KB = KB sin j et KB = l sin f / sin
j
BBK ==> BK = BK sin
U = BK / cos i = l sin f / cos i et
sin U = BK / BK = (l sin f / cos i) / (l
sin f / sin j) = sin j / cos i Calcul de OP' (=
OG-P'G)
OBP'==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j) et BP'
= OB sin h / sin (h-j) OBS ==>
OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-T))
= OS / sin (dg+T-pi/2) et
OB = OS cos dg / - cos (dg+T) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos
(dg+T) et
BP' = - l sin (f-j) cos dg sin h / sin j sin (h-j) cos
(dg+T)
OG a la même valeur que dans le cas où T<pi/2-d et on
prendra OG = l sin V sin f / sin j sin (V-Hi)
BGP'==> BGP' = SGO = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BP'/ sin (V-Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V-Hi)
GP' = - l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin j sin (h-j)
cos (dg+T) sin (V-Hi)
Doù OP' = OG-P'G et
xP'(o) = P'C = OP' sin Hi
yP'(o) = OP' cos Hi
yP'(s) = OS yP'(o)
Le cadran est éclairé si h > RT.
On retrouve la relation tg RT = (1/tg i) * (- cos (T+dg) (RT =
J')
Le cadran incliné construit à Azille (11) entre dans ce cas
de figure pour la recherche des
azimuts permetant de connaître la direction de la Mecque et de
Marseille à partir de la
position du soleil sur le lieu du cadran. Nous étudions cela
dans un travail à part:
a) Cas où H = pi/2-d
Nous avons étudié ce cas dans la première partie où j > f.
On a vu que la ligne horaire tabulaire est lhorizontale
passant par O sur le cadran.
Mais ici le cadran , si h>RT , peut être éclairé car le
soleil peut être au-dessus du cadran.
Fig 26
AOB ==>AB / sin (pi-T) = AO / sin
(pi-(pi-T+pi/2-dg) = AO / - cos (T+dg) AB = OP' =
xP'(o) = l cos f sin T / - cos (T+dg)
Ici yP' = 0 et Hi = V
c)- Cas où H>pi/2-d.
Dans le cas de figure de lincliné déclinant où le style
sort du plan vers la terre on a vu que le soleil,
ne pouvait être devant le plan du cadran car les intersections du vertical azimutal avec le cercle horaire
se faisaient derrière le plan du cadran.
Mais comme nous venons de le voir, ici, ces intersections peuvent
avoir lieu au-dessus du plan de lincliné
et celui-ci sera alors éclairé par le rayon de soleil
correspondant.
Ceci tant que h>RT. Voyons la figure
fig 27
1)- Calcul de tg Hi
Ici Hi est le supplément de GOS. Sur le plan de
lincliné la trace de coupe de lazimutal se fait en
BK .
La trace du cercle horaire se fait en GO et ses deux traces
se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Menons la perpendiculaire P'Z sur QQ . Dans ZP'B rectangle
en Z on a ZBP' = U et ZP'B = pi/2-U .
Dans ZP'G on a ZP'G = pi/2-ZGP'.
Or ZP'B < ZP'G et pi/2-U < pi/2-ZGP' <=> U > ZGP'.
GP' passant par O de lhorizontale KO et
BP' par K
à louest de O sur cette même horizontale
<=> lintersection de BP' et de GP' a lieu sous cette
horizontale.
OAS ==> OS = l sin f / sin j ; OGS ==> GS
/ sin (pi-Hi) = OS / sin (pi-(pi-Hi + V)) = OS / sin
(Hi-V) et
GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OOS ==> OO / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS
/ sin(f-j) (AOO = f) et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-d)) = OS /
sin (dg+H-pi/2)
= OS / -cos (dg+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi /
sin j sin (Hi-V) doù
-sin Hi sin f cos (dg+H) = sin H sin (Hi-V) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut
écrire
-A sin Hi = B sin (Hi V) = B sin Hi cos V B sin V
cos Hi
-A tg Hi = B tg Hi cos V B sin V
A tg Hi +B tg Hi cos V = B sin V
tg Hi ( A + B cos V ) = B sin V tg Hi = B sin V / A + B cos V
tg Hi = sin (f j) sin H sin V / (sin f cos (dg + H) + sin
(f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon
BK et l incliné selon BK.
