Angle horaire du cercle horaire passant par l'intersection
d'un arc semi-diurne
avec le plan d'un cadran solaire incliné
Jean Pakhomoff
Ce travail vient compléter mon
travail sur les cadrans inclinés.
t = angle horaire T = azimut h = hauteur d = déclinaison solaire
dg = déclinaison gnomonique i = inclinaison f = latitude j est
l'angle entre l'horizon et le
plan incliné sur le plan méridien
cas de l'lDWLW j>f (incliné déclinant à l'ouest).
Sur la figure 1 ci-dessous l'arc semi-diurne R'R'' de
déclinaison d coupe le plan incliné en R.
Par R passe un cercle horaire
d'angle horaire t.
fig 1
Soit WZE le premier vertical. Nous le faisons décliner vers
l'ouest de l'angle dg, W venant en Uw.
Puis nous l'inclinons de ZZ' = i. L'incliné coupe le plan méridien en M et S.
Le plan de notre cadran solaire
sera le grand cercle UwMU'S.
Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. La portion
R'D reste cachée derrière le déclinant UZU'.
Cette portion cachée n'est plus que de RR' lorsque ce déclinant
incline de i.
Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à l'apparition du soleil sur le
cadran incliné pour une
déclinaison d.
On notera que tous les levers se font sur le cadran pour les
azimuts solaires inférieurs à pi/2 dg
(les couchers se faisant tous
devant le cadran pour un azimut solaire inférieur à pi/2 + dg).
Rappel: en gnomonique les azimuts sont comptés de 0 à 180° du
sud au nord en est comme en ouest.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en
appelant j le côté MN:
tg j / tg (pi/2 i) = sin
(pi/2 dg)
ou encore tg j = cos dg / tg i de même tg NUw / tg NMUw = sin j
ou encore
tg (pi/2 dg) / tg NMUw =
sin j et tg NMUw = 1 / (tg dg sin j)
Comme angles à côtés opposés NMUw = ZMR ZMR supplément de
PMR alors PMR = pi NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j f et PR =
pi/2 d
(f étant la latitude et d la
déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j f) = sin
t / sin MR et
sin MR = sin t sin (j f) /
sin R de même
sin R = sin PMR sin (j f) / cos d = sin NMUw sin (j
f) / cos d
d'où R quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j f) ce qui nous donne d
que nous appellerons dl dans ce
cas particulier.
R diminuant de M en S on déduit que lorsque d < dl R
est < pi/2 et nous retiendrons
la plus petite valeur donnée par
sin R. Ce sera linverse pour d > dl.
Si d < 0 on aura sin PMR / sin (pi/2 + abs d) = sin R / sin (j
f)
sin (pi/2 + abs d) = cos abs d et lorsque R = pi/2 alors
cos abs d = sin NMUw sin (j f) mais cos abs d = cos d =
cos d
Donc on ne change rien et pas de changement non plus pour la
condition d < dl R est < pi/2
fig 2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = MN PN = j f doù intervalle dm = pi/ 2 (j f) et dm
On remarque que cette condition
est valable quand j > f.
Lorsque j < f il nous faut prendre dm = pi/2 (f
j) comme le montre la figure 4 b.
