Les cadrans analemmatiques

horizontaux, verticaux,

inclinés déclinant et inclinant

 

Jean Pakhomoff

 

 

Cette étude personnelle de l'analemmatique horizontal nous paraît faciliter la compréhension des autres types d'analemmatiques.

Commençons donc par exposer notre méthode" terre à terre" de l'analemmatique horizontal puis, à partir de celle-ci, progressons dans l'étude des autres types d'analemmatiques.

Nous étudions également les heures de lever et de coucher du soleil sur les analemmatiques inclinés.

 

I- L'analemmatique horizontal

Soit la sphère céleste de centre O et de rayon R (fig 1).

fig 1

 

Soit f la latitude.

Plaçons le soleil en S au point d'intersection de l'équateur céleste avec le cercle horaire t. Projetons l'équateur sur l'horizon.

Nous obtenons l'ellipse GEFW de grand axe EW (demi grand axe R) et de petit axe GF (demi petit axe R cos (pi / 2 – f) = R sin f)

Sur cette ellipse se trouveront les projections des heures équatoriales.

Nous faisons passer par S un vertical qui coupe l'horizon en V et V' et l'ellipse GEFW en C et C'.

Un objet vertical placé en O montrera l'heure solaire le jour des équinoxes lorsque le soleil est dans l'équateur céleste.

Nous obtenons ainsi les emplacements des heures et demi heures solaires sur l'ellipse en faisant passer des verticaux

de projection par les heures et demi heures solaires sur l'équateur.

Ces verticaux font un angle d'azimut T avec le méridien.

Faisons passer un plan vertical par SC perpendiculairement au plan méridien. On obtient A et D et AS = OS sin t = R sin t = CD

OD = OA cos (pi / 2 – f) = OA sin f = OS cos t sin f = R cos t sin f  et

tg T = R sin t / R cost sin f = tg t / sin f

A l'instant t le point C' marque l'heure correspondant à t sur l'ellipse le jour de l'équinoxe.

Donnons au soleil une déclinaison d de façon à l'amener en S' sur le même cercle horaire t.

Un vertical passant par S' montrera un azimut coupant l'ellipse en H et H' ce qui ne sera plus en concordance avec l'heure t.

Il nous faudra alors déplacer l'objet vertical de O en K pour que son ombre passe à nouveau par le point C' pour donner la bonne heure t.

Nous allons calculer la grandeur de la distance OK puis nous montrerons que celle-ci est fixe, quelle que soit l'heure du jour,

pour une déclinaison constante. Nous considérons cette déclinaison constante durant une journée.

Azimut de S = tg t / sin f        Azimut de S' = sin t / (sin f cos t – cos f tg d)  

dAz= azimut de S' – azimut de S

HOV = H'OV' = KV'O = dAz   (KV' // HH')    Dans KOV' on a   OK / sin dAz = OC' / sin (pi – Az)

= OC / sin Az

OC sin T = CD = R sin t   d'où OC = R sin t / sin T et

OK =  R (sin dAz / sin Az) (sin t / sin T)

On pourrait se contenter de cette relation pour calculer OK mais rien ne nous dit spontanément que ce qui est vrai pout l'heure t

reste vrai pour l'heure t + ou – t'.

Remarquons que dAz = Az – T et sin dAz / sin Az = (sin Az cos T – sin T cos Az) / sin Az = cos T – sin T / tg Az

OK = R (cos T – sin T / tg Az) (sin t / sin T) = R sin t (1 / tg T – 1 / tg Az)

= R sin t (sin f / tg t - 1 / tg Az)

En remplaçant tg Az par sa valeur on a

OK = R (sin f cos t – sin t / ( sin t / (sin f cos t – cos f tg d)))

= R (sin f cos t – (sin f cos t – cos f tg d))

= R cos f tg d = constante pour d constante.

 

 

Tracé du cadran

1) Les points d'heure.

A partir du centre O il nous faudra tracer les points C' sur l'ellipse. En appelant axe des y la méridienne et axe des x la ligne est ouest on a

x = CD = R sin t    et y = OD = R cos t sin f 

ces valeurs seront à porter dans les quadrants symétriques. Ainsi le matin on portera ces valeurs dans les quadrants 1 et 4 (du lever à midi)

et le soir ces valeurs seront portées dans les quadrants 2 et 4 (de midi au coucher).

On prendra t angle horaire multiple de 15° (11h ou 13h) pour avoir les heures ou un multiple de 7.5 tel 7.5 (2n-1), où n est un entier positif, pour avoir les demi heures.

2) Echelle des dates.

On choisit les déclinaisons de 15 en 15 jours ou de 10 en 10 jours et on reporte sur la méridienne les valeurs obtenues pour OK.

OK sera > 0 pour les d >0 du printemps et de l'été et < 0 pour les d < 0 de l'automne et de l'hiver.

On peut concevoir un style incliné à la demande permettant ainsi de ne pas le déplacer.

Pour que les points S du bout du style droit de longueur l posé en O se trouvent dans l'azimut passant par les points K il suffit d'incliner le style d'un angle a égal à

l sin a = OKd et a = asn (OKd / l)    Ke en rapport avec la valeur absolue de d aux solstices

Un gnomon articulé centré en G restera perpendculaire au sol pendant son déplacement et son ombre indiquera l'heure sur l'ellipse.

11 3 2016

 

2 analemmatiques horizontaux dont l'un couplé à un bifilaire

 

II-Les cadrans analemmatiques verticaux

 

Nous avons étudié dans le précédent paragraphe le cadran analemmatique horizontal par la méthode des azimuts.

Appliquons une méthode analogue à l'étude des analemmatiques verticaux.

Nous appellerons " équivalents d'azimut" les angles obtenus sur les grands cercles verticaux perpendiculaires

à l'horizon par l'intersection d'autres grands cercles ayant pour diamètre commun l'axe nord sud.

fig 1

La figure 1 montre le grand cercle NAS passant par un astre A au-dessus de l'horizon NESW.

NAS est perpendiculaire au premier vertical ZWZ'E.

NAS fait avec le plan méridien NZSZ' un angle Az découpant sur le premier vertical un équivalent d'azimut ZL = Az

Sur un vertical ZJZ' faisant avec le premier vertical un angle dg (déclinaison gnomonique)

l'angle Az découpe sur ZJZ' un angle ZJ que j'appelle Azg ou azimut gnomonique.

