Intersection des

cercles horaires et verticaux

application aux cadrans solaires

Jean Pakhomoff

 

Nous calculons l'arc de vertical ZM compris entre le zénith et l'intersection de ce vertical avec un cercle horaire sur l'arc semi-diurne de l'astre M

puis l'angle horaire t correspondant à cette intersection.

Ces résultats nous serviront par la suite pour connaître l'heure d'apparition et de disparition du soleil sur un cadran solaire vertical déclinant.

Nous nous sommes limités à l'hémisphère nord. Il conviendra de faire un travail d'adaptation pour l'hémisphère sud.

fig 1

Soit donc P le pôle nord, Z le zénith, PP' l'axe polaire faisant avec l'horizon un angle f égal à la latitude, ZZ' l'axe zénith nadir,

NESW les 4 points cardinaux, a l'azimut de M et t son angle horaire. PMP' est l'hémi cercle horaire passant par M et

ZVZ' l'hémi cercle d'azimut.

M sur son arc semi-diurne à l'intersection de PMP' et de ZVZ'. La déclinaison de M est d.

ZM est le complément de la hauteur de l'astre M sur l'horizon.

a et t varient de 0 à 2 pi à partir du méridien sud d'ouest en est.

On appellera asd l'arc semi-diurne de l'astre M.

Autrement dit la moitié NZSZ'W de la sphère céleste correspond aux heures d'après midi pm et la moitié NZSZ'E correspond aux heures

du matin am.

Dans le triangle paralactique PZM on PZ = pi/2 – f, PM = pi/2 – d,

PZM = pi – a.     Nous appellerons M l'angle PMZ.

Calcul de M

On peut écrire sin (pi/2 – f) / sin M = sin (pi/2 – d) / sin (pi – a)

et sin M = cos f sin a / cos d   (1)

Remarquons que M reste inférieur ou égal à pi/2 tant que les arcs diurnes culminent sous le zénith (d < f).

Nous en donnerons une démonstration ci-dessous à propos

de la relation (2')

Lorsque M = pi / 2 alors sin M = 1 et cos d = cos f sin a

Ceci n'est vérifié qu'à l'équateur lorsque a = pi/2 et d = f = 0

Si la culmination a lieu au-delà du zénith, vers le nord, l'arc semi-diurne est alors coupé deux fois par le vertical et on a

deux valeurs de M données par le sinus . L'une inférieure à pi/2, l'autre supérieure égale à pi - M.

Remarquons également que lorsque a > pi alors la calculette donne la valeur négative de M. Pour n'avoir que sa valeur positive

on prend dans le triangle PZM du secteur am de la sphère céleste la valeur PZM = a – pi.

On peut cependant garder en am pour M la valeur <0 fournie par l'ordinateur car cela ne change pas la valeur de ZM où

M intervient par son cosinus (cos M = cos (-M) )

 

cos (pi/2 – f) = cos (pi/2 – d) cos ZM + sin (pi/2 – d) sin ZM cos M

sin f = sin d cos ZM + cos d sin ZM cos M   (2)

Remarquons ici que de (2) on tire

cos M =  (sin f – sin d cos ZM) / cos d sin ZM   (2')

cos d est > 0 que d soit < 0 ou > 0.  ZM < pi donc sin ZM > 0

sin f > 0  et  d < f quand la culmination a lieu entre le zénith et le cardinal sud. Donc sin d < sin f et sin d cos ZM sera

une quantité > 0 ou < 0 inférieure à sin f en valeur absolue. Elle s'ajoutera à sa valeur si < 0 ou s'y soustraira si > 0.  

cos M est donc toujours > 0 et M < pi/2.

Nous verrons qu'il n'en est plus de même lorsque d > f (la culmination se faisant alors entre le zénith et le cardinal nord).

cos (pi/2 – d) = cos (pi/2 – f) cos ZM + sin (pi/2 – f) sin ZM cos (pi – a)

sin d = sin f cos ZM + cos f sin ZM cos (pi – a)

On remarque que cos (pi – a) = cos (a – pi) = - cos a donc la relation est identique en pm et en am et on peut écrire:

sin d = sin f cos ZM – cos f sin ZM cos a   (3)

De (2) on tire  cos ZM = (sin f – cos d sin ZM cos M) / sin d

et en remplaçant cos ZM par sa valeur dans (3)

sin d = sin f ((sin f – cos d sin ZM cos M) / sin d) - cos f sin ZM cos a

 ce qui donne après développement  (4)

sin ZM = (sin²f – sin² d) / (cos d cos M sin f + sin d cos f cos a)   

ZM est donné par son sinus et celui-ci renverra à deux valeurs de ZM: ZM et pi – ZM

Remarque: M ne prend qu'une valeur (> 0) lorsque d < f (astre culminant avant le zénith dans la zone sud de la sphère céleste).