De même le rayon solaire passant par O frappe lincliné en P' à lintersection du cercle horaire OGO et de
lazimutal correspondant BBK. BK fait avec BB un angle j et avec QQ un angle U.
-Calcul de j.
SBO = BBB = pi-(pi-T+pi/2-dg) = T+dg-pi/2
BBB rectangle en B ==> BB
sin BBB = BB = AL = l sin f
tg i et BB = l sin f tg i / -cos (dg+T)
KBB rectangle en B ==> tg j =
BK / BB' = l sin f / BB = - cos (dg+T) / tg i
RT=J'
-Calcul de U.
KB = BK sin j et BK = l sin f / sin
j
BBK rectangle en B
(BKB dièdre de lincliné et du
cadran vertical origine) ==>
BK = BK sin U = BK / cos i
= l sin f / cos i et
Sin U = BK / BK = (l sin f / cos i) / (l
sin f / sin j) Sin U = sin j / cos i
-Calcul de OP' ( = GP'- OG).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j+pi-h)) = OB
/ sin (h-j) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos dg = OS / sin
(pi-(pi/2-dg+pi-T)) = OS / - cos (dg+T)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos dg / - cos (dg+T) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos
(dg+T)
BP' = OB sin h / sin (h-j) = - l sin (f-j) cos dg sin h /
sin (h-j) sin j cos (dg+T) OGS ==>
OG / sin V = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (dg+H) sin j) / sin Hi et
OG = - l sin V sin(j-f) sin H / cos (dg+H) sin j sin Hi
<=> En prenant lautre valeur de GS on obtient
OG / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi
et
OG = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGP' ==> BGP' = SGO = pi-(V+pi-Hi) = Hi-V et BP'G =
pi-(pi-(Hi-V+pi-U) = Hi-V-U+pi
BP' / sin (Hi-V) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin
(Hi-V) doù
GP' = - l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h-j) sin j
cos (dg+T) sin (Hi-V) OP' = GP'-OG
Puis xP' = OP' sin Hi
yP'(o) = OP'cos Hi en partant de O
yP'(s) = O S - yP'(o) en partant de S (on a vu que
OS = l sin f / sin j)
Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et yP(o) < 0
(à tracer vers le bas sur SO).
c - Heures utiles du cadran
(RT = J') __________________________fig
28
On retrouve tg RT = (1/tg i)*(- cos (T + dg) et t à partir de RT
= h comme vu précédemment
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à pi/2 dm = PN - MN = f
- j doù
intervalle dm = pi/ 2 (f - j) et dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions
disparitions seront comprises entre dm et dm.
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison d.
Si i = pi/2 alors tg j = cos dg / tg i = 0 et j = 0. Cest
le cas de lincliné devenu horizon.
R balaie lhorizon de N en S. M vient en N et quand R est en
N alors comme nous lavons vu ci-dessus
PN = pi/2 d = f doù d = pi/2 f
R en S correspondant à d.
fig 29
On retrouve la relation classique donnant les déclinaisons
limites des levers et couchers sur lhorizon f.
Au-delà de ces déclinaisons les astres napparaissent
plus
sur cet horizon.
La méthode générale permettant de connaître les angles
horaires d'apparition et de disparition aboutit à
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0
et on pose A = cos d, B = tg (f - j) sin d et C = - tg (f - j) /
tg R
on a alors A + B cos t + C sin t = 0 puis résolution de
l'équation du second degré.
Nous allons maintenant voir le cas des iDWLE ou
lignes horaires du soir.
(incliné déclinant ouest lignes est).
Lhémi-cadran vertical origine fait donc entre sa partie
ouest et le plan méridien un angle égal à
pi/2+d vers le sud.
a)- Cas où T<pi/2+d et H<pi/2+d.
fig 30
a) Calcul de Hi.
On connaît OS = l sin f / sin j. On a Hi = SOG.
