Les cadrans solaires inclinés (suite)

Jean Pakhomoff

 

Chapitre 2


Les cadrans iDW et iDE angle j inférieur à la latitude f (j < f)
Les conventions adoptées pour la première partie sont également retenues ici.

I – Cas de figure de l’iDWLW (incliné déclinant ouest lignes ouest).


fig 21

Nous faisons pivoter le cadran primitif dans le plan du 1er vertical d'une déclinaison gnomonique égale à dg vers l'ouest.
Puis nous inclinons ce plan d'un angle i de façon à ce que l'axe du monde, style de notre cadran, sorte vers le haut au dessus

du plan du cadran (j<f).
Nous choisissons, pour la commodité du dessin, cet angle i de façon à ce que le point S, point de rencontre de la ligne de XII heures

(trace de l'intersection du cadran avec le plan méridien) soit sur le point M intersection du plan du cadran avec la méridienne sur la

sphère origine. (On a fait glisser S sur AO de A en S). Soit le soleil d'angle horaire t donnant sur l'horizon un angle horaire tabulaire H

et un angle azimutal T. Le cercle horaire passant par OO' vient couper le plan du cadran incliné enOGO',

G se trouvant sur l'horizontale QQ' passant par S.

De même le plan azimutal B'OB passant par O coupe le plan du cadran selon B'B et le rayon solaire intersection des 3 plans cadran,

cercle horaire et cercle azimutal vient frapper le cadran en P' intersection de O'G et de B'B.
D'où Hi angle horaire tabulaire, puis x et y que nous allons maintenant calculer.

Etude du style.

On incline le vertical origine DO’D’ d’un angle i en le faisant basculer en QO’Q’

sur l’horizontale passant par O’K.

Fig 22

Le style OO’ de longueur l sort vers le ciel sur ce mur incliné comme une pyramide et comme dans le cas précédent

prenons la configuration du déclinant ouest en commençant d’abord par les lignes ouest du matin.
Sur la figure 9 est représenté un cadran incliné déclinant d’un angle d (déclinaison gnomonique du cadran) vers l’ouest.

OO’ axe du monde et style du cadran. A projection de O sur le cadran vertical origine dans le plan méridien.
Le style principal est alors OAO’ où O’OA est l’angle égal à la latitude f.

O’’ projection orthogonale de O sur le cadran vertical origine et K projection de O’’ sur l’horizontale passant par O’ et

commune au plan du cadran vertical origine PO’P’ et au plan de l'incliné O’QQ’.
Soit PP’ l’horizontale passant par A et O''.

Faisons pivoter d’un angle i le cadran vertical DO’D’ autour de O’K.

On obtient alors le plan QO’Q’ de notre cadran incliné, la droite QQ’ étant l’horizontale de QO’Q’ balayant la droite horizontale OA.

QQ’ coupe le prolongement de OA en S.
O’S est alors la ligne de coupe du plan méridien sur QO’Q’, autrement dit la ligne de XII heures.

Soit T’ l’intersection du prolongement de OO’’ avec QQ’.
OO’’ perpendiculaire à DO’D’ est perpendiculaire à toutes les droites de ce plan et en particulier à la verticale KO’’ et à

l’horizontale DD’ puis à QQ’ parallèle à DD’ dans le plan horizontal QDD’Q’ (contenant les horizontales DD’ et AS).
Le triangle KO’’T’ rectangle en O’’ perpendiculaire aux parallèles DD’ de DOD’ et QQ’ de QOQ’ est le dièdre d’angle i de ces 2 plans.
La projection de A sur QQ’ se fait en L et donne le dièdre AO’L d’angle i.

ALS rectangle en L permet d’écrire AL = AS cos dg et le dièdre O’AL rectangle en A donne AL / O’A = tg i d’où

AL = l sin f tg i = AS cos dg et
AS = l sin f tg i / cos dg O’L cos i = O’A et O’L = l sin f / cos i Calculons les angles O’SA = j et O’SL = V.
O’AS rectangle en A donne tg j = O’A / AS = cos dg / tg i

ALS et O’LS rectangles en L (O’AL dièdre parallèle au plan KO’’T’) donnent LS = AS sin dg = l sin f tg i tg dg
O’L / LS = tg V et tg V = (l sin f / cos i) / l sin f tg i tg dg = 1 / sin i tg dg