On peut donc retenir les valeurs ZM et pi – ZM car ces valeurs sont rattachées à une seule valeur de M.

Ceci n'est plus vrai comme nous le verrons plus bas lorsque d > f quand la culmination se fait entre le pôle et le zénith.

Ne connaissant pas à cet instant la valeur de t on ne peut savoir si

ZM est > ou < pi/2 autrement dit si l'astre est sur ou sous l'horizon.   

ZM = pi/2 lors des levers ou couchers.

Ici nous connaissons d et f et la relation  (3) devient lorsque ZM = pi/2

sin d = sin f cos ZM + cos f sin ZM cos (pi – a)      pm

cos (pi – a) = sin d / cos f   et ac = pi - arc cos (pi – a)

ac étant l'azimut du coucher

sin d = cos f cos (pi – a) = - cos f cos a

sin d = sin f cos ZM + cos f sin ZM cos (a - pi)       am

cos ( a – pi) = sin d / cos f    et al = arc cos (a – pi) + pi

al étant l'azimut du lever

sin d = cos f cos (a - pi) = - cos f cos a

d est la déclinaison d'un astre se couchant ou se levant dans l'azimut a sur un horizon de latitude f.

Donc même relation en ce qui concerne sin d pour am et pm

Lorsqu'on prend pour azimut l'azimut ag (comme azimut gnomonique) d'un cadran solaire en tenant compte de sa déclinaison

gnomonique comme nous le verrons plus loin on peut trouver la déclinaison correspondante pour laquelle ZM = pi/2 c'est-à-dire

que le lever ou le coucher a lieu dans le vertical du cadran.

 On appellera cette valeur particulière de la déclinaison dm:   

sin dm = - cos f cos ag

Pour toute déclinaison inférieure le soleil se lèvera ou se couchera devant le cadran vers le sud et l'intersection vertical cercle horaire

aura lieu sous l'horizon entraînant ZM > pi/2.

Les déclinaisons supérieures correspondront à un lever ou un coucher derrière le cadran vers le nord et l'intersection vertical cercle horaire

aura lieu au-dessus de l'horizon.

Remarquons encore que l'azimut du lever ou du coucher d'un astre de déclinaison d sur un horizon de latitude f se déduit comme

nous venons de le voir de la relation (3): ZM étant égal à pi/2 on a

sin d =– cos f cos a   (3')

Pour éviter les erreurs sur la valeur de  l'arc sinus a  il vaut mieux employer la relation (3) quand Z = pi/2 sous ses deux formes:   

cos (pi – ac) = sin d / cos f   en pm

cos ( al – pi) = sin d / cos f   en am

Si ag > al alors ZM < pi/2: le lever se fait depuis l' arrière du vertical vers le nord et l'intersection a lieu sur l'horizon dans la zone Est (am).

Si ag > ac alors ZM > pi/2: le coucher se fait en avant du vertical et l'intersection a lieu sous l'horizon dans la zone Ouest (pm).

Si ag < al alors ZM > pi/2: le lever se fait en avant du vertical vers le sud et l'intersection a lieu sous l'horizon dans la zone Est (am).

Si ag < ac alors ZM < pi/2: le coucher se fait en arrière du vertical et l'intersection a lieu sur l'horizon dans la zone Ouest (pm).

Détermination de t correspondant à cette intersection

On peut écrire de même  

cos ZM = cos (pi/2 – f) cos (pi/2 – d) + sin (pi/2 – f) sin (pi/2 – d) cos t

Dans la zone am on a cos (2pi – t)    et cos (2pi – t) = cos t

donc même relation

et cos t = (cos ZM – sin f sin d) / cos f cos d   (5)

On a également sin t / sin ZM = sin (pi – a) / sin (pi/2 – d)

et sin t = sin a sin ZM / cos d    zone pm

en zone am    sin (2pi – t) / sin ZM = sin (a – pi) / sin (pi/2 – d)

- sin t / sin ZM = - sin a / cos d

sin t = sin a sin ZM / cos d    (6) 

même relation que zone pm    t varie de 0 à 2 pi

On recherchera cependant par commodité t par son cosinus.

Entre 0 et pi le cosinus est > 0 si t < pi/2 et < 0 si t > pi/2.  La calculette fournit directement la valeur positive de t entre 0 et pi.

Si t > pi, a est > pi  et le cosinus est < 0 jusqu'à 3 pi/2 puis positif jusqu'à 2 pi.    Donc si a > pi et cosinus t < 0 on prend la valeur 2pi - t

la calculette fournissant l'angle le plus petit ayant même cosinus, par exemple cos 250 = -.342020  arc cosinus = 110, il faut prendre

360 – 110 = 250.

si a > pi et cos t positif t est alors compris entre 3pi/2 et 2pi. La calculette donne également l'angle positif le plus petit et on prendra

pareillement pour t la valeur 2pi – t.

 

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