GSO ==> GS / sin Hi = OS / sin (pi-(V+Hi)) =
OS / sin (V+Hi) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2-dg+H))
= OS / sin (pi/2 +dg-H) = OS / cos (dg-H) et GS = OS sin H / cos
(dg-H)
OOS ==> OO / sin j = OS / sin (pi/2-j-(pi/2-f)) =
OS / sin (f-j)
et OS = l sin (f-j) / sin j
GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg-H) = l sin f sin Hi / sin
j sin (V+Hi) doù
sin (f-j) sin H sin (V+Hi) = sin f sin Hi cos (dg-H)
sin(f-j) sin H (sin V cos Hi + cos V sin Hi) = sin f sin Hi cos
(dg-H) divisons par cos Hi
sin (f-j) sin H (sin V + cos V tg Hi) = sin f tg Hi cos (dg-H)
sin (f-j) sin H sin V + sin (f-j) sin H cos V tg Hi = sin f tg Hi
cos (dg-H)
tg Hi (sin (f-j) sin H cos V sin f cos (dg H)) = -
sin (f-j) sin H sin V
et tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / ((sin (f-j) sin H cos V
sin f cos (dg H))
b) coordonnées x et y de P'.
Calcul de j.
BBB==> BBB = SB0 = pi
(pi/2-dg+T) = pi/2 + (dg-T)
fig 31
BBB rectangle en B ==> BB
sin BBB = BB = AL = l sin f
tg i et BB = l sin f tg i / cos (dg-T)
KBB ==> tg j = KB / BB =
cos (dg-T) / tg i
Calcul de U.
KB = KB sin j ==> KB = l sin f /
sin j
BBK ==> BK = BK sin
U et sin U = BK / BK
BK / cos i = BK = l sin f / cos i
et sin u = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j) = sin
j / cos i
- Calcul de OP'.
OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos dg = OS / sin
(pi-(pi/2-dg+T))
= OS / cos (dg-T) (SOB = T et BSO = pi/2 dg)
OB = OS cos dg / cos (dg-T) = l sin (f-j) cos dg / sin j cos
(dg-T) OBP' ==>
BP' / sin h = OB / sin (pi-(h+j)) = OB / sin (h+j)
BP' = OB sin h / sin (h+j) = l sin (f-j) cos dg sin h / sin
(h+j) sin j cos (dg-T) OGS ==>
OG / sin V = GS / sin Hi et OG = GS sin V / sin Hi
Nous avons vu ci-dessus que
GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg-H) = l sin f sin Hi / sin
j sin (V+Hi) donc
OG = l sin f sin Hi sin V / sin j sin Hi sin (V+Hi) = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi) BGP' ==>
BGP' = pi-OGS = pi-(pi-(V+Hi)) = V+Hi
BP' / sin (V+Hi) = GP' / sin U ==> GP' = BP' sin U / sin
(V+Hi)
GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h+j) sin j cos
(dg-T) sin (V+Hi) OP' = OG GP'
xP' = OP' sin Hi
yP'(o) = OP' cos Hi (de O vers S)
yP'(s) = OS yP'(o) (de S vers O)
b) Cas où T = pi/2 + dg
fig 32
On retrouve le même plan azimutal que dans le cas précédent
mais P' sur ZZ est
cette fois à lest de la ligne de XII heures SO.Pas
de changement pour le calcul de Hi.
On connaît déjà O'T'' = l cos f / cos j
P'T''O' permet d'écrire sin P'T''O' / O'P' = sin T''P'O' / O'T''
ou sin (V) / O'P' = sin (pi ( V + Hi) / O'T''
et O'P' = sin V O'T'' / sin (V + Hi) = l sin V cos f / sin (V +
Hi) cos j Puis x = O'P' sin Hi,
y (O') = O'P' cos Hi et y (S) = O'S y(O)
c) Cas où T > pi/2+dg et H < pi/2+dg. (Fig 13b). Le
cadran est éclairé si h>RT
Calcul de tg Hi. j, V et OS sont connus.
Fig 33
OGS ==> GS / sin Hi = OS / sin (pi-(V+Hi)) et GS =
l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
De même on a pour les triangles OGS et OOS les mêmes
rapports que dans le cas où
T < pi/2 + dg doù même deuxième valeur de GS et on
retrouve la même formule
tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / (sin (f-j) sin H cos V
sin f cos (dg-H))
- Calcul de x et y de P'.
- Calcul de j.
BBB ==>BBB = SBO =
pi-(pi-(pi/2-dg)+pi-T) = T-dg-pi/2 (AOB = T et AOG = pi-H)
BB sin BBB = BB = AL =
l sin f tg i et BB = l sin f tg i / - cos (T-dg)
KBB ==> tg j = KB / BB = l
sin f / BB = - cos (T-dg) / tg i
- Calcul de U.