On aura de même O’S sin V = O’L et O’S = l sin f / cos i sin V

Remarquons que dans ASO’ , O’S = l sin f / sin j et qu’en comparant les 2 valeurs de O’S on conclut que sin j = cos i sin V et donc

sin V = sin j / cos i
O’S, ligne de XII heures, fait dans le plan méridien un angle j avec l’horizontale passant par S dans ce plan méridien et un angle V

avec l’horizontale passant par S dans le plan de l’incliné QO’Q’.
Par commodité de construction on se servira d’un style secondaire OO’T perpendiculaire au cadran incliné que nous allons

maintenant calculer.
Dans le dièdre O’’KT’ vu ci-dessus abaissons une perpendiculaire de O sur le plan O’QQ’. Elle coupe T’K en T.
On obtient alors le triangle OTO’ rectangle en T puisque OT est perpendiculaire à QO’Q’ et donc à toutes les droites de ce plan

et en particulier à O’T.
On a O’’T’ / O’’K = tg i et

O’’T’ = O’’K tg i = O’A tg i = l sin f tg i

OT’ = O’’T’ – OO’’ = l sin f tg i – l cos f cos dg
TT’ = OT’ sin i = l sin f tg i sin i – l cos f cos dg sin i
KT’O = pi/2 – i = OT’T d’où TOT’ = i
OT = OT’ cos I = l sin f tg i cos i – l cos f cos dg cos i

= l sin f sin i - l cos f cos dg cos i

TT’ = OT’ sin i = l sin f tg i sin i – l cos f cos dg sin i = l sin i (sin f tg i – cos f cos dg)

KT’ cos i = KO’’ = O’A = l sin f et KT’ = l sin f / cos i Et KT = KT’ - TT’
Donc connaissant KT on peut positionner T sur la ligne de plus grande pente située à la distance

O’K = AO’’ = LT' = l cos f sin dg de la ligne de plus grande pente O’L. Il ne nous reste plus qu’à calculer O’T

pour construire notre style secondaire O’TO.
OO’ ² = l ² = OT ² + O’T ² et O’T = SQR ( l ² - OT ² )

La relation est identique à celle du cas précédent (style vers le bas j>f)

Pour faciliter le tracé et au titre de vérification on pourra encore calculer SL et ST':

Dans SLA on a SL / LA = tg dg LA / OA = tg i et LA = l sin f tg i alors

SL = l sin f tg i tg dg ST' = SL – T'L= SL – AO''


A propos de la sous-stylaire:

La sous-stylaire est la projection de l'axe du monde sur le plan du cadran. Ici c'est

O'T projection de O'O. On peut rechercher la valeur de SO'T qui nous donnera l'angle horaire

correspondant à la sous-stylaire.

tg KTO' = O'K / KT puis TO'K = pi/2 – KTO' et SO'T = TO'K – V

KT = KT' – TT' O'K = AO'' toutes ces valeurs sont connues (voir ci-dessus)

On identifie alors SO'T avec l'angle tabulaire Hi dont la valeur

tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f-j) sin H cos V) est étudiée ci-dessous.

Après simplifications et en tenant compte que tg H = sin f tg t

il vient tg t = cos dg / ((sin (f – j) sin V / tg Hi) + sin f sin dg – sin (f – j) cos V)

Un raisonnement semblable permet de retrouver les angles horaires correspondant aux

sous-stylaires dans les autres cas de cadrans inclinés.

Par exemple pour le cadran construit à Azille (11) on a:

latitude 43.2753°, déclinaison gnomonique = 67.485°, inclinaison = 67.27°

V = 24.200° j = 9.11344°, KTO' = 52.18416° TO'K = 37.81583° et

SO'T = Hi = 13.6155° d'où t = 19.831° ce qui correspond à 19.831/15 = 13h 19'

La sous-stylaire se projette sur 13h 19'.

La sous stylaire est, comme pour les cadrans verticaux, perpendiculaire à l'équinoxiale.

La figure 22a montre cela.



fig 22a

On retrouve le cadran solaire O'AO, la projection de O en T sur le plan du cadran.

O'T la sous-stylaire et l'hémi cercle horaire PPcPs contenant cette sous-stylaire.

L'équinoxiale QQ' trace de l'intersection de l'équateur céleste avec le plan du

cadran incliné SZ'QU'S'Z''Q'Uw.

Tous les cercles horaires étant perpendiculaires à l'équateur céleste leurs traces sur

le plan du cadran le seront entre elles lorsque le cercle horaire est en même temps

perpendiculaire au plan du cadran.

Pour tracer l'équinoxiale, à défaut de la calculer point par point, on pourra calculer

simplement la quantité O'A. A étant le point d'impact du rayon solaire passant par O

le jour de l'équinoxe avec la ligne de XII heures SS'. Par A on mènera alors une

perpendiculaire sur la sous-stylaire précédemment calculée coupant en A' celle-ci.

