De quelques positions remarquables

des aiguilles d'une horloge

 

Jean Pakhomoff le 4 6 2014

 

Préambule

 

Lorsque ce matin de mai 2014 je reçus ce mail de mon ami et correspondant Pierre Tosi ingénieur des Arts et Métiers en retraite:

"Pendant ces longs séjours à B... j'ai réfléchi au problème du calcul des heures où les aiguilles d'une pendule sont confondues, alignées en opposition, symétriques par rapport à la ligne midi 6 heures."

je fus tellement ébranlé que je ne pus que lui répondre

"Le problème du calcul des heures quand...

Finalement quelle est votre conclusion? ... les heures passent elles plus ou moins vite lorsque les aiguille sont confondues, alignées ou symétriques...!!? O:)

En vérité je n'ai pas compris la subtilité de votre pensée à moins que cela soit une petite blague...!"

Mais ce n'en était pas une! Ce phénomène bien banal et parfaitement quantifiable m'était passé totalement inaperçu.

Et oui! Le nombre incalculable de fois où pendant toutes ces années j'avais regardé ma montre et mes pendules...!

Et bien rien. Pas la moindre interrogation sur les positions des aiguilles et leurs survenues renouvelées et bien régulières dans le temps...

Le 29 mai suivant je reçus un autre mail de mon ami Pierre Tosi:

" Faute de temps je viens seulement de traiter ce problème des aiguilles coureuses, qui m'était venu à l'esprit après celui de la piscine où les mobiles allaient à la rencontre l'un de l'autre..."

J'allai donc envisager avec sérieux cette intéressante question et lui répondis en retour:

"Pour les aiguilles coureuses je viens d'y réfléchir à l'instant et je crois avoir compris la nature de votre problème intéressant. Je m'y pencherai plus profondément sous peu... du moins j'espère."

Ce que je fis dans les heures suivantes. Mais, je dois l'avouer, sans grand succès. Je ne trouvai qu'une solution à la limite de l'empirisme et qui ne me satisfaisait nullement.

Quelque peu penaud je la présentai à mon ami qui me répondit par retour:

"Ne laissons pas ces aiguilles vous tricoter l'esprit trop longtemps.

Ce problème a une similitude avec celui de la piscine où il s'agissait de la rencontre de mobiles allant en sens opposés (problème connu des correspondances à la SNCF). Ici les aiguilles partent ensemble à 0h. et la grande double plusieurs fois la petite, ou bien se trouve à des angles choisis par rapport à celle-ci.

Il faut calculer les temps d'apparition de ces évènements." Et il me donnait quelques éclaicissements sur les différences angulaires des parcours des deux aiguilles à comparer avec ces différences lors des positions considérées.

Là tout devenait clair et j'étais en mesure de faire le travail ci-dessous...

Je remercie beaucoup mon cher correspondant et ami Pierre Tosi de m'avoir permis de connaître d'aussi belles choses.

 

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Nous nous proposons de rechercher les heures pour lesquelles les aiguilles d'une horloge se trouvent dans des positions particulières.

Nous choisissons les 4 cas de figures les plus représentatifs.

 

1) Aiguilles confondues

2) Aiguilles opposées

3) Aiguilles perpendiculaires

4) Aiguilles symétriques par rapport à la ligne 12h - 6h

 

Horloge Atmos

 

Généralités:

On remarquera tout d'abord que la petite aiguille fait un tour de cadran en 12 heures ou 720 minutes.

L'arc parcouru par unité de temps est donc égal à 360°/720 = 2 p radians / 720 = p radians / 360.

Après un temps t l'arc MP parcouru par la petite aiguille est donc égal à p t / 360 radians.

 

 

La grande aiguille fait un tour de cadran en 1 heure ou 60'.

L'arc parcouru par unité de temps est donc de 360°/ 60 ou 2 p radians / 60 = p / 30 radians et au bout du même temps t

l'arc MQ parcouru par la grande aiguille est égal à p t / 30 radians. On remarque alors que l'angle POQ = t

différence entre MOQ et MOP est égal à p t / 30 – p t / 360 = 11 p t / 360 radians.

Cette valeur sera utilisée pour la recherche des heures considérées.

Nous la comparerons aux valeurs angulaires faites par les aiguilles dans la position considérée.