BK sin j = BK et BK = l sin f / sin
j
BBK ==> BK = BK sin
U et
sin U = BK / BK = (l sin f / cos i) / (l
sin f / sin j) = sin j / cos i
- Valeur de OG et GP'.
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j)) = OB
/ sin (h-j)
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg)) = OB / cos dg = OS / sin SBO =
OS / - cos (T-dg)
OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = l sin (f-j) cos dg / - cos
(T-dg) sin j
BP' = OB sin h / sin (h-j) = l sin (f-j) cos dg sin h / -
cos (T-dg) sin j sin (h-j) OGS ==>
OG / sin V = GS / sin Hi et OG = GS sin V / sin Hi
OG = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V+Hi) sin Hi = l sin
f sin V / sin j sin (V+Hi) BGP' ==>
BGP' = OGS = pi-(V+Hi)
BP' / sin (pi-(V+Hi)) = BP' / sin (V+Hi) = GP' / sin U et GP' =
BP' sin U / sin (V+Hi)
GP'= l sin (f-j) cos dg sin h sin U / - cos (T-dg) sin j sin
(V+Hi) sin (h-j)
OP' = OG GP'
xP = OP'sin Hi yP'(o) = OP' cos Hi à
partir de O yP'(s) = OS yP'(o) à partir
de S
Mêmes considérations h > RT pour l'ensoleillement du cadran.
Ici on a tg RT = (1/tg i) * (-cos (T- dg)) (même configuration
que les j > f) (RT=J')
d) Cas où T > pi/2 + dg et H = pi/2 +dg. Cest ce que
montre la figure 13 c.
Nous avons ici la même ligne horaire que pour le cas précédent
(H=pi/2-dg).
Cest lintersection du cercle horaire avec
lhorizon dans la même direction que lorientation du
cadran.
Un rayon solaire dans son azimutal perce cette ligne en P'.
fig 34
P' et K sont confondus.
AOB ==>AB/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2+dg)
= AO / - cos (T- dg)
AB = OP' = xP'(o) = l cos f sin T / - cos (T- dg)
ici yP' = 0 et Hi = pi V
condition d'éclairement: tg RT = (1/tg i) * (-cos (TT+ dg))
e) - Cas où T > pi/2+dg et H > pi/2+dg. Cest le cas
de la figure 13 d.
fig 35
j, V et OS sont connus.
1)- Calcul de tg Hi
Ici Hi est le supplément de GOS.
Sur le plan de lincliné la trace de coupe de
lazimutal se fait en BK .
La trace du cercle horaire se fait en GO et ses deux traces
se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Si nous menons la perpendiculaire P'Z sur QQ nous
remarquons que dans ZP'B rectangle en Z on a
ZP'B = pi/2-U et que dans ZP'G on a ZP'G = pi/2-ZGV.
Or ZP'B < ZP'G et pi/2-U < pi/2-ZGP' <=> U > ZGP'
et GP' passant par O de lhorizontale KO
et
BP' par K à lest de O sur cette même
horizontale <=> lintersection de BP' et de GP' a lieu
sous cette horizontale.
OAS ==> OS = l sin f / sin j ; OGS ==> GS
/ sin (pi-Hi) = OS / sin (pi-(pi-Hi + pi-V)) = OS /
sin (Hi+V-pi) et
GS = l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)
OOS ==> OO / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS
/ sin(f-j) (AOO = f)
et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-dg)) = OS /
sin (dg+H-pi/2) = OS / -cos (dg+H) et
GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi /
- sin j sin (Hi+V) doù
-sin Hi sin f cos (dg+H) = - sin H sin (Hi+V) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut
écrire
A sin Hi = B sin (Hi+V) = B sin Hi cos V + B sin V cos Hi et en
divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi (A - B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs
valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) - sin (f-j) sin
H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon
BK et lincliné selon BK.
De même le rayon solaire passant par O frappe lincliné en
P' à lintersection du cercle horaire OGO et de
lazimutal correspondant BBK.
BK fait avec BB un angle j et avec QQ un
angle U.
-Calcul de j.