Coordonnées x et y du point C intersection d’un rayon solaire avec le plan

de l’incliné déclinant (j<f).
Lignes du matin pour l’iDWLW.

fig23

a)- Calcul de l’angle horaire tabulaire Hi.

On retrouve les mêmes éléments donnant des triangles de même appellation que dans la première partie de l’étude.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j

O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(Hi + pi-V) = O’S / sin (V-Hi) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f) et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(H+pi-(pi/2-dg))) = OS / sin (pi/2-(dg+H))

= OS / cos (dg+H)

et GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) d’où

sin Hi sin f cos (dg+H) = sin H sin (V-Hi) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire

A sin Hi = B sin (V-Hi) = B sin V cos Hi – B sin Hi cos V et en divisant par cos Hi
on obtient A tg Hi = B sin V – B cos V tg Hi
tg Hi (A + B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) + sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en V à l’intersection du cercle horaire OGO’ et de

l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.

-Calcul de j’.

SBO = B'’BB’ = pi/2-(dg+T)

B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’

= l sin f tg i / cos (dg+T)

K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / B'B = cos (dg+T) / tg i

- Calcul de U.

K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’

BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine BO’B’) ==>

B’’K’ = K’B sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
sin U = B’’K’ / K’B = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) et sin U = sin j’ / cos i

- Calcul de O’P' (O’G –P'G).

OBP' ==> BP' / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2+dg+T))

= OS / cos (dg+T)

d’où OB = OS cos d / cos (dg+T) = l sin (f-j) cos d / sin j cos (dg+T)

BP' = OB sin h / sin (h+j’) = l sin (f-j) cos dg sin h / sin j sin (h+j’) cos (dg+T) O’GS ==>

O’G / sin (pi-V) = GS / sin Hi = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) / sin Hi

( Rappel: GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) ) et

O'G = l sin V sin (f-j) sin H / sin j cos (dg+H) sin Hi
En prenant l’autre valeur de GS on a

O’G = l sin V sin f sin Hi / sin j sin (V-Hi) sin Hi = l sin V sin f / sin j sin (V-Hi)

SGO’ = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi

BGP' ==> BGP' = pi-(V-Hi) et BP'G = pi-(U+pi-(V-Hi)) = V-Hi-U

BP' / sin (pi-(V-Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V-Hi) d’où

GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin j sin (h+j’) cos (dg+T) sin (V-Hi)

et O’P' = O’G-GP'

On aura ici à partir de O’ sur la ligne de XII heures et vers le haut : xP' = P'C = O’P' sin Hi
yP'(o’) = O’C = O’P' cos Hi

A partir de S vers O’ on a yP'(s) = O’S – yP'(o’)

Lorsque le soleil se trouve dans le plan méridien le point P' se trouve sur O'S (ligne de XII heures) (fig 23a).


fig 23a
SOO' ==> OO'S = pi - (j + pi - f) = f - j
Dans OO'P' on a OP'O' = pi - (OO'S + P'OO') = pi - (f - j + pi - f - h) = j + h
sin (j + h) / OO' = sin (pi - f - h) / O'P' et O'P' = y = l sin (f+h) / sin (j + h)
Même relation que pour les j > f donnant la position du point de midi pour les arcs diurnes.

cas particuliers.
1)- Le soleil est dans le plan du cadran vertical origine (T = pi/2-d).
Hi ne change pas.


fig 24

On fait passer par O un plan vertical ZOZ' parallèle à ce cadran vertical origine AO'KO''.

ZZ' est l'intersection de ce plan avec l'incliné. Par O on abaisse dans le plan méridien la perpendiculaire à ZZ'

coupant la ligne de 12 h en T''.
On a OS = AS – OA = l sin f / tg j - l cos f

On remarque que OT'' / OS = tg j et OT'' = OS tg j = l sin f - l cos f tg j
O'S = O'A / sin j = l sin f / sin j ST'' = OS / cos j = l sin f /sin j – l cos f / cos j O'T'' =

O'S – ST'' = l sin f / sin j - (l sin f /sin j – l cos f / cos j) et
O'T'' = l cos f / cos j

P'T''O' permet d'écrire sin P'T''O' / O'P' = sin T''P'O' / O'T'' ou

sin (pi – V) / O'P' = sin (pi – (pi – V + Hi) / O'T''

et O'P' = sin V O'T'' / sin (V – Hi) = l sin V cos f / (sin (V - Hi) cos j)

