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théorie des cadrans solaires bifilaires

horizontaux et verticaux

par

jean pakhomoff

 

PREAMBULE

Je dédie ce travail à

- Monsieur Emile Panafieu,

instituteur aux Cours Complémentaires de l'école Chartreux Longchamp à Marseille. J'ai bénéficié de ses cours de sciences physiques et naturelles, de géométrie et d'algèbre de la classe de 6è à celle de 3è.

- Monsieur Emile Philibert,

qui en son temps, m'a beaucoup aidé dans la compréhension des mathématiques qu'il pratiquait comme un agréable passe-temps.

- Monsieur Georges Faure,

les cours d'astronomie qu'il donnait bénévolement à la Société Scientifique Flammarion m'ont facilité l'étude de la cosmographie.

Jean Pakhomoff

le 11 Juin 2003

 

Michnik a eu l'idée des cadrans bifilaires en 1920.

Nous allons donner dans cette étude notre vue personnelle du bifilaire horizontal puis nous nous étendrons sur quelques cas particuliers avec extension aux bifilaires verticaux déclinants et inclinants.

Nous remarquerons en passant que les cadrans classiques dits à polos ne sont qu'un cas particulier des bifilaires. Il nous sera alors possible d'utiliser les mêmes équations pour en dresser les tracés.

Nous adopterons les symbôles suivants:

a) les couleurs: le rouge pour les angles horaires tabulaires, le rouge grenat pour les rayons solaires, le jaune pour les plans azimutaux et leurs intersections avec l'horizon ou le plan du cadran, le vert foncé pour les fils, le vert clair pour l'ombre des fils et le noir pour les éléments matèriels.

b) les angles: f sera la latitude du lieu (f), d la déclinaison du soleil (d), dg la déclinaison gnomonique du plan du cadran (dg), T sera l'azimut du soleil, h sa hauteur, t son angle horaire et H ou H', AH... son angle tabulaire.

Donnons tout de suite la valeur de ce dernier pour les cadrans horizontaux verticaux méridionnaux (plein sud) et plein nord:

Nous démontrons en trigonométrie sphérique que, dans un triangle rectangle sphérique le rapport de la tangente du côté de l'angle droit à la tangente de l'angle opposé est égal au sinus de l'autre côté de ce triangle rectangle.

Fort de cette relation considérons une sphère céleste de centre O (fig 1) et menons un cercle horaire PP' d'angle horaire ts coupant l'horizon NS en H , H' et le premier vertical en V et V'.

fig 1

Le triangle sphérique PSH est rectangle en S intersection du plan méridien et de l'horizon. On peut écrire en prenant H = HS

tg H / tg ts = sin PS = sin (pi - f) = sin f

et en faisant ts = t on retrouve la relation classique des cadrans horizontaux: tg H = tg t sin f

L'angle VP'Z égale pareillement ts et en considérant le triangle rectangle VP'Z formé par le premier vertical ZVZ'V', le cercle horaire PHP'H' et le méridien et en prenant H = VZ il vient tg H / tg ts = sin (pi/2 + f) = cos f

c'est la relation classique donnant l'angle tabulaire des verticaux méridionnaux tg H = tg t cos f où VOZ représente H. Mais pour la construction du cadran sud on prend V'OZ' = VOZ (OV' prolongement de VO).

Chacun des cercles horaires correspond à 2 heures différentes:

ts et tn = ts + pi

Ainsi si du côté sud du cadran l'angle tabulaire Z'OV' matèrialise l'angle horaire ts, la même ligne de coupe du plan du côté nord, matèrialise la deuxième heure indiquée par le cercle horaire.

Dans Z'PV' on a Z'PV' = tn - pi et tg Z'V' / tg (tn - pi) = sin (pi/2 + f) = cos f

d'où tg H = - tg tn cos f et l'angle Z'OV' côté nord montrant tn sur le cadran nord. On prend le prolongement OV pour le tracé des lignes horaires (les levers ou couchers se faisant au-dessus de la sortie de l'axe du monde, dans le plan horizontal passant par le bout du style).

Pour obtenir H sans problème de signes, dans le programme informatique que j'ai tiré de cette étude, je fais varier t de 0 à 180° de midi à minuit en passant par l'ouest (heures d'aprés-midi) et de midi à minuit en passant par l'est (heures du matin). Quand H est < 0 je rajoute alors pi (pèriode de la tangente).

De même on se servira des mêmes équations obtenues ci-dessous pour le tracé des cadrans dans l'hémisphère sud. On tient compte qu'à une déclinaison <0 sur l'hémisphère nord correspond la même valeur positive sur l'hémisphère sud et inversement. Les lignes ouest du cadran de l'hémisphère nord qui sont à gauche de la méridienne en regardant le pôle vont se dessiner à droite dans ces mêmes conditions dans l'hémisphère sud et inversement.

Nous verrons plus loin la variation des angles tabulaires lors de la déclinaison ou de l'inclinaison du cadran.

I Les bifilaires horizontaux.