Cette présentation permet d'éclairer les figures suivantes et nous permettra de montrer d'une façon originale

que la règle des dates est de grandeur constante sur le cadran quelle que soit son orientation.

1) Le cadran analemmatique vertical non déclinant.

a) Soit un horizon de latitude f. Le soleil est en S sur l'équateur céleste (d = 0), "grande horloge équatoriale".

Choisissons un angle horaire t qui sera un multiple de 15° (11h ou 13h) pour avoir les heures ou un multiple de 7.5 tel 7.5 (2n-1),

où n est un entier positif, pour avoir les demi heures. OS = R rayon de la sphère.

Projetons l'équateur sur le plan du cadran situé dans le premier verical.

Celui-ci donne l'ellipse WFEG de grand axe WE (axe des x) et de petit axe FG (axe des y).

 

fig 2

 

Le point horaire S devient le point horaire C sur l'ellipse. Soit A la projection de S sur EqEq'.

On a AS = R sin t = CD = x et OA = R cos t OD = OA cos f = R cos t cos f = y

On portera ces valeurs de façon symétrique pour fixer le point C' image de S sur l'équateur céleste.

L'ombre d'un objet horizontal placé en O passera sur C' à l'instant t aux équinoxes.

Tg T = CD / OD = tg t / cos f

OC sin T = CD = SA = R sin t d'où OC = R sin t / sin T

b) Donnons maintenant une déclinaison d à S de façon à l'amener en S'. Nous choisissons le cas de figure où d est >0.

La figure 3 permet de retrouver les cercles NAS tels que vus précédemment.

Ici nous avons S sur son cercle "équivalent azimut" faisant un angle T avec le plan méridien et donnant un angle T

sur le premier vertical et donc sur l'ellipse WFEG constituant le cadran.

Le cercle "équivalent azimut" de S' fait un angle LOZ = Az avec le plan méridien.

Cet angle LOZ est commun au premier vertical et à l'ellipse.

fig 3

L'ombre contenue dans ce cercle "azimutal" ne marque plus l'heure en C' mais en H'.

Il faudra donc remonter l'objet porte ombre, le gnomon, d'une valeur OK pour que l'ombre contenue dans le plan du cercle NLS'

suive la direction parallèle KC'.

Recherchons la valeur de OK.

Il nous faudra connaître la valeur de Az. Nous utiliserons pour cela la relation classique de la trigonométrie sphérique

dîte des 5 éléments qui s'écrit: sin a cos B = sin c cos b – cos c sin b cos A

fig 4

Appliquée au triangle PsS'Su et en remarquant que PsSu = f et que

S'Ps = pi – (pi / 2 – d) = pi / 2 + d on peut alors écrire:

sin S'Su cos (pi – Az) = sin f cos (pi / 2 + d) – cos f sin (pi / 2 + d) cos t et

- sin S'Su cos Az = - sin f sin d – cos f cos d cos t c'est –à-dire

sin S'Su cos Az = sin f sin d + cos f cos d cos t (1)

on peut aussi écrire sin S'Su / sin t = sin (pi / 2 + d) / sin (pi – Az) ou

sin S'Su sin Az = sin t cos d (2)

En divisant (2) par (1) on trouve tg Az = sin t / (sin f tg d + cos f cos t) (3)

équivalent azimut rapporté au point cardinal sud pôle du premier vertical.

( Rappelons pour mémoir la formule du véritable azimut concernant un vertical le méridien

et l'horizon (pôle zénith) : tg Az = sin t / (sin f cos t – cos f tg d) )

La différence entre les 2 "azimuts" T et Az (3) est dAz

Considérons maintenant le triangle KOC'

On a OC'K = dAz; OKC' = Az et KOC' = pi – T on peut alors écrire

sin Az / OC' = sin dAz / OK OC' = OC = R sin t / sin T

et OK = R (sin dAz / sin Az) sin t / sin T dAz = T – Az; sin dAz / sin Az = (sin T cos Az – sin Az cos t) / sin Az = (sin T / tg Az) – cos T

OK = R ((sin T / tg Az) – cos T) sin t / sin T = R (sin t / tg Az – sin t / tg T)

= R (sin t / tg Az – sin t cos f / tg t) = R sin t (1 / tg Az – cos f / tg t)

En remplaçant tg Az par sa valeur trouvée en (3) il vient

OK = R sin t ((sin f tg d + cos f cos t) / sin t – (cos f / tg t))

= R (sin f tg d + cos f cos t – cos f cos t) et OK = R sin f tg d

grandeur constante pour une déclinaison et une latitude données indépendante de t.

Nous verrons ci-dessous que cette valeur reste également constante lorsque le mur décline.

2) L'analemmatique vertical déclinant.

Donnons au mur porteur du cadran une déclinaison gnomonique dg.

a) Soleil dans le plan de l'équateur (d = 0)

fig 5

La projection de S soleil équatorial se fera en C''.

DC'' cos dg = DC et DC'' = R sin t / cos dg = x

tg T' = DC'' / OD =(R sin t / cos dg) / R cos t cos f et tg T' = tgt / cos dg cos f

y = OD = R cos t cos f

T', x et y gardent les mêmes valeurs que le cadran décline à l'ouest ou à l'est.

On portera ces valeurs, comme vu plus haut, dans le quadrant symétriquement opposé.

b) Donnons maintenant une déclinaison d à S de façon à l'amener en S'. Nous choisissons le cas de figure où d est >0.

fig 6

Nous avons vu que S se projetait en C'' sur l'ellipse FW'GE' obtenue sur le vertical déclinant.

le point S' se projette lui en H sur cette même ellipse.

Les grands cercles équivalents d'azimut passant par S et S' donnent les "azimuts" T' que nous avons calculé ci-dessus et

ZJ = Azg (g pour marquer la déclinaison du cadran).

Ces cercles couperont l'ellipse selon C''Q pour T' et HH' pour Azg.

Pour la déclinaison 0 à l'instant t un objet placé au centre O donne par son ombre l'heure en Q.

Pour la déclinaison d l'heure est lue en H' au même instant t. Il faut donc relever l'objet de O en K pour que le cadran

donne la bonne heure. Pour la même déclinaison négative de l'automne et de l'hiver il faudra comme nous le verrons

abaisser l'objet de la même grandeur.