Puis x = O'P' sin Hi, y (O') = O'P' cos Hi et y (S) = O'S – y
(O'S = l sin f / sin j)
2)- Le soleil est derrière le cadran vertical origine (T>pi/2-dg)
- Cas où H angle tabulaire horizontal est < pi/2 - dg.


fig 25

Le vertical azimutal d’angle tabulaire T coupe l’incliné selon BK’ et le
vertical origine selon B’K’.
Le cercle horaire OGO’ d’angle t et d’angle tabulaire H coupe l’incliné selon GO’ et le rayon solaire passant par O

et commun à ces deux plans passe par leur intersection
en P' avec l’incliné. Le cadran est éclairé si la hauteur h du soleil est supérieure à j’.
Il n’y a pas de changement pour le calcul de tg Hi.
Dans SOB on a BSO = pi/2-dg; SOB = pi-T; SBO = dg+T-pi/2 = B’BB’’
B’BB’’ rectangle en B’’ (dièdre K’B’B’’) ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ =

AL = l sin f tg i sin (dg+T-pi/2) = -cos(dg+T) et BB’ = l sin f tg i / -cos(dg+T)
K’B’B ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / (l sin f tg i / -cos(dg+T))
= - cos(dg+T) / tgi (RT = J')
K’B’ = K’B sin j’ et K’B = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i Calcul de O’P' (= O’G-P'G)
OBP'==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’) et BP' = OB sin h / sin (h-j’) OBS ==>

OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos d = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-T))
= OS / sin (dg+T-pi/2) et
OB = OS cos dg / - cos (dg+T) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos (dg+T) et

BP' = - l sin (f-j) cos dg sin h / sin j sin (h-j’) cos (dg+T)
O’G a la même valeur que dans le cas où T<pi/2-d et on prendra O’G = l sin V sin f / sin j sin (V-Hi)
BGP'==> BGP' = SGO = pi-(pi-V+Hi) = V-Hi
BP'/ sin (V-Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V-Hi)
GP' = - l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin j sin (h-j’) cos (dg+T) sin (V-Hi)
D’où O’P' = O’G-P'G et
xP'(o’) = P'C = O’P' sin Hi
yP'(o’) = O’P' cos Hi

yP'(s) = O’S – yP'(o’)
Le cadran est éclairé si h > RT.
On retrouve la relation tg RT = (1/tg i) * (- cos (T+dg) (RT = J')

Le cadran incliné construit à Azille (11) entre dans ce cas de figure pour la recherche des
azimuts permetant de connaître la direction de la Mecque et de Marseille à partir de la
position du soleil sur le lieu du cadran. Nous étudions cela dans un travail à part:

Indication de la direction de la Mecque et de Marseille par le cadran solaire incliné et déclinant d'Azille


a) Cas où H = pi/2-d

Nous avons étudié ce cas dans la première partie où j > f.

On a vu que la ligne horaire tabulaire est l’horizontale passant par O’ sur le cadran.

Mais ici le cadran , si h>RT , peut être éclairé car le soleil peut être au-dessus du cadran.


Fig 26
AOB’ ==>AB’ / sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2-dg) = AO / - cos (T+dg) AB’ = O’P' =

xP'(o’) = l cos f sin T / - cos (T+dg)
Ici yP' = 0 et Hi = V

c)- Cas où H>pi/2-d.

Dans le cas de figure de l’incliné déclinant où le style sort du plan vers la terre on a vu que le soleil,

ne pouvait être devant le plan du cadran car les intersections du vertical azimutal avec le cercle horaire

se faisaient derrière le plan du cadran.
Mais comme nous venons de le voir, ici, ces intersections peuvent avoir lieu au-dessus du plan de l’incliné

et celui-ci sera alors éclairé par le rayon de soleil correspondant.
Ceci tant que h>RT. Voyons la figure



fig 27

1)- Calcul de tg Hi

Ici Hi est le supplément de GO’S. Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Menons la perpendiculaire P'Z sur QQ’ . Dans ZP'B rectangle en Z on a ZBP' = U et ZP'B = pi/2-U .

Dans ZP'G on a ZP'G = pi/2-ZGP'.
Or ZP'B < ZP'G et pi/2-U < pi/2-ZGP' <=> U > ZGP'. GP' passant par O’ de l’horizontale K’O’ et BP' par K’

à l’ouest de O’ sur cette même horizontale <=> l’intersection de BP' et de GP' a lieu sous cette horizontale.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + V)) = O’S / sin (Hi-V) et

GS = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f) et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-d)) = OS / sin (dg+H-pi/2)
= OS / -cos (dg+H)
et GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V) d’où
-sin Hi sin f cos (dg+H) = sin H sin (Hi-V) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire
-A sin Hi = B sin (Hi – V) = B sin Hi cos V – B sin V cos Hi
-A tg Hi = B tg Hi cos V – B sin V
A tg Hi +B tg Hi cos V = B sin V
tg Hi ( A + B cos V ) = B sin V tg Hi = B sin V / A + B cos V
tg Hi = sin (f – j) sin H sin V / (sin f cos (dg + H) + sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de P'.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’ incliné selon BK’.

