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ETUDE DES CADRANS BIFILAIRES

PAR JEAN PAKHOMOFF GNOMONISTE A MARSEILLE

2è partie

 

 

D - Le bifilaire vertical déclinant.

Soit donc fig 8 un tel cadran. Je me suis servi de la figure 7 aprés avoir déporté la ligne est-ouest pour montrer la déclinaison du cadran. On a donc l'angle dg de la déclinaison gnomonique. Le cas de figure est celui d'un cadran déclinant ouest lignes est (DWLE lignes d'aprés-midi).

fig 8

1) coordonnées de P.

AC''C ===> AC'' / sin T = AC / sin (pi -(pi / 2 -dg +T))

= AC / sin (pi / 2 - (T - dg)) et x = P'P = AC'' = AC sin T / cos (T - dg)

AB''B ===> BB'' / sin (pi / 2 - dg) = AB / sin (pi - (pi / 2 -dg + T)

et BB'' = AB cos dg / cos (T - dg)

y = AP' = B'B'' = BB'' tg h et

y = AB cos dg tg h / cos (T - dg)

Les autres cas se résolvent pareillement et on obtient les mêmes formules pour les DELW (lignes du matin).

En ce qui concerne les DELE et DWLW, tous dessins et calculs faits, on obtient pour x et y les valeurs x = AC sin T / cos (T + dg)

et y = AB cos dg tg h / cos (T + dg)

La valeur de l'angle tabulaire est donnée par:

tg H' = P'P / P'D = x / (y + AD) = x / (y + AB tg f)

Lorsque le grand cercle horaire coupe l'horizon, nous avons vu que sa trace fait avec le méridien un angle AH donné par la relation tg AH = sin f tg t

Ce grand cercle coupe aussi le premier vertical (ou notre cadran plein sud) selon un angle H avec le plan méridien donné par la relation tg H = cos F tgt ou tg H = - cos f tg t lorsque le cadran est orienté au nord.

Lorsque le mur décline l'angle de coupe va varier et on a alors H' au lieu de T' dont on peut montrer ici la relation bien que cela soit inutile puisqu'on a H' par le calcul direct comme vu ci-dessus. Mais cela peut servir comme nous le verrons ci-dessous dans certains cas particuliers.

Examinons la figure 9.

fig 9

La ligne tabulaire AH correspond à H sur le vertical, à H' si dg rapproche le plan du cadran de l'axe méridien ou H'' si dg l'éloigne.

On a tg H = AP / AD ; tg H' = AQ / AD et tg H' / tg H = AQ / AP

AO = AP / tg AH

AOQ ===> AQ / sin AH = AO / sin (pi - (pi /2 - dg + AH)) <===>

AQ / sin AH = AO / sin (pi / 2 - (AH - dg)) = AO / cos (AH - dg)

AQ / AO = sin AH / cos (AH - dg) = AQ tg AH / AP = tg H' tg AH / tg H

tg H' = sin AH tg H / (cos (AH - dg) tg AH))

tg H' = cos AH tg H / cos (AH - dg)

Dans le cas des déclinants tg H = cos f tg t d'où

tg H' = cos f tg t cos AH / cos (AH - dg)

Si le mur décline en sens inverse (éloignement de l'axe méridien) on a, tous calculs faits, tg H' = cos f tg t cos AH / cos (AH +dg)

A l'équateur la formule se réduit à tg H' = tg t / cos dg car f et AH sont nuls et si dg l'est aussi on obtient des lignes horaires de 15 en 15° (tg H' = tg t).

 

2) - Cas particuliers.

a) Les basses latitudes.

On a vu que pour rendre le bifilaire équatorial on rabaissait la latitude du lieu. Lorsque le cadran se trouve déjà à une latitude basse les points B et C vont se rapprocher pour se confondre à l'équateur. En rendant AC < AB on obtient alors un nouveau cadran correspondant à une latitude plus élevée ce qui permet de plus écarter les fils (fig 10). On ne pourra obtenir des heures homogènes car f ' sera toujours > f.