Pour calculer cette distance OK il nous faut connaître Azg.

Dans JZL (L point d'intersection du grand cercle équivalent d'azimut passant par S' avec le premier vertical)

rectangle en L on peut écrire tg JL / tg dg = sin ZL d'où tg JL = tg dg sin ZL

De même sin dg / sin JL = sin (pi / 2) / sin ZJ sin ZJ = sin JL / sin dg

sin ZL / sin ZJ = (tg JL / tg dg) / (sin JL / sin dg) = (tg JL sin dg) / (sin JL tg dg) = cos dg / cos JL

sin ZL = (sin ZJ / cos JL) cos dg ou sin ZJ = (sin ZL cos JL) / cos dg

On a cos ZJ = cos JL cos ZL + sin JL sin ZL cos (pi / 2) = cos JL cos ZL

tg ZJ = sin ZJ / cos ZJ = (sin JL / sin dg) / cosJL cos ZL = sin JL / cos JL cos ZL sin dg

= tg JL / cos ZL sin dg = tg dg sin ZL / cos ZL sin dg

D'où tg ZJ = tg ZL / cos dg

ZL est l'angle Az équivalent d'azimut calculé précédemment

(angle fait entre le grand cercle NS'Su et le méridien avec le premier vertical).

D'où connaissance de ZJ = Azg

C''OF est l'angle T' et HOF l'angle Azg.

La différence d'azimut dAz = C''OH = T' – Azg = H'OQ = OQK.

Dans le triangle OQK on a KOQ = pi – T' et OKQ = HOK = Azg

sin Azg / OQ = sin dAz / OK On a vu plus haut que OC'' sin T' = DC'' = R sin t / cos dg

OC'' = R sin t / sin T' cos dg = OQ (Q symétrique de C'' sur l'ellipse)

d'où OK = OC'' sin dAz / sin Azg = (R sin t / sin T' cos dg) sin daz / sin Azg dAz = T' – Azg

et sin dAz / sin Azg = (sin T' cos Azg – sin Azg cos T') / sin Azg = sin T' / tg Azg – cos T'

OK = (R sin t / sin T' cos dg) (sin T' / tg Azg – cos T')

= R sin t / (cos dg tg Azg) – R sin t / (tg T' cos dg)

= R sin t (1 / (cos dg tg Azg – 1 / ((tg t / (cos dg cos f)) cos dg)))

= (1 / (cos dg tg Azg) – cos f / tg t) R sin t on a vu que tg Azg = tg Az / cos dg donc

OK = R sin t ((1 / (cos dg tg Az / cos dg)) – cos f / tg t)

= R sin t (1 / tg Az – cos f / tg t) et en remplaçant tg Az par sa valeur on obtient

OK = ((sin f tg d + cos f cos t) / sin t – cos t cos f / sin t) R sin t

et OK = R sin f tg d

OK est donc invariable car indépendant de la déclinison gnomonique dg.

Nous avons donc les éléments x et y pour construire les points d'heure de l'ellipse ainsi que la

relation permettant de construire la règle des dates.

3) Confection du gnomon

Le gnomon posé verticalement sur le mur va être incliné d'un angle égal à la déclinaison gnomonique par rapport au plan méridien.

Il nous faudra le rendre confondu dans ce plan méridien pour lire convenablement l'heure sur le cadran analemmatique.

Observons la figure 7.

fig 7

On a pris le cas de figure d'un mur déclinant à l'ouest mais rien ne change si le mur décline à l'est.

Pour que l'axe du gnomon continue de passer par le point M il faudra prévoir un système ADCB percé en M'.

L'axe MM' restant perpendiculaire au plan vertical passant par DC.

AD et BC décriront des rails verticaux le long de la méridienne verticale passant par M.

On prendra soin de mettre des "témoins" aux points A et B de façon à les faire coïncider avec les horizontales

passant par les points de dates (déclinaisons) portés sur la ligne méridienne.

Ainsi MM' passera à chaque lecture par le point de date du jour de lecture.

Pour le cadran ci-dessous une tige métallique en U a servi à la construction du porte gnomon ABCD.

Si on se donne AB = 2 AM avec AM = MB on aura BF = AB cos dg et

EB = MB cos dg. Ensuite on peut prendre FD = BC selon son appréciation personnelle sachant que

AF = AB sin dg .

Voici ci-dessous un analemmatique vertical déclinant de 8.289° vers le Sud-Ouest (278.289°) à

une latitude de 43.2975° Nord et une longitude de -5.46416° Est.

Notez les rails le long de l'échelle des dates sur la méridienne.

Le gnomon est placé dans un repère horizontal dans le bas du cadran.

On le visse sur le mobile métallique actuellement fixé sur la gauche de l'échelle des dates.

Une équation du temps graphique a été tracée sur le cadran dans sa partie supèrieure.

Le mobile métallique a été dévissé pour lui adapter une tige métallique gnomon de lecture de l'heure.

Les points ADBC ainsi que M' entrée du gnomon ont été représentés.

17 3 2016

4) Calcul d'un analemmatique incliné méridional

Nous avons prolongé cette étude par celle d'un analemmatique incliné dans sa présentation la plus simple c'est-à-dire celle du plan incliné

sur l'horizon d'un angle i. N venant en Ni.

L'ellipse de projection aura pour grand axe l'axe est ouest. Nous ne la représenterons pas pour ne pas alourdir le schéma.

1) Calcul de T'. (points d'heure)

On retrouve le soleil équtorial en S avec son angle horaire t.

Sa projection sur l'horizon en C et sur l'incliné en C'. C'est ce point C' qui sera notre marqueur horaire sur l'ellipse des heures.

On a AS = OS sin t = R sin t (R rayon de la dsphère de centre O).

OA = R cos t OD = OA cos (pi / 2 – f) = R cos t sin f

tg T = DC / OD = AS / OD

tg i = DD' / OD et DD' = R cos t sin f tg i

OD' sin i = DD' et OD' = R cos t sin f tg I / sin I = R cos t sin f / cos i

D'C' = AS = CD = R sin t tg T' = D'C' / OD' = R sin t / (R cos t sin f / cos i)

et tg T' = tg t cos i / sin f

coordonnées des points d'heure avec les x sur l'axe est ouest et les y sur l'axe nord sud:

x = D'C' = R sint

y = OD' = R cos t sin f / cos i

2) Calcul de OK (règle des dates)

Lorsque l'on donne une déclinaison d à S celui-ci vient en S' sur le même cercle horaire choisi.