SBO = BBB = pi-(pi-T+pi-(pi/2-dg)) = T-dg-pi/2
BBB rectangle en B ==> BB
sin BBB = BB = AL = l sin f
tg i et BB = l sin f tg i / -cos (T-dg)
KBB rectangle en B ==> tg j =
BK / BB = l sin f / BB = - cos (T-dg) /
tg i (RT=J')
-Calcul de U.
KB = BK sin j et BK = l sin f / sin
j
BBK rectangle en B
(BKB dièdre de lincliné et du
cadran vertical origine) ==>
BK = BK sin U = BK / cos i
= l sin f / cos i et
Sin U = BK / BK = (l sin f / cos i) / (l
sin f / sin j) Sin U = sin j / cos i
-Calcul de OP' ( = GP'-OG).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j+pi-h)) = OB
/ sin (h-j) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg)) = OB / cos dg = OS / sin
(pi-(pi-(pi/2-dg)+pi-T)) = OS / - cos (T-dg)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos
(T-dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j) = - l sin (f-j) cos dg sin h /
sin (h-j) sin j cos (T-dg) OGS ==>
OG / sin (pi-V) = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (dg+H) sin j ) / sin Hi et
OG = - l sin V sin(f-j) sin H / cos (dg+H) sin j sin Hi En
prenant lautre valeur de GS on obtient
OG / sin V = (l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)) / sin Hi
et OG = l sin f sin V / - sin j sin (Hi+V)
BGP'==> BGP' = SGO = pi-(pi-V+pi-Hi) = Hi+V-pi
BP' / sin (Hi+V-pi) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin
(Hi+V-pi) = BP' sin U / - sin (Hi+V)
GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h-j) sin j cos
(T-dg) sin (Hi+V)
OP' = GP'-OG
Puis xP' = OP' sin (pi-Hi)
yP'(o) = OP' cos (pi-Hi) en partant de O
yP'(s) = O S + yP'(o) en partant de S (on a vu que
OS = l sin f / sin j)
Ici Hi est constamment > pi/2 car langle compris entre
OS et lhorizontale est déjà > pi/2 et on a vu
que
OP'se situait sous lhorizontale.
Sur SO les points C se trouveront donc toujours sous
O.
Rappelons que les équations des iDWLW et iDELE sont semblables
de même que celles des iDWLE et iDELW.
Ensoleillement quand h > RT
(RT=J')
fig 36
__________________________________________________(RT=J')
Lorsque h = Rt on tire t heure de disparition du soleil sur le
cadran
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = PN - MN = f - j doù intervalle dm =
pi/ 2 (f - j) et dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions
disparitions seront comprises entre dm et dm.
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes. Donc entrer une autre
déclinaison d.
La méthode développée ci-dessus pour
connaître R1 et R2 aboutit à la relation
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0
et on posera
A = cos d, B = tg (f-j) et C = -tg (f j) / tg R pour les
IDw IDE j < f
fig 37
10 juillet 2021
Longitude -2.6591° est latitude 43.2753° nord
déclinaison gnomonique 33.207° vers l'ouest
inclinaison 65.639° déclinaison solaire 22.16°
équation du temps -5' 13''
L'ombre du bout stylaire (découpe dans du carton) suit
parfaitement l'arc diurne calculé.
heure civile 12h 46' heure solaire locale 10h 51'
Construction d'un gabarit le 18 8 2021 pour vérification avant la construction d'un cadran sur pierre:
Construction du support incliné
Pose du style en carton sur gabarit en bois
Il est 17h 58' à la montre. Le cadran montre 16h 5' ce 18 août ce qui est conforme à l'heure exacte.
Le bout du style en carton suit parfaitement l'arc diurne du 18 août.
Caractéristiques du cadran:
latitude 43.2753° nord
longitude -2.6591° est
déclinaison gnomonique 67.485° sud ouest
inclinaison vers le sud: 67.27°
équation du temps ce 18 8 2021: - 3'48''
déclinaison solaire: 12.933°
Le 27août un analemmatique déclinant incliné est inséré dans la gabarit avant la construction du cadran définitif.
Les deux cadrans marquent la même heure solaire justifiant la justesse des calculs:
installé le 11 9 2021 à Azille
Nous allons maintenant voir dans le chapitre 3 le cas des
inclinés inclinants c'est-à-dire face tournée vers le nord.