De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en P' à l’intersection du cercle horaire OGO’ et de

l’azimutal correspondant B’BK’. BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.


-Calcul de j’.
SBO = B’BB’’ = pi-(pi-T+pi/2-dg) = T+dg-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (dg+T)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / BB' = l sin f / BB’ = - cos (dg+T) / tg i RT=J'
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'- O’G).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.

OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2-dg+pi-T)) = OS / - cos (dg+T)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos dg / - cos (dg+T) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos (dg+T)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = - l sin (f-j) cos dg sin h / sin (h-j’) sin j cos (dg+T) O’GS ==>

O’G / sin V = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (dg+H) sin j) / sin Hi et
O’G = - l sin V sin(j-f) sin H / cos (dg+H) sin j sin Hi <=> En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / sin j sin (Hi-V)) / sin Hi et
O’G = l sin f sin V / sin j sin (Hi-V)
BGP' ==> BGP' = SGO’ = pi-(V+pi-Hi) = Hi-V et BP'G = pi-(pi-(Hi-V+pi-U) = Hi-V-U+pi
BP' / sin (Hi-V) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin (Hi-V) d’où

GP' = - l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (dg+T) sin (Hi-V) O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = O’P' sin Hi
yP'(o’) = O’P'cos Hi en partant de O’
yP'(s) = O’ S - yP'(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)

Lorsque Hi > pi/2 cos Hi <0 et yP’(o’) < 0 (à tracer vers le bas sur SO’).


c - Heures utiles du cadran


(RT = J') __________________________fig 28
On retrouve tg RT = (1/tg i)*(- cos (T + dg) et t à partir de RT = h comme vu précédemment

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à pi/2 – dm = PN - MN = f - j d’où

intervalle dm = pi/ 2 – (f - j) et – dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
Si i = pi/2 alors tg j = cos dg / tg i = 0 et j = 0. C’est le cas de l’incliné devenu horizon.
R balaie l’horizon de N en S. M vient en N et quand R est en N alors comme nous l’avons vu ci-dessus

PN = pi/2 – d = f d’où d = pi/2 – f
R en S’ correspondant à – d.

fig 29

On retrouve la relation classique donnant les déclinaisons limites des levers et couchers sur l’horizon f.

Au-delà de ces déclinaisons les astres n’apparaissent plus
sur cet horizon.
La méthode générale permettant de connaître les angles horaires d'apparition et de disparition aboutit à
cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0
et on pose A = cos d, B = tg (f - j) sin d et C = - tg (f - j) / tg R
on a alors A + B cos t + C sin t = 0 puis résolution de l'équation du second degré.

Nous allons maintenant voir le cas des iDWLE ou lignes horaires du soir.

(incliné déclinant ouest lignes est).

L’hémi-cadran vertical origine fait donc entre sa partie ouest et le plan méridien un angle égal à

pi/2+d vers le sud.


a)- Cas où T<pi/2+d et H<pi/2+d.


fig 30

a) Calcul de Hi.

On connaît O’S = l sin f / sin j. On a Hi = SO’G.

GSO’ ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(V+Hi)) = O’S / sin (V+Hi) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)
OGS ==> GS / sin H = OS / sin (pi-(pi/2-dg+H))

= OS / sin (pi/2 +dg-H) = OS / cos (dg-H) et GS = OS sin H / cos (dg-H)

OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi/2-j-(pi/2-f)) = OS / sin (f-j)
et OS = l sin (f-j) / sin j
GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg-H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) d’où

sin (f-j) sin H sin (V+Hi) = sin f sin Hi cos (dg-H)
sin(f-j) sin H (sin V cos Hi + cos V sin Hi) = sin f sin Hi cos (dg-H) divisons par cos Hi
sin (f-j) sin H (sin V + cos V tg Hi) = sin f tg Hi cos (dg-H)
sin (f-j) sin H sin V + sin (f-j) sin H cos V tg Hi = sin f tg Hi cos (dg-H)
tg Hi (sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (dg – H)) = - sin (f-j) sin H sin V
et tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / ((sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (dg – H))

b) coordonnées x et y de P'.

