Intersection cercle horaire vertical et asd

Deuxième partie

 

 

Quelques cas particuliers

a) Intersection perpendiculaire d'un vertical avec le cercle horaire sur un arc semi-diurne de déclinaison d lorsque d > f

L'arc semi-diurne n'atteint pas le zénith. Lorsque PMZ = pi/2 le cercle horaire  est perpendiculaire au vertical passant par le point

de contact entre l'arc semi diurne  et ce  vertical.

Si M = pi / 2 alors sin M = 1 et cos d = cos f sin a et cos f = cos d / sin a

La relation (4)

sin ZM = (sin²f – sin² d) / (cos d cos M sin f + sin d cos f cos a)  

devient sin ZM = (sin² f – sin² d) / sin d cos f cos a  

et en remplaçant cos f par sa valeur

sin ZM = (sin² f – sin² d) tg a / sin d cos d  

Remarquons que dans PMZ lorsque M = pi/2 nous avons

tg PM / tg PZM = sin ZM  ou tg (pi/2 – d) / tg (pi – a) = sin ZM  et

sin ZM = - 1 / (tg d tg a)   quand M = pi/2

 

 fig 3

 

Pour une latitude f, ZM va varier de 0 (M en Z et d = f) à une valeur maximum égale à pi/2 – f (M en P et d = pi/2) depuis

l'arc semi-diurne de déclinaison d = f, passant par le cardinal N de l'horizon et par le zénith Z jusqu'à l'asd de valeur 0 réduit au point P.

Lorsque f = 0 (équateur) ZM maximum = pi/2 – f = pi/2

Nous verrons le cas particulier de l'équateur plus bas.

L'azimut du vertical portant ZM varie de pi/2 à pi. Lorsque M est en Z il se trouve au croisement du premier vertical et du méridien

perpendiculaires entre eux.   a est alors égal à pi/2 et d = f. On a alors

sin ZM = -1 / (tg d X infini) = 0 et ZM = 0.   ZM est réduit au point Z.

Nous avons vu que M = pi/2 quand  cos d = cos f sin a

On peut alors chercher connaissant f et a, la déclinaison correspondant à cette particularité puis ZM et t.

Application:   f = 50,  a = 160     cos d = 0.219846 et d = 77.2999°

on peut alors trouver ZM et t

sin ZM = 0.61916  et ZM = 38.25523°

il n'y a qu'un point de contact on garde donc cette valeur.

sin t = 0.963243   ce qui donne deux valeurs pour t: 74.4173 et 105.5826

On recherche donc cos t comme vu plus haut:

cos t = (cos ZM – sin d sin f) / cos d cos f     (5)

cos t = 0.26860       et t = 74.41879 ou 16h 57' 40'' valeur à retenir.

Lorsque sur la latitude 50° le vertical d'azimut 160° entre en contact avec l'arc semi-diurne de déclinaison 77.2999° il est 16h 57' 40'' locale.

Remarquons encore que lorsque M = pi/2 et f = d alors

sin M = cos f sin a / cos f = sin a = 1    (M = a = pi/2)

M est donc sur le premier vertical, au zénith sur le cercle de déclinaison

d = f et sur le cercle méridien d'angle horaire 0 coupant le premier vertical en Z.

sin ZM = - 1 / (tg d tg a) quand M = pi/2   tg a = infini et sin ZM = 0

M est au zénith en Z

Ensuite tout vertical d'azimut a > pi/2 présentera une intersection avec un cercle horaire sur un asd avec M = pi/2 puis pour le

même asd deux intersections lorsque a augmente. 

On déduira sans calcul supplémentaire, par symétrie, que l'autre partie du vertical ZV'M'Z'VM dont l'azimut est a + pi est coupée par

le même cercle horaire PMP'M' d'angle horaire t + 12 en un point M' du semi arc diurne de

déclinaison  -d donnant ZM' = pi – ZM.

fig 4

_Z'

Le triangle correspondant est PZM' dans lequel on a

PZ = pi/2 – f,  PM' = pi/2 + abs (d),

PZM' = a – pi,    ZPM' = 2pi – (pi + t) = pi - t

b) Variation de M lorsque le vertical coupe un arc diurne de déclinaison d > f (l'arc semi-diurne culminant entre le zénith

et le pôle).

Nous venons de voir que lorsque le vertical coupe le cercle horaire en un seul point de l'arc semi-diurne  de d > f on a cos d = cos f sin a 

(M = pi/2). Donc sur un horizon de latitude f on pourra connaître l'azimut du  vertical d'azimut a répondant à ce cas précis pour

un asd de déclinaison d > f.

Au-delà de cet azimut le petit cercle asd est coupé en deux endroits M et M' de la sphère céleste.

Prenons le cas de figure de la zone pm d'après-midi.

_____fig 5

Pour un azimut < a il n'y a pas intersection sur cet asd.

Remarquons que les triangles PZM et PZM' ont PZ en commun

et PM = PM' = pi/2 – d    PZM = pi – a est également commun aux deux triangles et sin M répond également aux deux triangles.

sin M = sin a cos f / cos d

Pour qu'il y ait double intersection il faut avoir sin M < 1 et cos f étant pris constant il faut donc que abs (sin a) < cos d

Lorsque l'azimut a du vertical croît depuis le contact avec l'asd  M varie de pi/2 à pi et inversement M' varie de pi/2 à 0

(M et M' étant confondus lors du contact asd et vertical).

Le sinus de M donne les deux valeurs de M.

La figure ci-dessous montre que l'arc semi-diurne lorsque d > f peut être coupé par l'horizon tant que d < pi/2 – f.

Les valeurs de M données par sin M donneront les valeurs de ZM et ZM'.

Remarque

Le sinus de M donne deux valeurs pour M comme nous l'avons vu: M et son supplément. Ces deux angles répondent exactement

aux mêmes grandeurs f, d et a dans le triangle PZM. Mais il n'en est pas ainsi pour

sin ZM car les angles M et pi –M sont différents. Ainsi on ne pourra pas dire que sin ZM donne les deux valeurs de ZM: ZM et pi – ZM

Il conviendra de chercher les deux valeurs de ZM en donnant à M ses deux valeurs M et pi – M puis choisir la valeur convenable

en se référant aux valeurs de dm et ag comme nous le verrons plus loin.

fig 6

fig 7

 déclinaisons et arcs semi-diurnes

Pour le calcul de t correspondant on comparera les valeurs de cos t en se référant à la valeur de l'azimut correspondant comme vu plus haut.

On pourra rechercher les symétriques de ZM et ZM' sur la partie a + pi du vertical comme vu plus haut (t = t +12).

c) Cas du pôle nord

Ici f = pi/2    De la relation (1) on en déduit que sin M = 0 alors M = 0

La relation (4) se simplifie en donnant    sin ZM = cos d ou ZM = pi/2 – d   et la relation (6) sin t = sin a sin ZM / cos d   

devient      sin t = sin a

fig 8

et t = a:   les cercles horaires et cercles d'azimut sont confondus.

On arrive au même résultat en considérant les autres cas de figure.

 

d) Cas de l'équateur

Lorsque f = 0 (équateur) nous avons vu que

ZM maximum = pi/2 – f = pi/2

M se retrouve alors au point W (ouest) ou E (est) intersection du premier vertical confondu avec l'équateur et de l'horizon de l'équateur

confondu avec le cercle horaire de la 6è ou de la 18è heure. Le pôle P est alors au cardinal N de l'horizon équatorial de latitude 0 et

PZM est un triangle sphérique équilatéral dont les 3 arcs et trois angles valent 90°.

Lorsque d = f = 0 (équateur) les relations donnant sin ZM ne sont pas applicables lorsque M = pi/2 et a = pi/2 . En effet

sin ZM = (sin² f – sin² d) tg a / sin d cos d   ou   sin ZM = - 1 / (tg d tg a)

mènent  à une indétermination   (0 X 8) / 0   ou   -1 / (0 X 8)

Lorsque ZM = pi/2 à l'équateur alors

cos t = (cos ZM – sin d sin f) / cos d cos f     devient cos t = 0 / 1 = 0 et

t = 90° ou 270°  (cercle horaire 6 h et 18 h)

A l'équateur tous les cercles de déclinaison sont perpendiculaires  à l'horizon et l'axe des pôles est couché sur celui-ci.

Prenons le cas de figure d'un vertical en zone pm.

Dans PMZ, PZ = pi/2 – f = pi/2     d'où l'on tire     sin M = sin a / cos d  et 

sin d  =  cos (pi – a) sin ZM et   sin ZM =  sin d / cos (pi –a)

ou sin ZM = – sin d / cos a   

Remarquons ici que sin ZM ne dépend pas de M qui, ayant deux valeurs différentes lorsqu'il y a double intersection de l'arc semi-diurne

(d > f), demande de calculer ZM avec chacune des valeurs de M. Ici ZM est calculé indépendamment de M en utilisant deux valeurs

constantes, a et d (f = 0). On peut donc utiliser les deux valeurs de M, M et pi- M, données par le sinus

lorsque ZM = pi/2 on a cos (pi –a) = cos (a – pi) = sin d

et d = a -  pi + pi/2  ou d = a – pi/2

M parcourt alors l'horizon qui est également le cercle horaire 6 h – 18 h

Lorsque ZM est différent de pi/2 on a (6)

sin t = sin ZM (sin a / cos d)  =  (– sin d / cos a )   (sin a / cos d)

sin t = - tg d tg a    

si t = pi/2   (6 h pm) et d = 20° on a   a = 130°

Le vertical coupe l'horizon de l'équateur à l'azimut 130 lorsque la déclinaison de l'astre par où passe le vertical est égale à 20°.

 

fig 9

 

d = 10 et a = 120 alors t = 17.7826 ou 13h 11' 8''  zone pm

et t = pi – 17.7826 = 162.2173 ou 22h 48' 52''

d = 20 et a = 130    zone pm 

on obtient ZM = 32.146° et ZM' = 147.853°

t = 25.706 (13h 42' 49'') et 154.293 (22h 17'10'')

L'arc semi-diurne est coupé deux fois par le vertical. Le sinus de t permet de connaître les deux heures d'intersection

(de même que le sinus de ZM fournit les deux valeurs ZM et ZM'  (pi – ZM, pi – ZM').

sin ZM et sin t ne dépendant ici que de valeurs identiques d et a leur arc sinus ne seront calculés qu'une fois.

Leurs suppléments donneront leur autre valeur.

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