fig 3
On pourra écrire: si abs (d) > dm il ny a pas
intersection de lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison
d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et
cos MR = cos (j f) sin d + sin (j f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R en remplaçant cos
MR et sin MR par leurs valeurs on obtient
cos PM = cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d
cos t + sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (j f)
= cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d cos t +
(sin t sin (j f) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (j
f)
1 = sin² d + tg (j f) cos d sin d cos t + sin t tg (j
f) cos d / tg R et
cos² d - tg (j f) cos d
sin d cos t - sin t tg (j f) cos d / tg R = 0 Divisons par
cos d
cos d - tg (j f) sin d cos t - sin t tg (j f) / R =
0
Lorsque d est < 0 tous calculs faits on arrive à
cos d + tg (j f) sin ad cos t - sin t tg (j f) / R
= 0 où ad = abs (d)
et en prenant la valeur négative de ad on a sin - d = - sin d et
+ tg (j f) sin ad cos t devient - tg (j f) sin d
cos t
On ne change donc rien à cos d - tg (j f) sin d cos t -
sin t tg (j f) / R = 0
que d soit > 0 ou < 0
En posant A = cos d, B = - tg (j f) sin d et C = - tg (j
f) / tg R on a A + B cos t + C sin t = 0
Nous nous servons des propriétés de l'arc moitié en posant tg
(t/2) = k on a alors
cos t = (1 k²) / (1 + k²)
et sin t = 2 k / (1 + k²)
On a alors A + B (1 k²) / (1 + k²) + C 2 k / (1 + k²) =
0
A + A k² + B - B K² + 2 C k = 0 et (A B) k² + 2 kC + A
+ B = 0
L'équation (A B) k² + 2 kC + A + B = 0 répond à deux
racines dont l'une est en rapport avec la
configuration étudiée. Lorsque dans les équations
cos MR = cos (j f) sin d + sin (j f) cos d cos t et
Cos R = (cos (f - j) cos MR sin d) / (sin MR cos d)
découlant de
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R on remplace t par
ses 2 valeurs on
obtient des valeurs de R identiques.
Voyons maintenant le cas des iDWLE j > f
c - Heures utiles du cadran IDWLE
Ce sont celles étudiées au chapitre précédent iDWLW.
Nous reprenons la même configuration que pour les iDWLW. Les
calculs sont identiques.
Fig 4
Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. RR' est la
portion cachée de
cet arc diurne.
Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à la
disparition du soleil sur
le cadran incliné pour une
déclinaison d.
On notera que tous les couchers se font sur le cadran pour les
azimuts solaires inférieurs à pi/2 + dg.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en
appelant j le côté MN:
tg j / tg (pi/2 i) = sin (pi/2 dg) ou encore tg j =
cos dg / tg i de même
tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore tg (pi/2 dg) / tg NMUw = sin j et
tg NMUw = 1 / (tg dg sin j)
Ici NMUw et PMR sont le même angle et NMUw = PMR
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j f et PR =
pi/2 d
(f étant la latitude et d la
déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j f) = sin
t / sin MR
et sin MR = sin t sin (j f) / sin R de même sin R = sin
PMR sin (j f) / cos d
= sin NMU sin (j f) / cos d d'où R
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = MN PN = j
f doù intervalle dm = pi/ 2 (j f) et
dm
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison
d.
Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j f) ce qui nous
donne d que nous appellerons dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S on déduit que lorsque d < dl R
est < pi/2 et nous retiendrons la
plus petite valeur donnée par sin
R. Ce sera linverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les
déclinaisons sont négatives on aura
PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R
(on peut même entrer d avec son
signe puisque cos d = cos - d).
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles
avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et
dm.
dm = pi/ 2 (j f) si abs (d) > dm il ny a
pas intersection de lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison
d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et
cos MR = cos (j f) sin d +
sin (j f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R
en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient
cos PM = cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d
cos t + sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (j f)
= cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d cos t +
(sin t sin (j f) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (j f)
1 = sin² d + tg (j f) cos d sin d cos t + sin t tg (j
f) cos d / tg R et
cos² d - tg (j f) cos d sin d cos t - sin t tg (j f) cos d / tg R = 0
Divisons par cos d
cos d - tg (j f) sin d cos t - sin t tg (j f) / tg
R = 0
Cette relation est identique à celle trouvée dans le cas
précédent des iDWLW.
cos d - tg (j f) sin d cos
t - sin t tg (j f) / tg R = 0
d, j, f et R dépendant de ces trois paramètres sont identiques
pour ces deux relations.
Donc la valeur de t trouvée sera
identique.
On a vu que les deux racines permettaient de choisir l'apparition
ou la disparition.
Comme pour les verticaux DW et DE les relations concernant les iDWLW serviront pour les iDELE et
celles concernant les iDWLE
serviront pour les IDELW.
Voyons ce qu'il en est à propos des heures utiles pour les iDE.
On prend pour cas de figure l'iDE arc semi-diurne du matin. J
> f
fig 5
Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. RR' est la
portion cachée de cet arc diurne.
Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à l'apparition du soleil sur le cadran
incliné pour une déclinaison d.
On notera que tous les levers se font sur le cadran pour les
azimuts solaires inférieurs à pi/2 + dg.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en
appelant j le côté MN:
tg j / tg (pi/2 i) = sin
(pi/2 dg)
ou encore tg j = cos dg / tg i de même tg NUw / tg NMUw = sin j
ou encore
tg (pi/2 - dg) / tg NMU =
sin j et tg NMU = 1 / (tg dg sin j)
NMR = NMU = PMR
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j - f et PR = pi/2
d (f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j f) = sin
t / sin MR
et sin MR = sin t sin (j f) / sin R de même sin R = sin
PMR sin (j f) / cos d
Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw
sin (j f) ce qui nous donne d que nous appellerons dl dans
ce cas particulier.
R diminuant de M en S on déduit que lorsque d < dl R
est < pi/2 et nous retiendrons la
plus petite valeur donnée par sin
R. Ce sera linverse pour d > dl.
On a vu ci-dessus ci-dessus une autre méthode d'appréciation de
la valeur de R:
Pour que cos R soit < 0 il faut que (cos (j-f) cos MR
sin d) soit < 0 et
si cos R < 0 alors R > pi/2 (pour les j >f)
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les
déclinaisons sont négatives
on aura PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R
(on peut même entrer d avec son
signe
puisque cos d = cos - d).
Appelons dm la déclinaison du point M et ds = - dm celle
du point S.
R va se déplacer de M en S ce qui correspond à un
intervalle de déclinaisons égal à
pi/2 dm = MN PN = j
f doù intervalle dm = pi/ 2 (j f) et
dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs
semi-diurnes coupant lincliné.
Donc les déclinaisons compatibles
avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et
dm.
si abs (d) > dm il ny a pas intersection de
lincliné avec ces arcs semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison
d.
Lorsque j < f (fig 7 a) On aura PR = pi/2 dm = f
j et
dm = pi/2 (f j) Pareillement si abs (d) > dm il
ny a pas intersection de lincliné avec ces arcs
semi-diurnes.
Donc entrer une autre déclinaison
d.
fig 6
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et
cos MR = cos (j f) sin d +
sin (j f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R
en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient
cos PM = cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d
cos t + sin MR sin PR cos R
cos PM = cos (j f) =
cos (j f) sin² d + sin (j f) cos d sin d cos t +
(sin t sin (j f) cos d cos R) / sin R
Divisons le tout par cos (j
f)
1 = sin² d + tg (j f) cos d sin d cos t + sin t tg (j
f) cos d / tg R et
cos² d - tg (j f) cos d
sin d cos t - sin t tg (j f) cos d / tg R = 0 Divisons par
cos d
cos d - tg (j f) sin d cos t - sin t tg (j f) / tg
R = 0
Cette relation est identique à celle trouvée dans le cas
précédent des iDWLW.
cos d - tg (j f) sin d cos
t - sin t tg (j f) / tg R = 0
on aboutit également à (A B) k² + 2 kC + A + B = 0
Les deux racines obtenues permettront alors comme dans l'exemple
des iDW d'apprécier les heures
d'apparition et de disparition du
soleil dans le plan du cadran.
La racine en rapport avec les heures du matin des iDW servira aux
heures du soir des iDE et inversement.
On utilisera une seule relation: cos d - tg (j f) sin d
cos t - sin t tg (j f) / tg R = 0
en adaptant les résultats à la
configuration présentée.
Voyons maintenant le cas où le style sort vers le haut sur les
déclinants (j < f)
Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff
Mes travaux personnels en gnomonique