 

Horloge astrolabe Hour Lavigne

 

1) Aiguilles confondues.

 

 

A t = 0 les deux aiguilles sont confondues et t = 0 . Lorsque à t les aiguilles sont de nouveau confondues t = 2 p

Nous avons vu ci-dessus qu'à l'instant t, t = 11 p p t / 360

d'où 11 p t / 360 = 2 p et t = 720 / 11 = 65,4545' = 1h 5' 27''

Le premier alignement se produit à 1h 5' 27''.

Lorsque t aura de nouveau augmenté de 2 p surviendra le deuxième alignement. Celui-ci se fera à

11 p t / 360 = 2 p + 2 p et t = 4 X 360 / 11 = 2 X 720 / 11 = 2h 10' 54''

Le troisième alignement se fera de la même façon et l'on trouve

t = 6 X 360 / 11 = 3 X 720 / 11 = 3h 16' 21''

Les alignements se font donc toutes les 1h 5' 27'' et l'on peut écrire la formule générale:

t n = N X 720 / 11   ainsi le 9è alignement surviendra à

t9 = 9 X 720 / 11 = 9h 49' 5'' et le 11è à 720' = 12h : la petite aiguille a fait un tour complet.

 

2) Aiguilles opposées.

 

Lorsque cette condition est réalisée t = p

Donc t = 11 p t / 360 = p => t = 360 / 11 = 32' 43'' et la première opposition a lieu à 12h 32' 43''

La deuxième a lieu lorsque t a augmenté de 2 p:

t = 11 pi p / 360 = p + 2 p et t = 3 X 360 / 11 = 1h 38' 10''

La troisième à 11 p / 360 = p + 2 p + 2 p => t = 5 X 360 / 11 = 2h 43' 38''

On tire la formule générale tn = (2 N – 1 ) 360 / 11

Ainsi la 9 è opposition a lieu à (2 X 9 – 1) 360 /11 = 9h 16' 21'''

et la 12è à (2 X 12 – 1) 360 / 11 = 12h 32' 43'' (même heure que la première) etc…

 

Horloge Regain

 

3) Aiguilles perpendiculaires.

 

 

ici t est successivement égal à p / 2 et 3 p / 2. L'incrémentation est égale à p.

La première perpendicularité se fera quand t = p / 2 = 11 p t / 360 et t = 180 / 11

Ce qui correspond à 12h 16' 21''

Pour la deuxième on aura p / 2 + p = 11 p t / 360 et t = 3 X 180 /11 (12h 49'5'')

Pour la troisième on a p / 2 + p + p = 11 p t / 360 et t = 5 X 180 / 11 (1h 21' 49'')

On tire la formule générale tn = (2 N – 1) 180 / 11

Ainsi la 8è perpendicularité aura lieu à 4h 38' 10''

et la 23è à 12h 16' 21''. On est revenu à la première position.

 

4) Aiguilles symétriques par rapport à la ligne XII-VI.

 

 

Ici t = 2 p – 2 arcs t     On a vu au début que la valeur de l'arc t en radians était de

2 p t / 720 = p t / 360

On a donc 2 p2 p t / 360 = 11 p t / 360 d'où l'on tire t =720 / 13 = 55,3846'

ce qui correspond à 12h 55' 23''. (heure de la première symétrie)

En augmentant t de 2 p on aura t = p p – 2 arcs t + 2 p <=> 2 p – 2 arcs t

On se retrouve dans les conditions de la symétrie et on peut écrire

2 p + 2 p – 2 p t / 360 = 11 p t / 360 en simplifiant par p il vient:

4 – 2 t/ 360 = 11 t / 360 et t = 1440 / 13 = 2 X 720 / 13 <=> 110,7692' <=> 1h 50' 46'' (2è symétrie)

Pour la 3è symétrie on incrémente de 2 p et on trouve

t = 2160 / 13 = 3 X 720 / 13 <=> 166,1538' <=> 2h 46' 9''

On peut écrire que la Nè symétrie est donnée par tn = N X 720 / 13

Ainsi la 10è se fait à 720 / 13 <=> 9h 13' 50''

et la 13é se fait à 13 X 720 / 13 <=> 12 heures (aiguilles confondues sur la ligne XII-VI)

 

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Horloge Regain