Calcul de j’.

B’’BB’==> B’’BB’ = SB0 = pi – (pi/2-dg+T) = pi/2 + (dg-T)



fig 31

B’’BB’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’’BB’ = B’’B’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / cos (dg-T)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / BB’ = cos (dg-T) / tg i

Calcul de U.

K’B’ = K’B sin j’ ==> K’B = l sin f / sin j’

BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et sin U = B’’K’ / BK’

B’K’ / cos i = B’’K’ = l sin f / cos i

et sin u = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i

- Calcul de O’P'.

OBS ==> OB / sin (pi/2-dg) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi/2-dg+T))
= OS / cos (dg-T) (SOB = T et BSO = pi/2 – dg)

OB = OS cos dg / cos (dg-T) = l sin (f-j) cos dg / sin j cos (dg-T) OBP' ==>

BP' / sin h = OB / sin (pi-(h+j’)) = OB / sin (h+j’)
BP' = OB sin h / sin (h+j’) = l sin (f-j) cos dg sin h / sin (h+j’) sin j cos (dg-T) O’GS ==>

O’G / sin V = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi
Nous avons vu ci-dessus que

GS = l sin (f-j) sin H / sin j cos (dg-H) = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi) donc

O’G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin Hi sin (V+Hi) = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi) BGP' ==>

BGP' = pi-O’GS = pi-(pi-(V+Hi)) = V+Hi
BP' / sin (V+Hi) = GP' / sin U ==> GP' = BP' sin U / sin (V+Hi)

GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h+j’) sin j cos (dg-T) sin (V+Hi) O’P' = O’G – GP'
xP' = O’P' sin Hi

yP'(o’) = O’P' cos Hi (de O’ vers S)

yP'(s) = O’S – yP'(o’) (de S vers O’)

b) – Cas où T = pi/2 + dg


fig 32


On retrouve le même plan azimutal que dans le cas précédent mais P' sur ZZ’ est
cette fois à l’est de la ligne de XII heures SO’.Pas de changement pour le calcul de Hi.

On connaît déjà O'T'' = l cos f / cos j

P'T''O' permet d'écrire sin P'T''O' / O'P' = sin T''P'O' / O'T'' ou sin (V) / O'P' = sin (pi – ( V + Hi) / O'T''
et O'P' = sin V O'T'' / sin (V + Hi) = l sin V cos f / sin (V + Hi) cos j Puis x = O'P' sin Hi,

y (O') = O'P' cos Hi et y (S) = O'S – y(O’)


c) – Cas où T > pi/2+dg et H < pi/2+dg. (Fig 13b). Le cadran est éclairé si h>RT

Calcul de tg Hi. j, V et O’S sont connus.



Fig 33
O’GS ==> GS / sin Hi = O’S / sin (pi-(V+Hi)) et GS = l sin f sin Hi / sin j sin (V+Hi)

De même on a pour les triangles OGS et OO’S les mêmes rapports que dans le cas où
T < pi/2 + dg d’où même deuxième valeur de GS et on retrouve la même formule
tg Hi = - sin (f-j) sin H sin V / (sin (f-j) sin H cos V – sin f cos (dg-H))
- Calcul de x et y de P'.
- Calcul de j’.
B’BB’’ ==>B’BB’’ = SBO = pi-(pi-(pi/2-dg)+pi-T) = T-dg-pi/2 (AOB = T et AOG = pi-H)
BB’ sin B’BB’’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / - cos (T-dg)
K’B’B ==> tg j’ = K’B’ / B’B = l sin f / B’B = - cos (T-dg) / tg i
- Calcul de U.
BK’ sin j’ = B’K’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ ==> B’’K’ = BK’ sin U et
sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) = sin j’ / cos i
- Valeur de O’G et GP'.
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(pi-h+j’)) = OB / sin (h-j’)
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg)) = OB / cos dg = OS / sin SBO = OS / - cos (T-dg)

OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = l sin (f-j) cos dg / - cos (T-dg) sin j
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = l sin (f-j) cos dg sin h / - cos (T-dg) sin j sin (h-j’) O’GS ==>

O’G / sin V = GS / sin Hi et O’G = GS sin V / sin Hi
O’G = l sin f sin Hi sin V / sin j sin (V+Hi) sin Hi = l sin f sin V / sin j sin (V+Hi) BGP' ==>

BGP' = O’GS = pi-(V+Hi)
BP' / sin (pi-(V+Hi)) = BP' / sin (V+Hi) = GP' / sin U et GP' = BP' sin U / sin (V+Hi)

