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Les cadrans

analemmatiques

horizontaux et verticaux

par

Jean Pakhomoff

gnomoniste

 

A- Les analemmatiques horizontaux.

Soit une sphère céleste de centre O (fig 1). Le grand cercle d'un horizon de latitude f de l'hémisphère Nord a pour diamètre N S(Nord Sud) . Le grand cercle de l'équateur de pôle PP' et de diamètre QQ' coupe l'horizon en EW (Est Ouest). Le jour de l'équinoxe à l'instant t, le soleil est en A à l'intersection de son cercle horaire t avec l'équateur. Rappelons ici notre règle de compter les angles horaires de 0 à 180° depuis le pôle Nord de la méridienne à l'anté-méridienne en passant par l'Ouest comme par l'Est.

Ainsi 11h du matin <=> 13h de l'après-midi <=> 15°

10h du matin <=> 14h de l'après-midi <=> 30° etc... etc...

Dans le cas de la figure 1 le soleil est représenté en A à l'Est. Son angle horaire gnomonique t équivaut en fait à un angle astronomique 2 p - t. Mais cela n'a aucune importance en ce qui nous concerne.

fig 1

Le rayon AO indique alors l'heure t sur la grande horloge équatoriale à son intersection en T avec l'équateur et le cercle horaire.

Considérons une autre pèriode de l'année, à la même heure. Dans le cas de la figure 1 nous avons choisi de placer le soleil dans la pèriode des déclinaisons positives du printemps ou de l'été. Celui-ci est alors en B sur le même cecle horaire, sa déclinaison étant d. Le rayon BO ne passe plus par l'équateur. Il recoupe le cercle horaire en B1 et le point B1 n'étant plus sur l'équateur le rayon BB1 n'indiquera plus l'heure t sur l'horloge équatoriale.

On peut considérer que dans le cecle horaire t à l'instant t l'infinité de rayons solaires contenus dans ce cercle horaire sont tous parallèles et que l'un d'eux va passer par T. C'est le rayon CT coupant l'axe du monde en K. Etant parallèle à BB1 il coupe cet axe du monde en faisant un angle égal à la déclinaison d avec la perpendiculaire en K à cet axe.

Cette perpendiculaire ne passe pas par la position B comme on pourrait être amené à le croire. En effet voyons la figure 2 où ont été reportées les positions de ces points:

on a OK / OT = tg d et OK=R tg d

OK1 = OB sin d et OK1 = R sin d

ainsi OK = OK1 / cos d

Si dans un second temps on projette ce système sur l'horizon f, l'équateur céleste va donner l'ellipse de grand axe EW et de petit axe Q1Q'1. L'ellipse correspondant au cercle horaire t aura pour axe constant la droite joignant les projections de P et P' sur la méridienne et pour axe variable la droite joignant les projections de A et T à l'instant considéré. Le vertical contenant le rayon AT coupera l'horizon f selon la droite AT' passant par O. Le vertical contenant le rayon CT coupera l'horizon selon C'T' et le point K se retrouvera en K' sur la ligne méridienne. Tout point ou objet se trouvant dans ce vertical indiquera avec lui (par son ombre) la direction de T' point d'heure correspondant à l'instant t sur la grande horloge équatoriale projetée sur l'horizon. Et particulièrement un objet vertical passant par K'.

C'est là le principe du cadran analemmatique dont cette démonstration est à peu de choses près celle qu'en a donnée Terpstra en 1951.

Pour le construire il nous faudra connaître les différents points T' d'heures et demi-heures de même que les différentes distances OK' où placer le gnomon indicateur en fonction de la déclinaison (de la date).

a) - Tracé des points d'heures.

Soit à considérer le point T sur la sphère céleste. On peut écrire si H est la projection de T dans l'équateur sur le plan méridien

HT = OT sin t = sin t (OT étant un rayon unité de la sphère) et OH = cos t

La projection de l'équateur sur l'horizon se fait selon l'angle égal au complément de la latitude f. HT est une horizontale de par sa définition donc sa projection H'T sur l'horizon égale HT.

La projection de OH = OH' = OH cos (p/2 - f) = cos t sin f

En appelant w l'angle H'OT on a tg w = H'T / OH' = sin t / (cos t sin f)

et tg w = tg t / sin f

Nous verrons dans un prochain paragraphe comment tracer pratiquement ces points T' en fonction des angles w.

b) - détermination des valeurs OK'.

L'angle KTO est égal à la déclinaison d (CT et BO parallèles coupant AT dans le plan commun du cercle horaire t) donc OK / OT = tg d et OK = tg d

Le triangle OKK' permet d'écrire OK' = OK cos f = tg d cos f

Lorsque d est <0 les valeurs OK' sont <0 et portées vers le Sud.

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