A - cas général

Soit donc fig 2 un cadran solaire horizontal OBA de style OB et de gnomon AB situé à la latitude f. Par B faisons passer un fil horizontal situé dans le premier vertical formé par AB et la ligne Est Ouest. Prolongeons AB et par un point C de ce prolongement faisons passer un autre fil horizontal situé dans le plan méridien formé par AB et la ligne Nord Sud.

fig 2

La ligne Nord Sud sera l'axe des y et la ligne Est Ouest celui des x.

A l'instant t le rayon solaire passant par B frappe l'horizon en B' sur la ligne horaire tabulaire d'angle H. L'ombre de tous les points du fil Est Ouest passant par B' sera parallèle à la ligne Est Ouest et coupera l'axe des y en P'.

L'ombre de C, dans le même vertical que celle de B, vient couper la même ligne d'azimut en C'. Par C' passe l'ombre du fil Nord Sud parallèle à la ligne méridienne et coupant l'axe des x en P''.

Le point P est l'intersection de l'ombre des 2 fils.

On peut imaginer que ce point P est situé sur la ligne horaire tabulaire d'angle H' correspondant à un cadran situé à une latitude f ' où f ' > f puisque H' > H.

OB'P' ===> B'P' / OP' = tg H

OPP' ===> PP' / OP' = tg H' et tg H / tg H' = B'P' / PP'

AB'P' ===> B'P' = AB' sin T où T est l'azimut du soleil à l'instant t.

ABB' ===> AB / AB' tg h où h est la hauteur du soleil à l'instant t.

d'où B'P' = AB sin T / tg h

Dans le rectangle AP'PP'' on a PP' = AP''

AP''C' ===> AP'' = AC' sin T

CAC' ===> AC / AC' = tg h ===> AP'' = AC sin T / tg h = PP'

d'où tg H / tg H' = B'P' / PP' = (AB sin T / tg h) / (AC sin T / tg h)

= AB / AC

On a vu ci-dessus que l'angle tabulaire est lié à l'angle horaire et à la latitude par la relation tg H = tg t sin f

de même tg H' = tg t sin f ' et

tg H / tg H' = sin f / sin f ' = AB / AC

Si on se donne f ' = 90° (cas du pôle) on a AB = AC sin f et

tg H = tg H' sin f = tg t sin f d'où H' = t : les lignes horaires tabulaires font toutes entre elles des angles de 15° (1 heure = 15°).

C'est ce que l'on appelle un cadran à lignes horaires homogènes.

Ces lignes partent du point O situé à la distance AO = AB / tg f du point A sur la méridienne.

Coordonnées cartésiennes de P pour t sur l'horizon f:

AP' = y = AB cos T; AB / AB' = tg h ===> AB' = AB / tg h

y = AB cos T / tg h

x = PP' = AP'' = AC sin T / tg h comme vu ci-dessus.

Donc, en connaissant f, t et la déclinaison d on peut calculer h et T et ainsi tracer les arcs de déclinaison du bifilaire.

B - Quelques cas particuliers des bifilaires horizontaux.

1) Le fil Est Ouest passe au-dessus du fil Nord Sud.

fig 3

Dans ce cas H' < H et d'aprés les relations vues ci-dessus on en déduit que f ' < f. On ne pourra donc pas se donner f ' = 90° et il ne sera pas possible d'obtenir un bifilaire à heures homogènes. Par contre il est tout-à-fait possible de tracer un bifilaire, les équations tous calculs faits étant identiques à celles du cas précédent.

2) Cas du bifilaire horizontal situé au pôle.

Quand AB < AC, B se rapproche de C quand on monte en latitude pour se confondre avec C au pôle. Dans ce cas f = f ' et AB = AC. Les 2 fils se touchent et le système est celui d'un simple gnomon planté perpendiculairement à l'horizon.

S'il nous prend l'envie d'installer un bifilaire au pôle on doit pouvoir le faire mais sans orientation précise car en effet il n'y a plus de points cardinaux. Plaçons donc nos fils comme vu ci-dessus dans deux plans verticaux perpendiculaires l'un à l'autre (fig 4). Le plan contenant le fil supèrieur passant par C sera considéré comme plan méridien.

Ici angles horaire, tabulaire et d'azimut sont confondus.

fig 4

x = AC'' = AC' sin T

AC / AC'' = tg h ===> x = AC sin T / tg h

y = AB '' = AB' cos T et AB / AB' = tg h ===> y = AB cos T / tg h

La ligne horaire tabulaire sera donnée par tg T' = x / y = AC tg T / AB

En considérant constante au pôle la hauteur h du soleil durant 24 heures on a AC / tg h et AB / tg h de grandeurs constantes et x et y répondent alors à l'équation paramétrique de l'ellipse. Les arcs diurnes formés sont des ellipses. Si AB = AC x et y répondent alors à l'équation paramétrique du cercle. Les arcs diurnes sont des cercles.

3) Cas du bifilaire horizontal à l'équateur (fig 5).