Nous comptons pour simplifier les angles horaires variant de 0 à 180° pour les heures du matin comme du soir

depuis le méridien de midi solaire. De même pour les angles azimutaux.

L'angle azimutal de S est ainsi T' sur l'incliné et Azi pour S'.

C'' point symétrique de C' sera notre point d'heure pour l'angle hoaraire t

Nous opérons comme pour les analemmatiques horizontal et verticaux:

OH' en rapport avec l'azimut Azi marquera pour ce même angle horaire t une autre direction que OC''

Pour retrouver la bonne heure il faudra faire glisser sur la méridienne un objet porte ombre jusqu'en K pour

que l'ombre vienne marquer la bonne heure en C''.

On appelle daz la différence des azimuts Azi et T': daz = Azi – T'

Dans OC''K on a sin (pi – Azi) / OC'' = sin daz /OK

OC'' sin T' = D'C' = SA = R sin t et OC' = OC'' = R sin t / sin T'

On peut alors écrire sin Azi / (R sin t / sin T') = sin daz / OK et

OK = (sin daz / sin Azi) R sin t / sin T'

sin daz / sin Azi = (sin Azi cos T' – sin T' cos Azi) / sin Azi = cos T' – sin T' / tg Azi

OK = (cos T' – sin T' / tg Azi) R sin t / sin T'

Nous remarquons que le grand cercle de l'horizon et le grand cercle de l'incliné faisant un angle i entre eux

peuvent être assimilés au grand cercle de l'équateur céleste et de l'écliptique faisant entre eux un angle epsilon.

Sans développer de démonstration nous appliquerons aux grandeurs EH et EH' la relation

donnant l'ascension droite en fonction de la longitude écliptique. (tg alfa = tg l cos ep)

Ici nous aurons tg EH = tg EH' cos i

EH = pi / 2 – Az et EH' = pi / 2 – Azi d'où 1 / tg Az= cos i / tg Azi

et tg Azi = tg Az cos i on peut alors écrire

OK = (cos T' – sin T' / (tg Az cos i)) R sin t / sin T'

= R sin t / tg T' – R sin T / (tg Az cos i) = R sin t ((1 / tg T') – 1 / (tg Az cosi))

En remplçant tg T' par sa valeur tg t cos i / sin f on obtient

OK = (R sin t / cos i) ( sin f / tg t – 1 / tg Az) et en remplaçant tg Az par sa valeur

tg Az = sin t / (sin f cos t – cos f tg d) il vient

OK = (R sin t / cos i) (sin f / tg t – (sin f cos t – cos f tg d) / sin t)

= (R sin t / cos i ) ( (cos t sin f / sin t) - (sin f cos t – cos f tg d) / sin t)

= (R / cos i) = (cos t sin f – sin f cos t + cos f tg d et

OK = R cos f tg d / cos i

Le gnomon devra être incliné sur le plan du cadran de l'angle complémentaire à l'inclinaison du cadran.

23 3 2016

5) L'analemmatique incliné déclinant

On pourra se fixer une limite de grandeur arbitraire. Par exemple j inférieur au complément (pi / 2 - f) de la latitude f.

Avec tg j = tg i / cos dg . Si j > pi / 2 - f la projection devient de plus en plus grande.

Soit la sphère céleste de centre O

fig 1

Nous faisons pivoter le grand cercle de l'horizon d'un angle dg et nous inclinons ce cercle d'un angle i.

Nous choisissons une déclinaison vers l'ouest.

Ces résultats serviront également pour la déclinaison est par symétrie.

O'' Ni est alors la ligne de plus grande pente et UwUe l'horizontale qui lui est perpendiculaire.

La ligne M'M marque l'intersection du méridien avec le plan de ce grand cercle décliné et incliné qui est aussi le plan de notre cadran.

L'ellipse obtenue par la projection des points d'heure équatoriaux sur le plan du cadran aura pour grand axe E'W' et pour petit axe GF.

- Heures du matin

Soit le soleil en S sur l'équateur céleste. Son angle horaire est t.

Sa projection sur l'horizon donne le point C et l'angle T que nous avons déterminés précédemment.

Sa projection sur l'incliné donne le point C' et l'angle T' qui nous serviront à fixer le point horaire t.

Comme vu dans l'exposé sur l'analemmatique incliné méridional on peut écrire que

tg UeM' = tg UeSu / cos i = tg (pi / 2 – dg) / cos i = 1 / (tg dg cos i)

tg UeQ' = tg UeQ / cos i = tg (pi / 2 – (dg + T)) / cos i = 1 / (tg (dg + T) cos i)

Alors T' = UeM' – Ue Q'

Détermination de l'angle j'

UeQQ' rectangle en Q => Tg QQ' = tg j' => tg j' / tg i = sin UeQ

= sin (pi / 2 – (dg + T)) = cos (dg + T) et tg j' = cos (dg + T) tg i

Nous avons trouvé plus haut la valeur de OC = R sin t / sin T ou encore

= R cos t sin f / cos T

On peut écrire OC = OC' cos j' et

OC' = OC / cos j' = R cos t sin f / (cos T cos j') = R sin t / sin T cos j'

si t = 0 OC' = R sin f / cos j' = OF

Nous pouvons donc placer le point d'heure T sur l'ellipse de grand axe E'W' et de petit axe FG. (pour t = 0 C' est en F).

Coordonnées de C'

On prend comme axe de coordonnées la droite de plus grande pente NiO'' pour les y et l'horizontale UwUe qui lui est perpendiculaire pour les x.

Il nous faudra connaître O''OM': on a tg UeM' = tg UeSu / cos i

= tg (pi / 2 – dg) / cos i = 1 / (tg dg cos i) d'où UeM' et

O''OM' = pi 2 – UeM' = U

Alors x = OC' sin (T' + U)

y = OC' cos (T' + U)

ces valeurs x et y sont à reporter dans les quadrants opposés car l'ombre va se projeter à 180° par rapport au point d'heure calculé.

- heures du soir

Observons la figure 2

fig 2

UeQQ' rectangle en Q => Tg QQ' = tg j' => tg j' / tg i = sin UeQ

= sin (pi / 2 – dg + T) = cos (dg - T) et tg j' = cos (dg - T) tg i

On trouve de la même façon

OC' = OC / cos j' = R cos t sin f / (cos T cos j')

si t = 0 OC' = R sin f / cos j' = OF

tg UeM' = tg UeSu / cos i = tg (pi / 2 – dg) / cos i = 1 / (tg dg cos i)

tg UeQ' = tg UeQ / cos i = tg (pi / 2 – dg + T) / cos i = 1 / (tg (dg - T) cos i)

Alors T' = UeQ' – Ue M'

Si T' < U on prend x = OC' sin (U – T') et y = OC' cos (U – T')   

la projection des points d'heure se fait sur la zone est par rapport à la ligne de plus grande pente.

Si T' >= U on prend x = OC' sin (T' – U) et y = OC' cos (T' – U)   

la projection des points d'heure se fait sur la zone ouest par rapport à la ligne de plus grande pente.

ces valeurs x et y sont à reporter dans les quadrants opposés car l'ombre va se projeter à 180° par rapport au point d'heure calculé.

Ainsi reprenant la figure 1 nous pourrons tracer les points d'heure matinaux dans les quadrants 4 et 1 et les points d'heure d'après-midi

se traceront dans les quadrants 2 et 3.

- Calcul de OK (règle des dates)

Observons la figure 3

fig 3

Nous retrouvons la sphère céleste de centre O avec le grand cercle de l'horizon NESW et le grand cercle

de l'analemmatique inclinant MUeM'Uw incliné de i sur l'horizon et déclinant vers l'ouest de dg.

Le grand cercle ZSQZ'Q1 est le vertical passant par le point équatorial S. Il coupe l'horizon selon QQ1

marquant ainsi l'heure correspondant à t angle horaire de S sur la grande horloge de l'équateur.

intersection Q'Q'1 avec l'incliné donnera la ligne horaire correspondant également à t.On remarque que ces

2 lignes horaires indiquant la même heure sont dans un même plan vertical.Le grand cercle ZS'HZ'H1

est le vertical passant par S' de déclinaison d au même instant t.

Son intersection avec l'horizon se fait selon HH1 et avec l'incliné selon H'H'1.

L'heure indiquée est donc fausse et nous avons vu dans l'étude de l'analemmatique horizontal

qu'il était nécessaire de déplacer ce vertical ZS'HZ'H1 parallèlement à lui-même de façon à ce que la droite HH1

passe par K pour venir toucher le point d'heure correspondant à t sur l'ellipse formée par la projection de l'équateur céleste

sur l'horizon. Lorsque cela est réalisé ce vertical coupe également la ligne horaire correspondant à t sur l'incliné

(puisque ces lignes horaires horizon-incliné sont dans le même vertical pour le même angle horaire t).

Le vertical passant par K va couper la ligne de midi de l'incliné en K' et le gnomon KK' marquant la ligne des dates

sur l'analemmatique horizontal marquera également par son prolongement la ligne des dates sur l'incliné.

Pour telle déclinaison d il conviendra de placer le gnomon incliné de pi / 2 - J sur la ligne de XII heures à la distance

OK' de O = OK / cos J _____OK' = R cos f tg d / cos J

MNH1 nous donne la valeur de J: tg J / tg i = sin (pi / 2 – dg) = cos dg

et tg J = tg i cos dg d'où J et lrsque dg = 0 on a i = j; on retrouve la relation de l'incliné non déclinant étudié ci-dessus.

- Confection du gnomon.

Il faudra positionner le gnomon au point de déclinaison recherché (date).

 

fiig 4

Ce gnomon fera un angle de pi / 2 – i avec la ligne de plus grande pente.

Nous avons vu plus haut que cette ligne de plus grande pente (lpg) fait un angle U avec la ligne de XII heures

et qu'elle est perpendiculaire à l'horizontale passant par K'.

Le gnomon K'G fait avec la ligne de XII heures dans le plan méridien un angle égal à pi / 2 - j.

Nous pourrons alors construire un petit triangle K'GC rectangle en C qui nous servira de guide pour le gnomon (tige) prolongeant K'G.

En prenant par exemple K'G = 10 cm on a GC = GK' sin (pi / 2 – i) = 8.19 cm et CK' = 5.73 cm

On pourra éventuellement faire passer par C ou tout autre point de K'C une tige témoin horizontale et

perpendiculaire à CK' pour s'assurer de la bonne verticalité de CGK'.

- Recherche des points d'heures utiles.

Reprenons la figure 1 (points d'heures est) sur laquelle

 

fig 1

 

nous avons rajouté l'arc semi-diurne R'RR'' de déclinaison d ainsi que l'axe des pôles PP' et l'angle horaire t correspondant au

moment où le soleil sur son arc semi-diurne va apparaître sur le plan du cadran.

La partie du cadran UeO''Uw "sous l'horizon" va voir théoriquement les arcs semi-diurnes qui lui sont attachés

s'accroître sans pour cela augmenter la durée du jour car le soleil encore sous l'horizon n'éclaire pas le cadran.

La partie du cadran UeNiUw "sur l'horizon" verra par contre ses arcs semi-diurnes "amputés" de l'arc compris entre l'horizon et le plan du cadran.

Par symétrie pour un déclinant est on aurait une diminution identique des arcs semi-diurnes ouest dans la partie UeNiUw de l'horizon.

On peut essayer de calculer l'angle horaire utile ou résiduel restant par rapport à l'arc semi-diurne pour une déclinaison d

sur un horizon f avec une inclinaison i et une déclinaison gnomonique dg.

Cette diminution a lieu dès que que l'azimut A de la naissance de l'arc semi-diurne est supèrieur à SuUe.

SuUe = pi / 2 – dg

On a en outre   sin d = - cos f cos A (azimut des levers et couchers)

Connaissant f et A = pi / 2 – dg on peut alors connaître la déclinaison pour laquelle les arcs diurnes vont commencer à être "amputés" par le cadran.

Dans NMUw on a tg (pi / 2 – dg) / tg NMUw = sin j   on a vu que tg j = tg i cos dg d'où j

tg NMUw = 1 / ((tg dg sin j))

Considérons le triangle MPR.  On a PM = f – j; PR = pi / 2 – d; MPR = pi – t

On appellera M l'angle PMR = NMUw, R l'angle PRM et P l'angle MPR

sin M / cos d = sin R / sin (f – j) = sin t / sin MR et     sin MR = sin t sin (f – j) / sin R

sin R = sin M sin (f – j) / cos d

cos MR = cos PM cos PR + sin PM sin PR cos (pi – t) = cos (f – j) sin d + sin (f – j) cos d (- cos t)

cos PM = cos MR sin d + sin MR cos d cos R

cos (f –j) = cos (f – j) sin² d + sin (f – j) cos d sin d (- cos t) + sin MR cos d cos R

cos (f –j) = cos (f – j) sin² d - sin (f – j) cos d sin d  cos t + sin t sin (f – j) cos d cos R / sin R

divisons par cos (f – j)

1 = sin² d – tg (f – j) cos d sin d cos t + sin t  tg (f – j) cos d / tg R   ou

cos² d + tg (f – j) cos d sind cos t – sin t tg (f – j) cos d / tg R = 0 

cos d + tg (f – j) sin d cos t – sin t tg (f – j) / tg R = 0

En appelant A = cos d,  B = tg (f – j) sin d  et  C = tg (f – j) / tg R   on a

A + B cos t – C sin t = 0

Appliquons les formules de l'arc moitié en prenant t = t / 2

on aura alors A + B ((1 – t²) / (1 + t²)) – C ( 2 t / (1 + t²)) = 0   ou

A + A t² + B - B t² - 2 C t = 0       (A – B) t² - 2 C t + (A + B) = 0

ce qui donne après développement 2 racines t' et t''

= (C + ou – SQR (C² + B² - A²)) / (A – B)

On prendra la racine adéquate  et on aura t = 2 arc tg t' ou 2 arc tg t''

Exemple: Calculons l'amputation d'arc semi-diurne entraînée par un cadran incliné de 35° et déclinant de 34.922° vers l'ouest 

sur un horizon de latitude f = 43.2754° le jour de l'été  (déclinaison 23.433°)

tg j = tg i cos dg   ---> j = 29.861°   A = .917525  B = 0.094845  

tg M = 1 / ((tg dg sin j) ---> M = 70.8314° et sin R = sin M sin (f – j) / cos d ---> R = 13.81731°

d'où C = 0.969729  

t' = 0.969729 + SQR (0.969729² + 0.094845² - .917525²) / (.917525 - 0.094845) = 1.36830

t'' =  .78056

arc tg t' = 53.839 et t = 2 * 53.839 = 107.678°

arc tg t'' = 37.974 et t = 75.948°

On peut penser que la deuxième solution est la plus proche de la réalité:

L'arc semi diurne de l'été étant de arc cos (- tg d tg f) égal à 114.0846° l'ensoleillement du cadran commencera à

114.0846 – 75.948 = 38.1366° ce qui correspond à 38.1366/15 = 2.5424 h

c'est-à-dire = 9h 27' 27'' solaire du matin.

Sur la figure 1' ci-dessous nous avon représenté l'arc semi-diurne d'après-midi de même déclinaison d.

Celui-ci va couper le cadran en R et R' sur l'horizon ouest.

Nous constatons alors que les éléments du triangle MPR sont identiques au triangle MPR du matin.

Nous aurons ici M apès-midi = pi – M matin et sin M = sin (pi – M) donc le calcul de R reste identique.

Nous allons avoir exactement les mêmes systèmes de relations et nous aboutirons à la même équation du second degré.

C'est alors la deuxième racine que nous retiendrons pour connaître l'instant où le soleil passera derrière le plan du cadran.

 

fig 1'

Nous avons vu que arc tg t' = 53.839 et t = 2 * 53.839 = 107.678°

Le soleil passera donc derrière le cadran à 107.678 / 15 = 19h 10' solaire

le coucher du soleil ayant lieu à 114.0846 / 15 = 19h 36' solaire

(il faudrait corriger ces heures de la valeur de l'équation du temps au jour de lecture)

 

Nous avons étudié le cas de l'analemmatique incliné déclinant à l'ouest.

On se servira des mêmes résultats de façon symétrique pour le déclinant est.

Pour les fortes inclinaisons quand i > pi / 2 - f la projection de l'équateur céleste doit se faire vers le haut du cadran car,

à défaut, la taille de l'ellipse deviendrait démesurée.

Il faudra alors rechercher les relations trigonométriques adaptées à ce cas de figure.

1 4 2016 mis à jour le 16 4 2016

 

Vérification du 11 4 2016

Nous inclinons un plan de 35° sur l'horizon de latitude 43.2754° nord, de longitude -2.6594° est et nous faisons pivoter ce plan de 34.922° versl'ouest. Nous obtenons sur papier Canson l'ellipse des heures ci-dessous:

Après confection du style selon la méthode présentée ci-dessus nous vérifions notre théorie de l'analemmatique déclinant incliné.

L'équation du temps à la date du 11 avril est égale à -1' 7'' (retard).

Il y aura compte tenu de la longitude du lieu et de l'heure d'été un écart de 1h 50' et 28'' entre l'heure donnée par le cadran et l'heure de la montre.

Ainsi à 12h 50' 28'' à la montre le cadran devrait indiquer 11h solaire.

Le cadran accuse un léger retard d'environ 3'.

retard que l'on retrouve à XIII heures solaires.

 

Ceci ne remet pas du tout en cause la théorie établie ci-dessus.

Cette différence provient de 3 raisons principales:

1) la déclinaison gnomonique retenue n'a pas été mesurée à partir du pilier d'appui de notre incliné mais simplement

reportée de la précédente mesure de déclinaison du mur en enfilade porteur d'un cadran solaire et considéré

comme parallèle au plan du pilier.

Il peut donc y avoir une légère différence avec la valeur réelle de la déclinaison gnomonique du pilier.

 

2) L'inclinaison retenue pour le calcul a été fixée arbitrairement à 35°.

Nous avons fait en sorte de donner une inclinaison de 35° en mesurant la longueur de notre plan porteur du cadran.

Ayant trouvé 108 cm nous l'avons posé contre le pilier à une hauteur de 108 sin 35 = 61.94 cm.

Un léger écart de cette valeur peut entraîner une légère erreur sur l'heure lue.

3) Enfin la réalisation du style métallique a été faîte du mieux possible mais la découpe de la plaque de laiton porteuse du gnomon

a pu donner lieu à quelques minimes imprécisions pouvant également entraîner une légère erreur de lecture.

 

6 - Les analemmatiques inclinés inclinant

L'inclinaison se fait vers le nord.

1- L'incliné inclinant septentrional (plein nord).

Nous représentons sur la figure 1 le soleil en S sur l'équateur céleste faisant un angle horaire t le matin.

 

fig 1

 

- Calcul de T'

On projette S en C sur l'horizon de latiatude f et en C' sur l'incliné d'inclinaison i.

AS = OS sin t = R sin t      OA = R cos t    OD = R cos t sin f

tg i = DD' / OD et DD' = R cos t sin f tg i    OD' sin i = DD'

OD' = R cos t sin f / cos I   D'C' = AS = DC = R sin t    tg T' = D'C' / OD'

et tg T' = tg t cos i / sin f

coordonnées des points d'heure avec les x sur l'axe est ouest et les y sur l'axe nord sud:

x = D'C' = R sint

y = OD' = R cos t sin f / cos I      mêmes relations que pour l'incliné plein sud.

- Calcul de OK'.

fig 2

 

 

On utilise les mêmes considérations que pour le cas de l'incliné plein sud. On obtient exactement les mêmes relations.

En définitive OK'= R cos f tg d / cos i

2 - L'incliné inclinant ouest.

Nous choisissons pour la commodité du dessin un inclinant déclinant à l'ouest.

Ces résultats serviront également pour la déclinaison est par symétrie.

- heures du matin.

On prendra le même système de coordonnées que pour les inclinés déclinant.

UeQQ' rectangle en Q -->  tg QQ' = > tg j' / tg i = sin UeQ = sin (pi / 2 + dg – T) 

et    tg j' = cos (dg – T) tg i

fig 3

 

OC' = OC / cos j'   on a vu plus haut que OC = OD / cos T = R cos t sin f / cos T

et OC' = R cos t sin f / (cos T cos j')

tg UeM' = tg UeSu / cos i = tg (pi / 2 + dg) / cos i = - 1 / (tg dg cos i)

tg UeQ' = tg UeQ / cos i = tg (pi / 2 + dg – T) / cos i = - 1 / (tg (dg – T) cos i)  et

T' = UeM' - UeQ'         O''OM' = U = UeM' – pi / 2

Rappelons que les y sont portés sur la ligne de plus grande pente et les x sur sa perpendiculaire en 0 (intersection du cadran avec l'horizon).

T' < U ---> x = OC' sin (U – T')   y = OC' cos (U – T')

T' > U ---> x = OC' sin (T' – U)   y = OC' cos (T' – U)       

La projection se fait sur la zone est par rapport à la ligne de plus grande pente mais les valeurs de x et de y sont à

reporter dans le quadrant symétrique (direction de l'ombre).

Ici les projections se font dans les quadrants 2 et 3 et les points d'heures du cadran seront en 1 et 4.

- heures du soir.

fig 4

 

tg UeM' = tg UeSu / cos i = tg (pi / 2 + dg) / cos i = - 1 / (tg dg cos i)

tg UeQ' = tg UeQ / cos i = tg (T + pi / 2 + dg) / cos i = - 1 / (tg (T + dg) cos i)

T' = UeQ' – UeM'     tg j' / tg i = sin UeQ = sin (pi / 2 + dg + T) = cos (dg + T)

tg j' = tg i cos (dg + T)    OC' cos j' = OC et

OC' = R cos t sin f / (cos T cos j') ou

OC' = R sin t / (sin T cos j')

O''OM' = UeM' – pi / 2 = U

x = OC' sin (U + T')   y = OC' cos (U + T')

Ces points d'heures tombant dans les quadrants 4 et 3 seront reportés dans les quadrants symétriques 2 et 1.

Calcul de OK (règle des dates).   Raisonnement identique à celui pour l'incliné déclinant.

Pour telle déclinaison d il conviendra de placer le gnomon incliné de pi / 2 - J sur la ligne de XII heures à la distance

OK' de O = OK / cos J OK' = R cos f tg d / cos J

La construction du style se fait de la même façon que celle de l'incliné déclinant.

- Les heures utiles

- du matin.

fig 5

 

 

La figure 5 montre que pour toute déclinaison négative abs (d) < à pi / 2 - f - j  les levers se font sur le cadran et non sur l'horizon.

Il y a amputation des arcs semi-diurnes.

Si abs (d) > pi / 2 - f - j le soleil culmine sous le cadran et selon la valeur de dg il apparaîtra ou non sur le cadran dans l'après-midi.

De même pour les déclinaisons positives il y a lever sur le cadran tant que la valeur de l'azimut de la naissance de l'arc semi-diurne est inférieure à pi / 2 + dg.

On connaîtra la déclinaison correspondante par la relation vue plus haut:

sin d = - cos f cos A

dans M'UwSu rectangle en Su on a tg (pi 2 – dg) / tg UwM'Su = sin j

De même tg j / tg i = sin (pi / 2 – dg) et  tg j = tg i cos dg   d'où j

tg UwM'Su = tg M' = 1 / (sin j tg dg)

Dans M'RP on a PM' = pi / 2 + pi / 2 – f – j = pi – (f+j)

PR = pi / 2 – d     M'PR = t   PM'R = UwM'Su = M' comme angles opposés

On a   sin M' / cos d = sin R / sin (pi – (f+j)) = sin t / sin M'R et

sin M'R = sin t sin (f + j) / sin R

sin R = sin M' sin (f + j) / cos d

cos M'R = cos PM' cos PR + sin PM' sin PR cos t =

cos (pi – (f+j)) sin d + sin (pi – (f+j)) cos d  cos t

cos PM' = cos M'R sin d + sin M'R cos d cos R

- cos (f + j) = - cos (f + j) sin² d + sin (f + j) cos d sin d cos t + sin M'R cos d cos R

- cos (f + j) =

- cos (f + j) sin² d + sin (f + j) cos d sin d cos t + sin t sin (f + j) cos d cos R / sin R

Divisons par cos (f + j)

- 1 = - sin²d + tg (f + j) cos d sin d cos t + tg (f + j) sin t cos d cos R / sin R

- 1 + sin²d + tg (f + j) cos d sin d cos t - tg (f + j) sin t cos d cos R / sin R = 0

- cos²d + tg (f + j) cos d sin d cos t - tg (f + j) sin t cos d cos R / sin R = 0

- cos d + tg (f + j) sin d cos t - tg (f + j) sin t cos R / sin R = 0

- cos d + tg (f + j) sin d cos t - tg (f + j) sin t / tg R = 0

En appelant A = - cos d, B = tg (f + j) sin d  et C = tg (f + j) / tg R

on peut écrire A + B cos t – C sin t = 0

On procède de la même façon que pour les inclinés déclinant:

En appliquant les formules de l'arc moitié  et en prenant t / 2 pour t

on aura alors A + B ((1 – t²) / (1 + t²)) – C ( 2 t / (1 + t²)) = 0 ou

A + A t² + B - B t² - 2 C t = 0      (A – B) t² - 2 C t + (A + B) = 0

ce qui donne après développement 2 racines t' et t''

= (C + ou – SQR (C² + B² - A²)) / (A – B)

On prendra la racine adéquate et on aura t = 2 arc tg t' ou 2 arc tg t''

Exemple: Calculons l'amputation d'arc semi-diurne entraînée par un cadran incliné de 35° et inclinant de 34.922° vers l'ouest

sur un horizon de latitude f = 43.2754° le jour de l'été (déclinaison 23.433°)

pi / 2 + dg = 124.922°

En appliquant  sin d = - cos f cos A on trouve A = 123.107° pour d = 23.433°

Il y a lever sur le cadran tant que la valeur de l'azimut de la naissance de l'arc semi-diurne est inférieure à pi / 2 + dg.

La condition est donc remplie pour qu'il y ait un lever sur le cadran (et donc une petite amputation de l'arc semi-diurne du jour de l'été).

tg j = tg i cos dg ---> j = 29.861°     A = -.917525     B = 1.3119

tg M' = 1 / (sin j tg dg)   ---> M' = 70.8314 et sin R = sin M' sin (f + j) / cos d   --->

R = 80.127°   d'où C = 0.57415

t' = (0.57415 + sqr (0.57415² + 1.3119² - (-.917525)²) / (-.917525 - 1.3119)

= - 0.75070 et arc tg t' =  -36.895   t = 2* t' = -73.791 +180 = 106.208°  

t'' = .235639   et arc tg t'' = 13.2592   t = 26.518°

La solution conforme à la réalité est donc 106.208°

L'arc semi-diurne le jour de l'été est amputé de asd - 106.208

avec asd = arc cos (- tg d tg f) = 114.084°.  

L'amputation est donc de 7.876° = 31' 30''

Le soleil apparaît sur le cadran à 12 – 106.208 / 15 = 4h 55' solaire le matin de l'été

et le lever sur l'horizon se fait à 12 – 114.084 / 15 = 4h 23' solaire;  

heures à corriger de la valeur de l'équation du temps le jour de l'été.

- du soir.

fig 6

 

On retrouve sur la figure 6 le point R intersection d'un arc semi-diurne avec le plan de l'incliné inclinant et par laquelle

passe un cercle horaire d'angle horaire t.

Posons d = abs (d)

On considère le triangle M'RP. On a PR = pi / 2 + d

Comme vu plus haut  PM' = pi – (f+j)

M'PR = t   Ici PM'R = pi - UwM'Su = pi - M'

sin M' / sin (pi / 2 + d) = sin R / sin (pi – (f+j)) = sin t / sin M'R

On a   sin M' / cos d = sin R / sin (pi – (f+j)) = sin t / sin M'R et

sin M'R = sin t sin (f + j) / sin R

sin R = sin M' sin (f + j) / cos d   ici M' a la valeur pi – M' et sin (pi – M') = sin M'

On retrouve exactement les mêmes éléments que pour les heures du matin et

le reste des calculs donne les mêmes résultats que pour les ars semi-diurnes du matin.

Il conviendra alors de prendre pour la valeur de t la racine correspondant le mieux à la réalité.

Dans le cas envisagé ci-dessus pour le semi arc du matin on retiendrait t'' donnant l'angle horaire

t = 26.518° ---> 26.518 / 15 = 1 h 46' . Le soleil se couchera sur le cadran à 1h 46 solaire le jour de l'hiver.

(On aura pris soin de poser dans les calculs d= abs (-23.433) = 23.433°)

On remarquera que dans le cas des inclinés inclinant l'arc diurne peut-être en totalité ou en partie seulement sous le plan du cadran.

Il est en totalité sous le plan du cadran

1) si la déclinaison en valeur absolue est supérieure à pi / 2 – f – j   et

2) si l'azimut du coucher est inférieur à pi / 2 – dg

Il est en partie sous le plan du cadran

1) si la déclinaison en valeur absolue est supérieure à pi / 2 – f – j   et

2) si l'azimut du coucher est supérieur à pi / 2 – dg

 

Tous ces résultats seront également valables pour les incliné inclinant Est mais il faudra les reporter symétriquement sur l'axe des x.

Les heures utiles pour les levers inclinant ouest devenant alors les heures utiles pour les couchers inclinant est etc…

Pour j < pi / 2 – f   M' est sous l'équateur céleste et la projection des points d'heure se fait sur la face nord du cadran

telle qu'on peut la voir sur la figure 6.

Lorsque j = pi / 2 – f    alors tg i = 1 / (tg f cos dg)). On aura une moitié du cadran au-dessus de l'équateur et l'autre moitié en dessous.

Autrement dit l'axe MM' du cadran (ligne de XII heures) est confondu avec l'axe de l'équateur perpendiculaire à l'axe des pôles.

Pour les inclinant ouest les heures du matin seront portées sur la face sud du cadran (sous le plan de celui-ci par rapport au nord)

alors que les heures d'après-midi se traceront sur sa face nord.

Pour les fortes inclinaisons lorsque j > pi / 2 - f la projection de l'équateur céleste va se faire sur la face sud du cadran .

J tend vers pi / 2 et cos J vers 0. OK' tend alors vers l'infini et le cadran devient un vertical déclinant.

Son échelle de date est alors calculée dans le chapitre qui lui est consacré (voir plus haut).

Lorsque j > pi / 2 - f _il faudra alors rechercher les relations trigonométriques adaptées à ce cas si l'on désire tracer un tel improbable cadran.

2 5 2016     Jean Pakhomoff

 

 

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Abord classique des analemmatiques