Les calculs restent les mêmes. Il faudra seulement penser à faire passer le fil méridien en dessous du fil est ouest.

fig 10

AB''B===> AB'' / sin T = AB / cos (T - dg) et AB'' = AB sin T / cos (T - dg)

de même AC'' = AC sin T / cos (T - dg)

tg H = B'P' / DP' ; tg H' = PP' / DP' et tg H / tg H' = B'P' / PP' = AB'' / AC'' = (AB sin T / cos (T - dg)) / (AC sin T / cos (T - dg) = AB / AC =

cos f tg t / (cosf ' tg t) = cos f / cos f '

et tg H' = (AC / AB) tg H avec AC<AB

x = PP' = AC'' = AC sin T / cos (T - dg)

y = PC'' = B'B'' ; tg h = B'B'' / BB''

BB''/ sin (pi/2 - dg) = AB / cos (T - dg) ===> BB'' = AB cos dg / cos (T - dg) et y = AB cos dg tg h / cos (T - dg)

b) le bifilaire vertical déclinant à l'équateur.

Ici f = 0, AH = 0 et l'axe du monde est horizontal. Les pôles étant sur l'horizon les cercles horaires coupent tous ce dernier à son intersection avec le plan méridien. L'angle AH s'annule donc. En considérant sur la figure 11 les triangles déjà utilisés on peut retrouver les relations entre les angles H dépendant de B' et H' dépendant de P. On pourra faire ressortir une relation entre t, T et h.

fig 11

tg H = P'B' / AP' = AB'' / B'B''

AB'' / sin T = AB / sin (pi/2 - (T - dg)) et AB'' = AB sin T / cos (T - dg)

B'B'' / BB'' = tg h ; BB'' / sin (pi/2 - dg) = AB / sin (pi/2 - (T - dg))

BB'' = AB cos dg / cos (T - dg) et B'B'' = y = AB cos dg tg h / cos (T - dg)

tg H = (AB sin T / cos (T - dg)) / (AB cos dg tg h / cos (T - dg))

= sin T / (cos dg tg h)

tg H' = PP' / AP' = x / y

AC'' / sin T = AC / sin (pi/2 - (T - dg)) ; AC'' = PP' =

x = AC sin T / cos (T - dg)

tg H' = (AC sin T / cos (T - dg)) / (AB cos dg tg h / cos (T - dg)) =

AC sin T / (AB cos dg tg h)

tg H / tg H' = (sin T / cos dg tg h) / (AC sin t / (AB cos dg tg h)) =

AB / AC

On retrouve la même démonstration en ce qui concerne les bifilaires inclinants à l'équateur.

tg H' = AC tg H / AB = (AC / AB) (tg t / cos dg) =

(AC / AB) (sin T / (cos dg tg h) ===> tg t cos dg = sin T / (cos dg tg h)

et tg t = sin T / tg h

(nous avons vu plus haut qu'à l'équateur tg H = tg t / cos dg)

On retrouve les mêmes relations pour les DELW. Pour les DWLW et DELE on a T + dg.

c) Le bifilaire vertical au pôle.

Il n'y a pas de déclinaison au pôle car les points cardinaux n'existent pas. En effet l'axe du monde passe par le zénith et les cercles horaires sont autant de verticaux tous perpendiculaires à l'horizon. Tout est est tout est ouest. Pour les déclinaisons solaires positives le soleil tourne en rond au-dessus de l'horizon.

Rien ne nous empêche cependant de planter un axe perpendiculaire au sol tel que l'axe du monde et un autre perpendiculaire à lui-même et comportant un système bifilaire. Voyons la figure 12.

fig 12

En prenant AB et AC quelconques on peut écrire

AC'' / sin t = AC / sin (pi/2 - t) = AC / cos t

AC'' = x = AC tg t

y = AP' = C''P = B'B'' = BB'' tg h ; AB = BB'' cos t et y = AB tg h / cos t

Les lignes d'heures sont perpendiculaires au sol à x de A.

suite: les bifilaires inclinants (3è partie)

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