Ici AB est nul. Mais nous pouvons quand même superposer arbitrairement 2 fils selon le processus décrit ci-dessus.

f étant nul tg H = tg t sin f = 0

fig 5

Les lignes horaires sont représentées par des parallèles à la ligne méridienne et distantes de celle-ci de AP'' = AC tg t où t est l'angle horaire.

x = PP' = AP'' = AC' sin T ; AC' = AC / tg h et x = AC sin T / tg h = AC tg t

y = PP'' = AP'' = AB' cos T = AB cos T / tg h

Rappelons qu'à l'équateur tg T = - sin t / tg d (d étant la déclinaison)

II - Les bifilaires verticaux.

A - Conventions .

Lorsque le cadran plein sud tourne de d° vers l'est je dis que sa déclinaison gnomonique dg vaut d° sud est. S'il tourne de d° vers l'ouest sa déclinaison gnomonique vaudra d° sud ouest.

Lorsque le cadran plein nord tourne de d° à l'est sa déclinaison gnomonique est de d° nord est. S'il tourne de d° à l'ouest sa déclinaison gnomonique est d° nord ouest. La commission des cadrans solaires de la Société Astronomique de France opère d'une façon différente.

Je considére 2 parties sur chaque façe du cadran. Ainsi la moitié située à l'est comporte les lignes horaires d'aprés-midi et celle située à l'ouest celles du matin. DELE signifiera déclinant (orienté au sud) est lignes est (aprés-midi), DELW déclinant est lignes ouest (matin), DWLE déclinant ouest lignes est et DWLW déclinant ouest lignes ouest.

INELW inclinant (orienté au nord) nord est lignes ouest; INELE inclinant nord est lignes est; INWLE inclinant nord ouest lignes est et INWLW inclinant nord ouest lignes ouest.

B - Positionnement des fils.

Sur un mur plein sud ou plein nord on peut imaginer comme pour le bifilaire horizontal un système de 2 fils perpendiculaires ne se touchant pas, l'un passantpar B et contenu dans le premier vertical, l'autre passant par C et contenu dans le plan méridien. Si le mur décline ou incline (fig 6)

fig 6

ce système va se trouver déplacé et il nous faudra alors trouver la nouvelle position de ceux-ci pour que leur intersection reste sur la ligne de mire ABC en respectant les valeurs AB et AC. On a BB' = AB cos dg et CC' = AC cos dg

Le fil est ouest sera donc placé à la distance BB' du mur et le fil méridien à la distance CC' du mur. Ce dernier fil étant commun au plan méridien et au vertical passant par CC' et où AC' = AC sin dg.

AC' vers l'est si déclinant ouest ou inclinant ouest.

AC' vers l'ouest si déclinant est ou inclinant est.

C- Le bifilaire vertical plein sud.

Soit donc (fig 7) un tel bifilaire. Le fil horizontal passant par B, le vertical par C à l'instant t. Le grand cercle horaire t coupe l'horizon selon BH et le plan du cadran selon HD donnant les angles tabulaires horizontal AH et vertical H. Par B passe le vertical azimutal coupant le cadran selon B''B' et par l'intersection de ce vertical avec le grand cercle horaire passe le rayon de soleil perçant le cadran en B' (un rayon de soleil n'étant que l'intersection d'un cercle horaire avec son vertical correspondant). L'ombre du fil horizontal passe par B' donnant l'horizontale P'B'. De même par C à l'instant t passe le cercle horaire t d'angle tabulaire AH donnant le même angle tabulaire H sur le cadran à partir de Z (cadrans homothétiques: l'un à style BD, l'autre à style CZ et tg H = cos f tg t indépendant de la grandeur du style). DB' et ZC' sont parallèles. Par C passe aussi le vertical azimutal coupant le cadran selon C''C' et par l'intersection de ce vertical avec la ligne horaire correspondante passe le rayon de soleil CC'. L'ombre du fil vertical est contenue dans ce dernier vertical donnant C'P coupant l'ombre horizontale en P.

fig 7

Comme pour le bifilaire horizontal, on peut imaginer que par P passe une ligne horaire DP d'un cadran situé à une latitude f ' où f ' < f car H' > H.

On a tg H = P'B' / P'D = AB'' / P'D ; tg H' = PP' / P'D = AC'' / P'D (droites parallèles 2 à 2). tg H / tg H' = AB'' / AC''

AB'' / AB = tg T = AC'' / AC ===> AB'' / AB = AC'' / AC ===>

AB'' / AC'' = AB / AC = tg H / tg H' = (cos f tg t) / (cos f ' tg t)

AB / AC = tg H / tg H' = cos f / cos f '

Si on prend pour f ' la latitude de l'équateur c'est - à - dire 0° cos f ' = 1

et tg H = tg H' cos f = tg t cos f et H = t. On retrouve un cadran à heures homogènes faisant toutes entre elles des angles de 15°. AB = AC cos f

Nous verrons le calcul des coordonnées de P dans le paragraphe suivant.

SUITE DE L'ETUDE (bifilaires déclinants et inclinants)

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