GP'= l sin (f-j) cos dg sin h sin U / - cos (T-dg) sin j sin (V+Hi) sin (h-j’)
O’P' = O’G – GP'
xP’ = O’P'sin Hi yP'(o’) = O’P' cos Hi à partir de O’ yP'(s) = O’S – yP'(o’) à partir de S
Mêmes considérations h > RT pour l'ensoleillement du cadran.
Ici on a tg RT = (1/tg i) * (-cos (T- dg)) (même configuration que les j > f) (RT=J')

d) Cas où T > pi/2 + dg et H = pi/2 +dg. C’est ce que montre la figure 13 c.
Nous avons ici la même ligne horaire que pour le cas précédent (H=pi/2-dg).
C’est l’intersection du cercle horaire avec l’horizon dans la même direction que l’orientation du cadran.

Un rayon solaire dans son azimutal perce cette ligne en P'.


fig 34

P' et K’ sont confondus.

AOB’ ==>AB’/sin (pi-T) = AO / sin (pi-(pi-T+pi/2+dg) = AO / - cos (T- dg)

AB’ = O’P' = xP'(o’) = l cos f sin T / - cos (T- dg)

ici yP' = 0 et Hi = pi – V
condition d'éclairement: tg RT = (1/tg i) * (-cos (TT+ dg))


e) - Cas où T > pi/2+dg et H > pi/2+dg. C’est le cas de la figure 13 d.


fig 35

j, V et O’S sont connus.

1)- Calcul de tg Hi
Ici Hi est le supplément de GO’S.
Sur le plan de l’incliné la trace de coupe de l’azimutal se fait en BK’ .
La trace du cercle horaire se fait en GO’ et ses deux traces se coupent en P' par où passe le rayon solaire OP'.
Si nous menons la perpendiculaire P'Z sur QQ’ nous remarquons que dans ZP'B rectangle en Z on a

ZP'B = pi/2-U et que dans ZP'G on a ZP'G = pi/2-ZGV.
Or ZP'B < ZP'G et pi/2-U < pi/2-ZGP' <=> U > ZGP' et GP' passant par O’ de l’horizontale K’O’ et

BP' par K’ à l’est de O’ sur cette même horizontale <=> l’intersection de BP' et de GP' a lieu sous cette horizontale.
O’AS ==> O’S = l sin f / sin j ; O’GS ==> GS / sin (pi-Hi) = O’S / sin (pi-(pi-Hi + pi-V)) = O’S / sin (Hi+V-pi) et

GS = l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)
OO’S ==> OO’ / sin j = OS / sin (pi-(j+(pi-f)) = OS / sin(f-j) (AOO’ = f)
et OS = l sin (f-j) / sin j
OGS ==> GS / sin (pi-H) = OS / sin (pi-(pi-H+pi/2-dg)) = OS / sin (dg+H-pi/2) = OS / -cos (dg+H) et

GS = l sin (f-j) sin H / -sin j cos (dg+H) = l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V) d’où
-sin Hi sin f cos (dg+H) = - sin H sin (Hi+V) sin (f-j)
Posons sin f cos (dg+H) = A et sin (f-j) sin H = B on peut écrire
A sin Hi = B sin (Hi+V) = B sin Hi cos V + B sin V cos Hi et en divisant par cos Hi on obtient
A tg Hi = B sin V + B cos V tg Hi
tg Hi (A - B cos V) = B sin V et en remplaçant A et B par leurs valeurs:
tg Hi = sin (f-j) sin H sin V / (sin f cos (dg+H) - sin (f-j) sin H cos V)
b)- Coordonnées x et y de V.
Le vertical azimutal coupe le cadran vertical origine selon B’K’ et l’incliné selon BK’.
De même le rayon solaire passant par O frappe l’incliné en P' à l’intersection du cercle horaire OGO’ et de

l’azimutal correspondant B’BK’.
BK’ fait avec BB’ un angle j’ et avec QQ’ un angle U.
-Calcul de j’.
SBO = B’’BB’ = pi-(pi-T+pi-(pi/2-dg)) = T-dg-pi/2
B’BB’’ rectangle en B’’ ==> BB’ sin B’’BB’ = B’B’’ = AL = l sin f tg i et BB’ = l sin f tg i / -cos (T-dg)
K’B’B rectangle en B’ ==> tg j’ = B’K’ / B’B = l sin f / BB’ = - cos (T-dg) / tg i (RT=J')
-Calcul de U.
K’B’ = BK’ sin j’ et BK’ = l sin f / sin j’
BB’’K’ rectangle en B’’ (B’K’B’’ dièdre de l’incliné et du cadran vertical origine) ==>

