Angle horaire du cercle horaire passant par l'intersection

d'un arc semi-diurne

avec le plan d'un cadran solaire incliné

Jean Pakhomoff

 

Ce travail vient compléter mon travail sur les cadrans inclinés.
t = angle horaire T = azimut h = hauteur d = déclinaison solaire
dg = déclinaison gnomonique i = inclinaison f = latitude j est l'angle entre l'horizon et le
plan incliné sur le plan méridien
cas de l'lDWLW j>f (incliné déclinant à l'ouest).

Sur la figure 1 ci-dessous l'arc semi-diurne R'R'' de déclinaison d coupe le plan incliné en R.

Par R passe un cercle horaire d'angle horaire t.

fig 1

Soit WZE le premier vertical. Nous le faisons décliner vers l'ouest de l'angle dg, W venant en Uw.

Puis nous l'inclinons de ZZ' = i. L'incliné coupe le plan méridien en M et S.

Le plan de notre cadran solaire sera le grand cercle UwMU'S.

Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. La portion R'D reste cachée derrière le déclinant UZU'.
Cette portion cachée n'est plus que de RR' lorsque ce déclinant incline de i.

Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à l'apparition du soleil sur le

cadran incliné pour une déclinaison d.
On notera que tous les levers se font sur le cadran pour les azimuts solaires inférieurs à pi/2 – dg

(les couchers se faisant tous devant le cadran pour un azimut solaire inférieur à pi/2 + dg).
Rappel: en gnomonique les azimuts sont comptés de 0 à 180° du sud au nord en est comme en ouest.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en appelant j le côté MN:

tg j / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – dg)
ou encore tg j = cos dg / tg i de même tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore

tg (pi/2 – dg) / tg NMUw = sin j et tg NMUw = 1 / (tg dg sin j)
Comme angles à côtés opposés NMUw = ZMR ZMR supplément de PMR alors PMR = pi – NMUw
Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j – f et PR = pi/2 – d

(f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j – f) = sin t / sin MR et

sin MR = sin t sin (j – f) / sin R de même
sin R = sin PMR sin (j – f) / cos d = sin NMUw sin (j – f) / cos d

d'où R quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j – f) ce qui nous donne d

que nous appellerons dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons

la plus petite valeur donnée par sin R. Ce sera l’inverse pour d > dl.
Si d < 0 on aura sin PMR / sin (pi/2 + abs d) = sin R / sin (j – f)

sin (pi/2 + abs d) = cos abs d et lorsque R = pi/2 alors

cos abs d = sin NMUw sin (j – f) mais cos abs d = cos d = cos – d

Donc on ne change rien et pas de changement non plus pour la condition d < dl R est < pi/2


fig 2
Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm

On remarque que cette condition est valable quand j > f.
Lorsque j < f il nous faut prendre dm = pi/2 – (f – j) comme le montre la figure 4 b.



fig 3
On pourra écrire: si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et
cos MR = cos (j – f) sin d + sin (j – f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient
cos PM = cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R

cos PM = cos (j – f)

= cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + (sin t sin (j – f) cos d cos R) / sin R

Divisons le tout par cos (j – f)
1 = sin² d + tg (j – f) cos d sin d cos t + sin t tg (j – f) cos d / tg R et

cos² d - tg (j – f) cos d sin d cos t - sin t tg (j – f) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / R = 0

Lorsque d est < 0 tous calculs faits on arrive à

cos d + tg (j – f) sin ad cos t - sin t tg (j – f) / R = 0 où ad = abs (d)

et en prenant la valeur négative de ad on a sin - d = - sin d et

+ tg (j – f) sin ad cos t devient - tg (j – f) sin d cos t

On ne change donc rien à cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / R = 0

que d soit > 0 ou < 0

En posant A = cos d, B = - tg (j – f) sin d et C = - tg (j – f) / tg R on a A + B cos t + C sin t = 0
Nous nous servons des propriétés de l'arc moitié en posant tg (t/2) = k on a alors

cos t = (1 – k²) / (1 + k²) et sin t = 2 k / (1 + k²)
On a alors A + B (1 – k²) / (1 + k²) + C 2 k / (1 + k²) = 0

A + A k² + B - B K² + 2 C k = 0 et (A – B) k² + 2 kC + A + B = 0

L'équation (A – B) k² + 2 kC + A + B = 0 répond à deux racines dont l'une est en rapport avec la

configuration étudiée. Lorsque dans les équations

cos MR = cos (j – f) sin d + sin (j – f) cos d cos t et

Cos R = (cos (f - j) – cos MR sin d) / (sin MR cos d) découlant de

cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R on remplace t par ses 2 valeurs on

obtient des valeurs de R identiques.

Voyons maintenant le cas des iDWLE j > f

c - Heures utiles du cadran IDWLE
Ce sont celles étudiées au chapitre précédent iDWLW.

Nous reprenons la même configuration que pour les iDWLW. Les calculs sont identiques.



Fig 4
Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. RR' est la portion cachée de
cet arc diurne.

Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à la disparition du soleil sur

le cadran incliné pour une déclinaison d.
On notera que tous les couchers se font sur le cadran pour les azimuts solaires inférieurs à pi/2 + dg.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en appelant j le côté MN:
tg j / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – dg) ou encore tg j = cos dg / tg i de même

tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore tg (pi/2 – dg) / tg NMUw = sin j et

tg NMUw = 1 / (tg dg sin j)
Ici NMUw et PMR sont le même angle et NMUw = PMR

Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j – f et PR = pi/2 – d

(f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j – f) = sin t / sin MR

et sin MR = sin t sin (j – f) / sin R de même sin R = sin PMR sin (j – f) / cos d

= sin NMU sin (j – f) / cos d d'où R

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j – f) ce qui nous donne d que nous appellerons dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons la

plus petite valeur donnée par sin R. Ce sera l’inverse pour d > dl.
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les déclinaisons sont négatives on aura

PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R

(on peut même entrer d avec son signe puisque cos d = cos - d).
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
dm = pi/ 2 – (j – f) si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et

cos MR = cos (j – f) sin d + sin (j – f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R

en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient

cos PM = cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R

cos PM = cos (j – f)
= cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + (sin t sin (j – f) cos d cos R) / sin R

Divisons le tout par cos (j – f)

1 = sin² d + tg (j – f) cos d sin d cos t + sin t tg (j – f) cos d / tg R et

cos² d - tg (j – f) cos d sin d cos t - sin t tg (j – f) cos d / tg R = 0

Divisons par cos d
cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / tg R = 0

Cette relation est identique à celle trouvée dans le cas précédent des iDWLW.

cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / tg R = 0
d, j, f et R dépendant de ces trois paramètres sont identiques pour ces deux relations.

Donc la valeur de t trouvée sera identique.
On a vu que les deux racines permettaient de choisir l'apparition ou la disparition.

Comme pour les verticaux DW et DE les relations concernant les iDWLW serviront pour les iDELE et

celles concernant les iDWLE serviront pour les IDELW.
Voyons ce qu'il en est à propos des heures utiles pour les iDE.
On prend pour cas de figure l'iDE arc semi-diurne du matin. J > f



fig 5
Considérons l'arc semi-diurne RR'' de déclinaison d. RR' est la portion cachée de cet arc diurne.

Nous recherchons donc l'angle horaire t = RPM correspondant à l'apparition du soleil sur le cadran

incliné pour une déclinaison d.
On notera que tous les levers se font sur le cadran pour les azimuts solaires inférieurs à pi/2 + dg.
Le triangle sphérique MNUw rectangle en N permet d'écrire en appelant j le côté MN:

tg j / tg (pi/2 – i) = sin (pi/2 – dg)
ou encore tg j = cos dg / tg i de même tg NUw / tg NMUw = sin j ou encore

tg (pi/2 - dg) / tg NMU’ = sin j et tg NMU’ = 1 / (tg dg sin j)
NMR = NMU’ = PMR

Le triangle sphérique MPR dans lequel MP = j - f et PR = pi/2 – d (f étant la latitude et d la déclinaison du soleil)
permet d'écrire sin PMR / cos d = sin R / sin (j – f) = sin t / sin MR

et sin MR = sin t sin (j – f) / sin R de même sin R = sin PMR sin (j – f) / cos d

Quand R = pi/2 cos d = sin NMUw sin (j – f) ce qui nous donne d que nous appellerons dl dans ce cas particulier.
R diminuant de M en S’ on déduit que lorsque d < dl R est < pi/2 et nous retiendrons la

plus petite valeur donnée par sin R. Ce sera l’inverse pour d > dl.
On a vu ci-dessus ci-dessus une autre méthode d'appréciation de la valeur de R:
Pour que cos R soit < 0 il faut que (cos (j-f) – cos MR sin d) soit < 0 et
si cos R < 0 alors R > pi/2 (pour les j >f)
Lorsque R se trouve dans la zone sous équatoriale où les déclinaisons sont négatives

on aura PR= pi/2 + abs (d) et sin (pi/2+ abs(d)) = cos d donc aucun changement pour sin R

(on peut même entrer d avec son signe
puisque cos d = cos - d).

Appelons dm la déclinaison du point M et ds’ = - dm celle du point S’.

R va se déplacer de M en S’ ce qui correspond à un intervalle de déclinaisons égal à

pi/2 – dm = MN – PN = j – f d’où intervalle dm = pi/ 2 – (j – f) et – dm
Les déclinaisons comprises entre dm et - dm sont celles des arcs semi-diurnes coupant l’incliné.

Donc les déclinaisons compatibles avec des apparitions disparitions seront comprises entre dm et – dm.
si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.
Lorsque j < f (fig 7 a) On aura PR = pi/2 – dm = f – j et

dm = pi/2 – (f – j) Pareillement si abs (d) > dm il n’y a pas intersection de l’incliné avec ces arcs semi-diurnes.

Donc entrer une autre déclinaison d.


fig 6

De même cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos t et

cos MR = cos (j – f) sin d + sin (j – f) cos d cos t
cos PM = cos MR cos PR + sin MR sin PR cos R

en remplaçant cos MR et sin MR par leurs valeurs on obtient

cos PM = cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + sin MR sin PR cos R

cos PM = cos (j – f) =
cos (j – f) sin² d + sin (j – f) cos d sin d cos t + (sin t sin (j – f) cos d cos R) / sin R

Divisons le tout par cos (j – f)
1 = sin² d + tg (j – f) cos d sin d cos t + sin t tg (j – f) cos d / tg R et

cos² d - tg (j – f) cos d sin d cos t - sin t tg (j – f) cos d / tg R = 0 Divisons par cos d
cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / tg R = 0

Cette relation est identique à celle trouvée dans le cas précédent des iDWLW.

cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / tg R = 0
on aboutit également à (A – B) k² + 2 kC + A + B = 0
Les deux racines obtenues permettront alors comme dans l'exemple des iDW d'apprécier les heures

d'apparition et de disparition du soleil dans le plan du cadran.
La racine en rapport avec les heures du matin des iDW servira aux heures du soir des iDE et inversement.
On utilisera une seule relation: cos d - tg (j – f) sin d cos t - sin t tg (j – f) / tg R = 0

en adaptant les résultats à la configuration présentée.
Voyons maintenant le cas où le style sort vers le haut sur les déclinants (j < f)

Suite

Les cadrans solaires inclinés

Les cadrans solaires de Jean Pakhomoff

Mes travaux personnels en gnomonique