L'équation de Képler et l'équation du centre
Pour le gnomoniste il est important de connaître cette équation car elle entre pour une bonne partie dans l'appréciation
de la valeur de l'équation du temps. Equation du temps qui permettra au cadran solaire de montrer l'heure civile après la seule correction de longitude.
Nous avons traité la question de l'équation du temps ici: Equation du temps
Nous étudions ci-dessous la partie de celle-ci appelée encore Equation du centre et dont la valeur est 115' sin nt ou 1.9166° sin nt.
n étant le moyen mouvement égal à 0.985647° et t le nombre de jours écoulés depuis le passage de la terre au périhélie.
Cette valeur variant avec le temps le soleil ne passera pas tous les jours à la même heure au méridien.
On représente la terre au foyer T de la trajectoire elliptique relative du soleil S. Le soleil est passé au périhélie en P et se dirige vers le
point gamma point vernal de l'équinoxe de printemps. On rappelle que la longitude solaire lors de son passage au périhélie était de 281.2187°
le 1 1 1900 et que celle-ci augmente de 61.717'' d'arc ou de 0.0171436° chaque année.
Elle est en ce début de XXIè siècle légèrement supérieure à 283°.
La longitude propre du périhélie s'obtient en retranchant 180° à cette longitude solaire.
Elle était de 103° au début du XXIè siècle.
On mène une perpendiculaire passant par S coupant le cercle O contenant l'ellipse en S' et le grand axe OP en S''.
L'angle STP = v est appelé anomalie vraie, l'angle S'OP = u est appelé anomalie excentrique.
Par O on mène l'arc de cercle OQK de rayon OQ = b =OK. Nous nous trouvons dans le cas des équations paramétriques de l'ellipse et nous pouvons écrire:
x = a cos u; y = b sin u .......On pose c/a = e où c = OT distance du foyer terre au centre de l'ellipse. a est le demi-grand axe OP et e l'excentricité de l'ellipse.
Celle-ci est faible en ce qui concerne la terre et égale à 0.01673. On a donc c = a e
Le triangle OQT nous donne a²e² + b² = a² .........(QT = QT' = a) et b² = a² (1 - e²) d'où ...b = a sqr (1 - e²) d'où y = a sqr (1 - e²) sin u
On appelle r le rayon vecteur terre soleil TS et le triangle TSS'' donne r cos v = x - ae = a cos u - ae = a (cos u - e) ....(1)
r sin v = y = a sqr (1 - e²) sin u.....(2)
En faisant la somme de r² cos² v + r² sin² v on obtient après réduction r = a (1 - e cos u)
Connaissant r on tire de (1) cos v = (cos u - e) / (1 - cos u) .....(3) ........et sin v = (sqr (1 - e²) sin u) / (1 - e cos u) ...(4)
L'ellipse est décrite en une durée A et en ce qui concerne la terre A = 365,2422 jours. Son déplacement moyen ou moyen mouvement n est donc
de 360/365.2422 = .985647° par jour et l'anomalie moyenne est représentée par M = n t où t est le nombre de jours écoulés depuis le passage du
soleil au périhélie de la terre vers le 2 janvier.
Il nous faut obtenir une relation qui nous permette de situer le soleil en longitude le plus exactement possible malgré les
valeurs inégales de ses déplacements journaliers.
Remarquons avant tout que la surface du cercle est pi r² (angle correspondant 2 pi); surface du demi-cercle: pi/2 r² (angle pi),
surface du 1/4 de cercle: pi/4 r² (angle pi/2)
donc la surface correspondant à un angle u sera u/2 r². Il en est de même pour l'ellipse dont la surface est égale au produit
pi ab des axes. Pour un angle u de l'ellipse on aura une surface correspondante à u ab /2.
La deuxième loi de Képler (égalité des aires décrites dans des temps égaux) nous autorise à écrire:
aire PTS = surface de l'ellipse multipliée par le temps de balayage c'est-à-dire PTS = pi ab (t/A)
La surface du triangle OTS est égale à OT y / 2 = ae b sin u / 2
La distance SS' est une quantité très petite vu la faible excentricité de l'orbite et on peut au prix d'une légère approximation
considérer que OS et OS' sont confondus. On aura alors aire PTS = aire POS - OTS = (u/2) ab - ae b sin u / 2 = ab (u - e sin u) / 2
Donc aire PTS = ab (u - e sin u) / 2 = pi ab (t/A) d'où ....u - e sin u = 2 pi t / A
2 pi / A est la vitesse moyenne de la terre sur son orbite. On a vu plus haut que sa valeur ou moyen mouvement n était de
360/365.2422 = .985647° par jour, l'anomalie moyenne étant représentée par nt = M.
On pourra donc écrire .........u - e sin u = nt = M ...(5)
En se servant des relations 3 et 4 ci-dessus, après simplification, on arrive à
sin (v - u) = (e sin u - sin u cos u (1 - sqr (1 - e²))) / (1 - e cos u) où 1 - sqr (1 - e²) proche de 0 et 1 - e cos u proche de 1 d'où
sin (v - u) = e sin u ...........sin (v - u) proche de e sin u et comme v - u très petit sin (v - u) = v - u
d'où v - u = e sin u et v = u + e sin u
Comme u = M + e sin u ...(5) on a en définitive v = M + e sin u + e sin u
v = 2 e sin u + M.....u étant très proche de M on écrit en définitive v = 2 e sin M + M
Après avoir transformé la valeur 2e en valeur angulaire en ' : 0.01673 X 2 X 180 X 60 / pi = 115'
on a v = 115 sin M + M ou encore en degrés: ...1.9166 sin M + M ou.........v = 1.9166 sin nt + nt
On appelle C la quantité 1.9166 sin nt "équation du centre". C'est cette dernière qui, en complément de la valeur appelée
"réduction à l'équateur" permettra de connaître les valeurs de l'équation du temps chaque jour de l'année.
C passe par un maximum et un minimum: lorsque nt = 90, sin nt = 1 et C = 1.9166° ou 1.9166 X 4 = 7' 40'' de temps.
nt = 90 alors t = 90/ 0.985647° = 91 jours après le passage au périhélie le 2 janvier donc ce maximum a lieu le 3 avril
Lorsque nt = 270° sin nt = -1 et C = - 7' 40''; t = 270/0.985647 = 274 jours après le passage au périhélie le 2 janvier
donc ce maximum a lieu le 3 octobre.
C s'annule lorsque sin nt = 0. Ce sont les jours de passage au périhélie le 2 janvier et 180° plus tard c'est-à-dire
180/.985647 = 182 jours plus tard le 3 juillet.
Cette valeur C complétée par celle de la "réduction à l'équateur" permet la connaissance des valeurs de l'équation du temps chaque jour de l'année.
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Cours d'astronomie Georges Faure Société Flammarion Marseille 1986
André Danjon -Astronomie Générale Editions Albert Blanchard 1980
Quelques équations du temps sur les cadrans solaires
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