B’’K’ = BK’ sin U = B’K’ / cos i = l sin f / cos i et
Sin U = B’’K’ / BK’ = (l sin f / cos i) / (l sin f / sin j’) Sin U = sin j’ / cos i
-Calcul de O’P' ( = GP'-O’G).
OBP' ==> BP' / sin (pi-h) = OB / sin (pi-(j’+pi-h)) = OB / sin (h-j’) où h est la hauteur du soleil.
OBS ==> OB / sin (pi-(pi/2-dg)) = OB / cos dg = OS / sin (pi-(pi-(pi/2-dg)+pi-T)) = OS / - cos (T-dg)
= BS / sin (pi-T)
OB = OS cos dg / - cos (T-dg) = - l sin (f-j) cos dg / sin j cos (T-dg)
BP' = OB sin h / sin (h-j’) = - l sin (f-j) cos dg sin h / sin (h-j’) sin j cos (T-dg) O’GS ==>

O’G / sin (pi-V) = GS / sin (pi-Hi) =
(l sin (f-j) sin H / - cos (dg+H) sin j ) / sin Hi et
O’G = - l sin V sin(f-j) sin H / cos (dg+H) sin j sin Hi En prenant l’autre valeur de GS on obtient
O’G / sin V = (l sin f sin Hi / - sin j sin (Hi+V)) / sin Hi et O’G = l sin f sin V / - sin j sin (Hi+V)
BGP'==> BGP' = SGO’ = pi-(pi-V+pi-Hi) = Hi+V-pi
BP' / sin (Hi+V-pi) = GP' / sin (pi-U) et GP' = BP' sin U / sin (Hi+V-pi) = BP' sin U / - sin (Hi+V)
GP' = l sin (f-j) cos dg sin h sin U / sin (h-j’) sin j cos (T-dg) sin (Hi+V)
O’P' = GP'-O’G
Puis xP' = O’P' sin (pi-Hi)
yP'(o’) = O’P' cos (pi-Hi) en partant de O’
yP'(s) = O’ S + yP'(o’) en partant de S (on a vu que O’S = l sin f / sin j)
Ici Hi est constamment > pi/2 car l’angle compris entre O’S et l’horizontale est déjà > pi/2 et on a vu que

O’P'se situait sous l’horizontale.
Sur SO’ les points C se trouveront donc toujours sous O’.
Rappelons que les équations des iDWLW et iDELE sont semblables de même que celles des iDWLE et iDELW.
Ensoleillement quand h > RT


(RT=J')


fig 36 __________________________________________________(RT=J')

Lorsque h = Rt on tire t heure de disparition du soleil sur le cadran

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = PN - MN = f - j d’où intervalle dm = pi/ 2 – (f - j) et – dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes. Donc entrer une autre déclinaison d.
La méthode développée ci-dessus pour connaître R1 et R2 aboutit à la relation

cos d + tg (f - j) sin d cos t - sin t tg (f - j) / tg R = 0 et on posera
A = cos d, B = tg (f-j) et C = -tg (f – j) / tg R pour les IDw IDE j < f



fig 37

10 juillet 2021
Longitude -2.6591° est latitude 43.2753° nord
déclinaison gnomonique 33.207° vers l'ouest
inclinaison 65.639° déclinaison solaire 22.16°
équation du temps -5' 13''
L'ombre du bout stylaire (découpe dans du carton) suit
parfaitement l'arc diurne calculé.
heure civile 12h 46' heure solaire locale 10h 51'

Construction d'un gabarit le 18 8 2021 pour vérification avant la construction d'un cadran sur pierre:

Construction du support incliné

Pose du style en carton sur gabarit en bois

Il est 17h 58' à la montre. Le cadran montre 16h 5' ce 18 août ce qui est conforme à l'heure exacte.

Le bout du style en carton suit parfaitement l'arc diurne du 18 août.

Caractéristiques du cadran:

latitude 43.2753° nord

longitude -2.6591° est

déclinaison gnomonique 67.485° sud ouest

inclinaison vers le sud: 67.27°

équation du temps ce 18 8 2021: - 3'48''

déclinaison solaire: 12.933°

Le 27août un analemmatique déclinant incliné est inséré dans la gabarit avant la construction du cadran définitif.

Les deux cadrans marquent la même heure solaire justifiant la justesse des calculs:

installé le 11 9 2021 à Azille


Nous allons maintenant voir dans le chapitre 3 le cas des inclinés inclinants c'est-à-dire face tournée vers le nord.

Suite chapitre 3

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Mes travaux personnels en gnomonique

Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff